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第43课时　静电场中能的性质
目标要求　1.理解电势、电势能、电势差的概念，电势差与电场强度的关系，静电力做功与电势能变化的关系。2.会解决电场线、等势面及运动轨迹的综合问题。
考点一　静电力做功与电势能　电势　电势差　等势面
1.静电力做功的特点
静电力做的功与路径无关，与电荷的起始位置和终止位置有关。
2.电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零。
(3)静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功WAB=EpA-EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。
②电势能的大小：若令EpB=0，则EpA=WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3.电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比叫作电场在这一点的电势。
(2)定义式：φ=。
(3)标矢性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)点电荷在空间某点电势φ=。若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。
(5)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4.电势差
(1)电场中两点间的电势的差值，也叫电压。公式表示为UAB=φA-φB，UAB=-UBA；
(2)静电力做功与电势差的关系：UAB=；
(3)电势差的大小与零电势点的选取无关。
5.等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。
③等差等势面越密的地方电场强度越大，电场线越密集，反之越小。
④任意两个等势面都不相交。
1.试画出以下电场的等势面，并总结它们的特点。
(1)匀强电场
等势面为垂直于电场线的一簇　　　
(2)点电荷电场
等势面为以点电荷为球心的一簇　　　
(3)等量异种点电荷的电场
两等量异种点电荷连线的中垂面为　　　　(电势为零)
(4)等量正点电荷的电场
两等量正点电荷连线上，中点电势最　　　　；在连线的中垂线上，中点电势最　　　　
答案　
(1) 　平面
(2) 　球面
(3) 　等势面
(4) 　低　高
2.(来自教材改编)(1)如图甲，M、N为等量正点电荷，A、B为电荷连线上的两点(其中B为中点)，C为连线中垂线上的一点。则：
①A、B、C三点的电势关系为φA　　　φB　　　φC(选填“>”“=”或“<”)。
②电荷量为-q(q>0)的试探电荷在A、B、C三点处的电势能EpA　　　　EpB　　　　EpC(选填“>”“=”或“<”)。
(2)如图乙，若M、N为等量异种点电荷，则：
①A、B、C三点的电势关系为φA　　　　φB　　　　φC(选填“>”“=”或“<”)。
②电荷量为-q(q>0)的试探电荷在A、B、C三点的电势能EpA　　　　EpB　　　　EpC(选填“>”“=”或“<”)。
答案　(1)①>　>　②<　<　(2)①>　=　②<　=
1.电势高低的判断方法
(1)电场线法判断
沿电场线方向电势逐渐降低，若无限远处电势为零，如图，则φA>φB>0，φC<φD<0。
(2)公式法判断
①φ=：正电荷在电势能大处电势较高；负电荷在电势能大处电势较低。
②由φ=可计算出某一场源点电荷在某点电势。
空间中有多个点电荷时，某点的电势可由代数求和得出。
2.电势能大小的判断方法
(1)做功判断法
由WAB=EpA-EpB，静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。
(2)公式判断法：Ep=qφ，比较时注意电荷量q的正负及电势的高低。
(3)能量守恒法：在电场中，当只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，则电势能减小，反之，动能减小，则电势能增大。
例1　(2025·甘肃卷·5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
答案　D
解析　M、N两点电势相等，电场线方向由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，故M点电势高于P点，选项A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误；负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确。
例2　(多选)(2025·山西晋城市三模)如图所示，真空中相距4R的两点分别固定带电荷量为+3q、-q(q>0)的点电荷，以两点电荷连线的中点O为圆心、R为半径的圆上对称分布着A、B、C、D四点，已知A点的电势为0，C点的电势为φ，下列说法正确的是(　　)
A.B、D两点的电势相等
B.A、C两点的电场强度相同
C.B、D两点的电场强度相同
D.O点的电势小于
答案　AD
解析　根据对称性可知，B点的电势等于D点的电势，A、C两点的电场强度方向相同，大小不相等，选项A正确，B错误；B、D两点的电场强度大小相等，方向不相同，选项C错误；因C点电势φ=-=，则φO=-==φ<，选项D正确。
考点二　电势差与电场强度的关系
如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，A、B两点不在同一条电场线上A、B间距为l，A、B连线与电场线夹角为θ，d为A、B两点沿电场方向的距离，试推导A、B之间电势差UAB与A、B之间距离l(或d)的关系。
答案　UAB=E·lcos θ=Ed
解析　WAB=Eq·lcos θ
UAB==E·lcos θ=Ed。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：U=Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
2.由E=可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，φC=。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB=CD且AB∥CD，则φA-φB=φC-φD。
例3　(2023·福建卷·10)“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心O，玻璃泡内壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场可视为位于O点处点电荷形成的电场，如图所示。a、b、c、d、O为同一平面上的5个点，abc是一段以O为圆心的圆弧，d为Ob的中点。a、d两点场强大小分别为Ea、Ed，O、a、c、d四点电势分别为φO、φa、φc、φd，则φa　　　　φd；φa　　　　φc，(φO-φa)　　　　2(φO-φd)。(填“大于”“等于”或“小于”)
答案　小于　等于　小于
解析　沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φa<φd，φa=φc，且越靠近O场强越强，根据U=Ed，结合微元法可知φO-φb<2(φO-φd)，而φa=φb，则φO-φa<2(φO-φd)。
例4　(2025·陕西宝鸡市一模)如图所示， 在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点， c点坐标为(-4 cm，3 cm)。现加上一方向平行于xOy 平面的匀强电场， b、c、d三点电势分别为12 V、28 V、16 V， 将一电荷量为-2×10-5 C的点电荷从a点沿 abcd移动到d点，下列说法正确的是(　　)
A.坐标原点O的电势为7 V
B.电场强度的大小为400 V/m
C.该点电荷在a点的电势能为2×10-4 J
D.该点电荷从a点移动到d点的过程中，静电力做功为8×10-4 J
答案　B
解析　方法一　电场强度叠加法
由于该电场是匀强电场，故沿着同一个方向相同距离电势差相等，则有φc-φb=φd-φO，解得φO=0，故A错误；该电场沿x轴方向的分电场强度大小为Ex== V/m=400 V/m，沿y轴方向的分电场强度大小为Ey== V/m=400 V/m，则该电场的电场强度的大小为E== V/m=400 V/m，故B正确；因dO=2Oa，则有φd-φO=2(φO-φa)，解得φa=-8 V，该点电荷在a点的电势能为Epa=qφa=-2×10-5×(-8) J=1.6×10-4 J，故C错误；该点电荷从a点移动到d点，静电力做功为Wad=qUad=-2×10-5×(-8-16) J=4.8×10-4 J，故D错误。
方法二　电势等分法
由φc-φb=φd-φO得φO=0，
由等分法知x=-3 cm处的f点电势为φf=12 V，电场强度方向垂直bf连线，E==400 V。
1.等分法
2.叠加法
如图，先根据E=可求出AB、AC方向的分电场强度，即Ex=，Ey=，然后根据平行四边形定则求出合电场强度E合。
考点三　电场线与运动轨迹的关系
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
例5　(2025·北京市顺义区期末)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹。关于该粒子，下列说法正确的是(　　)
A.一定带负电
B.一定从M点运动到N点
C.在M点的动能大于在N点的动能
D.在M点的加速度小于在N点的加速度
答案　D
解析　由粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力指向轨迹内侧，沿着电场线的切线方向，所以粒子带正电，故A错误；根据粒子运动的轨迹可以判断受力的方向但不能判断运动的方向一定是从M点运动到N点，故B错误；假设正粒子从M运动到N，由静电力与速度方向成锐角可知静电力做正功，粒子的电势能减小，动能增大，所以粒子在M点的动能小于它在N点的动能，故C错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，N点的电场强度大于M点的电场强度，在N点的受力大于在M点的受力，所以粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故D正确。
例6　(来自教材改编)(2025·河北省模拟)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电荷
B.M点的电场强度比N点的大
C.粒子在图示运动阶段的动能最小值为0
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
答案　D
解析　根据电场线与等势面垂直且由电势高的等势面指向电势低的等势面，且做曲线运动的粒子所受合外力指向轨迹的凹侧，可知粒子所受静电力与电场强度方向相反，即粒子带负电，故A错误；因M点等势面比N点稀疏，故M点电场强度比N点小，故B错误；因粒子做曲线运动，故在图示运动阶段的动能最小值不为零，故C错误；因粒子带负电且φM<φN，由Ep=qφ可知，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，故D正确。
1.根据题目条件需明确的三点
(1)带电正负；(2)电场线方向；(3)电势高低。
2.解题流程
课时精练
[分值：54分]
　[1~6题，每题4分]
1.(多选)(2024·湖北卷·8)关于电荷和静电场，下列说法正确的是(　　)
A.一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B.电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C.点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D.点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
答案　AC
解析　根据电荷守恒定律可知一个与外界没有电荷交换的系统，这个系统的电荷的代数和是不变的，故A正确；根据电场线和等势面的关系可知电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误；点电荷仅在电场力作用下从静止释放，电场力做正功，电势能减小，根据φ=，可知正电荷将从电势高的地方向电势低的地方运动，负电荷将从电势低的地方向电势高的地方运动，故C正确，D错误。
2.(2025·浙江1月选考·4)三个点电荷的电场线和等势面如图所示，其中d、e和e、f之间的距离相等，则(　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等
答案　D
解析　电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从题图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合U=Ed可知03.(2025·河南卷·4)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
答案　C
解析　如图所示，ac中点d的电势φd==4 V=φb，故b、d的连线为该匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势点指向低电势点，即电场线沿ac方向且由a指向c，选项C正确。
4.(2024·北京卷·11)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP=QN。下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度比Q点电场强度大
B.P点电势与Q点电势相等
C.若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D.若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
答案　C
解析　由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；由沿电场线方向电势降低知，P点电势高于Q点电势，B错误；由电场叠加得P点电场强度E=k+k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，C正确；由φ=结合电势的标量求和法知UPQ变为原来的2倍，D错误。
5.(2025·云南卷·4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案　C
解析　根据等势面越密集处电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc=-eUbc=2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad=-eUad=4 eV，由于电场力做正功，电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。
6.(2025·甘肃白银市三模)一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0 V，电子从a点运动到b点电势能变化了10 eV，则(　　)
A.a点电势为-15 V
B.电子在b点的电势能为-5 eV
C.b点的电场强度比c点的大
D.电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合
答案　B
解析　电子从a到c的过程中向上弯曲，说明电子受到的静电力的方向指向左上方，根据电场线的方向与等势面垂直且电子带负电，可知题图中电场线的方向大体沿左上→右下方向，则电子从a到c的过程中受到的静电力的方向与运动方向之间的夹角为钝角，静电力做负功，所以电子从a点运动到b点电势能增大10 eV，电子带负电，则b点的电势比a点的电势低10 V，结合题图可知相邻两等势面间的电势差为5 V，取c点电势为0 V，则a点的电势为φa=5 V×3+0 V=15 V，故A错误；取c点电势为0 V，相邻两等势面间的电势差为5 V，可知b处电势为5 V，则电子在b点的电势能为Ep=-eφb=-e×5 V=-5 eV，故B正确；根据等势面的疏密程度表示电场的强弱可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故C错误；电场线的方向与等势面垂直，由题图可知电子运动的轨迹与等势面不垂直，则电子的运动轨迹不可能与其中的一条电场线重合，故D错误。
　[7~10题，每题6分]
7.(多选)(2025·天津卷·8)如图所示，在一固定点电荷形成的电场中，一试探电荷仅在静电力作用下先后经过a、b两点，图中箭头方向表示试探电荷在a、b两点处的受力方向，则(　　)
A.a点电势一定高于b点电势
B.试探电荷与场源电荷电性一定相同
C.a点电场强度一定大于b点电场强度
D.试探电荷的电势能一定先减小后增大
答案　BC
解析　根据点电荷电场分布特点和试探电荷受力情况，试探电荷轨迹如图所示，可知点电荷位于O点，两电荷带同种电荷，由于电性无法判断，所以点电荷周围电场方向无法判断，a点电势和b点电势高低无法判断，故A错误，B正确；由于a点离场源点电荷较近，由E=可知，a点电场强度一定大于b点电场强度，故C正确；由轨迹图可知，静电力方向与运动方向的夹角先为钝角，后为锐角，所以静电力先做负功，后做正功，试探电荷的电势能一定先增大后减小，故D错误。
8.(2024·全国甲卷·18)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则(　　)
A.Q1<0，=-2 B.Q1>0，=-2
C.Q1<0，=-3 D.Q1>0，=-3
答案　B
解析　根据两点电荷周围的电势分布可知Q1带正电，Q2带负电；
由题图中电势为0的等势线可知k+k=0
由题图中距离关系可知=2
联立解得=-2，故选B。
9.(多选)(2025·湖南卷·8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案　AD
解析　根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO=，φA=-，φB=，故OA中点的电势为φ'==0，故A正确；
在OA线段上找出与B点等电势的点M，可知xOM=d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，根据几何关系可知，电场线沿电场方向与x轴夹角的正切值tan θ=1，即θ=45°，根据电场强度与电势差的关系，可知E==，B、C错误，D正确。
10.(多选)如图所示，正四面体棱长为l，在其顶点a、b、c各固定一个点电荷，a点电荷电荷量为+2q，b、c两点电荷电荷量均为+q，M、N、P分别为棱ab、ac、bc的中点。已知点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，r为该点到点电荷的距离，k为静电力常量，下列说法正确的是(　　)
A.M点的电场强度与N点的电场强度相同
B.P点的电势高于d点的电势
C.P点电场强度的大小为
D.电荷量为+q'的试探电荷在d点的电势能为
答案　BD
解析　根据电场强度的叠加原理可知，a、b处的点电荷在M点产生的合电场强度沿着ab连线由M指向b，c处的点电荷在M点产生的电场强度沿着cM连线由c指向M；而a、c处的点电荷在N点产生的合电场强度沿着ac连线由N指向c，b处的点电荷在N点产生的电场强度沿着bN连线由b指向N，则M点的电场强度与N点的电场强度大小相等，方向不同，故A错误；P点距离a、b、c处的电荷要比d点距离a、b、c处的电荷近，根据点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，可知r越小φ越大，则P点的电势高于d点的电势，故B正确；根据电场强度的叠加原理可知，b、c处的点电荷在P点产生的电场强度相互抵消，则P点的电场强度为EP=k，根据几何关系可知raP=l，则EP=，故C错误；根据点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，可知d点的电势为φd=，电荷量为+q'的试探电荷在d点的电势能为Epd=φdq'=，故D正确。
　[6分]
11.(多选)(2023·河北卷·10)如图，在x轴上放置四个点电荷q1、q2、q3和q4，q1、q2位于A点两侧，q3、q4位于B点两侧。C点在y轴上，且OA=OB=OC。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一定关系，使得以O点为球心、以OC为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是(　　)
A.A、B两点电场强度的方向一定沿x轴正方向
B.若在O点放一正点电荷，则A、B两点的电势一定升高
C.试探电荷q沿y轴运动过程中，若静电力始终不做功，则它受到的静电力始终为零
D.试探电荷q沿y轴运动过程中，若静电力始终不做功，则C点的电场强度一定为零
答案　BD
解析　以O点为球心、以OC为半径的球面为等势面，由电场强度和等势面的关系可知，A、B两点电场强度的方向与半径OC垂直，与x轴重合。由于无法判断各个电荷的电性，故A、B两点电场强度的方向无法判断，故A错误；取无穷远处电势为零，由于正点电荷周围的电势为正值，若在O点放一正点电荷，则A、B两点的电势一定升高，故B正确；试探电荷q沿y轴运动过程中，根据电荷分布，若静电力始终不做功，则经过y轴且垂直于x轴的平面为等势面，但静电力不一定为零，故C错误；根据以O点为球心、以OC为半径的球面为等势面，可知C点的电场强度方向应与y轴重合，再根据经过y轴且垂直于x轴的平面为等势面，可知C点的电场强度方向应与y轴垂直，同一点电场强度的方向是唯一的，故C点的电场强度一定为零，故D正确。(共67张PPT)
第九章
静电场
静电场中能的性质
第43课时
1.理解电势、电势能、电势差的概念，电势差与电场强度的关系，静电力做功与电势能变化的关系。
2.会解决电场线、等势面及运动轨迹的综合问题。
目标要求
考点一　静电力做功与电势能　电势　电势差　等势面
考点二　电势差与电场强度的关系
内容索引
课时精练
考点三　电场线与运动轨迹的关系
静电力做功与电势能
电势　电势差　等势面
考点一
1.静电力做功的特点
静电力做的功与路径_____，与电荷的起始位置和终止位置_____。
2.电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把_________或_________的电势能规定为零。
无关
有关
无限远处
大地表面
(3)静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功WAB=_________。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就_____多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就_____多少。
②电势能的大小：若令EpB=0，则EpA=WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
EpA-EpB
减少
增加
3.电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的________与它的电荷量之比叫作电场在这一点的电势。
(2)定义式：φ=_____。
(3)标矢性：电势是____量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)点电荷在空间某点电势φ=。若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。
(5)相对性：电势大小与零电势点的选取______。
电势能
标
有关
4.电势差
(1)电场中两点间的电势的差值，也叫_____。公式表示为UAB=_______，UAB=-UBA；
(2)静电力做功与电势差的关系：UAB=_____；
(3)电势差的大小与零电势点的选取_____。
电压
φA-φB
无关
5.等势面
(1)定义：电场中_________的各点构成的面。
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力_______。
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势____的等势面指向电势____的等势面。
③等差等势面越密的地方电场强度_____，电场线越_____，反之_____。
④任意两个等势面都不相交。
电势相同
不做功
高
低
越大
密集
越小
1.试画出以下电场的等势面，并总结它们的特点。
(1)匀强电场
讨论交流
等势面为垂直于电场线的一簇　　　
答案　
平面
(2)点电荷电场
等势面为以点电荷为球心的一簇　　　
球面
答案　
(3)等量异种点电荷的电场
两等量异种点电荷连线的中垂面为　　　　(电势为零)
等势面
答案　
(4)等量正点电荷的电场
两等量正点电荷连线上，中点电势最_____；在连线的中垂线上，中点电势最____
低
答案　
高
2.(来自教材改编)(1)如图甲，M、N为等量正点电荷，A、B为电荷连线上的两点(其中B为中点)，C为连线中垂线上的一点。则：
①A、B、C三点的电势关系为φA　　φB　　φC(选填“>”“=”或“<”)。
②电荷量为-q(q>0)的试探电荷在A、B、C三点处的电势能EpA___EpB___EpC
(选填“>”“=”或“<”)。
>
>
<
<
(2)如图乙，若M、N为等量异种点电荷，则：
①A、B、C三点的电势关系为φA　　φB　　φC(选填“>”“=”或“<”)。
②电荷量为-q(q>0)的试探电荷在A、B、C三点的电势能EpA___EpB___EpC
(选填“>”“=”或“<”)。
>
=
<
=
1.电势高低的判断方法
(1)电场线法判断
沿电场线方向电势逐渐降低，若无限远处电势为零，如图，则φA>φB>0，φC
<φD<0。
提炼·总结
(2)公式法判断
①φ=：正电荷在电势能大处电势较高；负电荷在电势能大处电势较低。
②由φ=可计算出某一场源点电荷在某点电势。
空间中有多个点电荷时，某点的电势可由代数求和得出。
2.电势能大小的判断方法
(1)做功判断法
由WAB=EpA-EpB，静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。
(2)公式判断法：Ep=qφ，比较时注意电荷量q的正负及电势的高低。
(3)能量守恒法：在电场中，当只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，则电势能减小，反之，动能减小，则电势能增大。
　　 (2025·甘肃卷·5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
√
　　　 M、N两点电势相等，电场线方向由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，故M点电势高于P点，选项A错误；
M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误；
负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确。
　　　(多选)(2025·山西晋城市三模)如图所示，真空中相距4R的两点分别固定带电荷量为+3q、-q(q>0)的点电荷，以两点电荷连线的中点O为圆心、R为半径的圆上对称分布着A、B、C、D四点，已知A点的电势为0，C点的电势为φ，下列说法正确的是
A.B、D两点的电势相等
B.A、C两点的电场强度相同
C.B、D两点的电场强度相同
D.O点的电势小于
√
√
　　　根据对称性可知，B点的电势等于D点的电势，A、C两点的电场强度方向相同，大小不相等，选项A正确，B错误；
B、D两点的电场强度大小相等，方向不相同，选项C错误；
因C点电势φ=-=，则φO=-==φ<，选项D正确。
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考点二
电势差与电场强度的关系
如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，A、B两点不在同一条电场线上A、B间距为l，A、B连线与电场线夹角为θ，d为A、B两点沿电场方向的距离，试推导A、B之间电势差UAB与A、B之间距离l(或d)的关系。
答案　UAB=E·lcos θ=Ed
　　　WAB=Eq·lcos θ
UAB==E·lcos θ=Ed。
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：U=____，其中d为电场中两点间沿____
_____的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指_________最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿_________单位距离上降低的_____。
Ed
电场
方向
电势降低
电场方向
电势
2.由E=可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，φC=。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB=CD且AB∥CD，则φA-φB=
φC-φD。
　　　(2023·福建卷·10)“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心O，玻璃泡内壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场可视为位于O点处点电荷形成的电场，如图所示。a、b、c、d、O为同一平面上的5个点，abc是一段以O为
圆心的圆弧，d为Ob的中点。a、d两点场强大小分别为Ea、Ed，O、a、c、d四点电势分别为φO、φa、φc、φd，则φa____φd；φa____φc，(φO-φa)_____
2(φO-φd)。(填“大于”“等于”或“小于”)
小于
等于
小于
　　　沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φa<φd，φa=φc，且越靠近O场强越强，根据U=Ed，结合微元法可知φO-φb<2(φO-φd)，而φa=φb，则φO-φa
<2(φO-φd)。
(2025·陕西宝鸡市一模)如图所示， 在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点，c点坐标为(-4 cm，3 cm)。现加上一方向平行于xOy 平面的匀强电场，b、c、d三点电势分别为12 V、28 V、16 V， 将一电荷量为-2×
10-5 C的点电荷从a点沿abcd移动到d点，下列说法正确的是
A.坐标原点O的电势为7 V
B.电场强度的大小为400 V/m
C.该点电荷在a点的电势能为2×10-4 J
D.该点电荷从a点移动到d点的过程中，静电力做功为8×10-4 J
√
　　　方法一　电场强度叠加法
由于该电场是匀强电场，故沿着同一个方向相同距离电势差相等，则有φc-φb=φd-φO，解得φO=0，故A错误；
该电场沿x轴方向的分电场强度大小为Ex== V/m=400 V/m，沿y轴方向的分电场强度大小为Ey== V/m=400 V/m，则该电场的电场强度的大小为E== V/m=400 V/m，故B正确；
因dO=2Oa，则有φd-φO=2(φO-φa)，解得φa=-8 V，该点电荷在a点的电势能为Epa=qφa=-2×10-5×(-8) J=1.6×10-4 J，故C错误；
　　　该点电荷从a点移动到d点，静电力做功为Wad=qUad=-2×10-5×
(-8-16) J=4.8×10-4 J，故D错误。
方法二　电势等分法
由φc-φb=φd-φO得φO=0，
由等分法知x=-3 cm处的f点电势为φf=12 V，电场强度方向垂直bf连线，E==400 V。
1.等分法
2.叠加法
如图，先根据E=可求出AB、AC方向的分电场强度，即Ex=，Ey=，然后根据平行四边形定则求出合
电场强度E合。
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电场线与运动轨迹的关系
考点三
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
　　　(2025·北京市顺义区期末)某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹。关于该粒子，下列说法正确的是
A.一定带负电
B.一定从M点运动到N点
C.在M点的动能大于在N点的动能
D.在M点的加速度小于在N点的加速度
√
　　　由粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力指向轨迹内侧，沿着电场线的切线方向，所以粒子带正电，故A错误；
根据粒子运动的轨迹可以判断受力的方向但不能判断运动的方向一定是从M点运动到N点，故B错误；
假设正粒子从M运动到N，由静电力与速度方向成锐角可知静电力做正功，粒子的电势能减小，动能增大，所以粒子在M点的动能小于它在N点的动能，故C错误；
电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，N点的电场强度大于M点的电场强度，在N点的受力大于在M点的受力，所以粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故D正确。
(来自教材改编)(2025·河北省模拟)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，则下列说法正确的是
A.粒子带正电荷
B.M点的电场强度比N点的大
C.粒子在图示运动阶段的动能最小值为0
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
√
　　　根据电场线与等势面垂直且由电势高的等势面指向电势低的等势面，且做曲线运动的粒子所受合外力指向轨迹的凹侧，可知粒子所受静电力与电场强度方向相反，即粒子带负电，故A错误；
因M点等势面比N点稀疏，故M点电场强度比N点小，故B错误；
因粒子做曲线运动，故在图示运动阶段的动能最小值不为零，故C错误；
因粒子带负电且φM<φN，由Ep=qφ可知，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，故D正确。
1.根据题目条件需明确的三点
(1)带电正负；(2)电场线方向；(3)电势高低。
2.解题流程
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AC D C C C B BC B
题号 9 10 11
答案 AD BD BD
答案
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
1.(多选)(2024·湖北卷·8)关于电荷和静电场，下列说法正确的是
A.一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B.电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C.点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D.点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的
地方运动
√
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答案
基础落实练
√
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答案
　　　根据电荷守恒定律可知一个与外界没有电荷交换的系统，这个系统的电荷的代数和是不变的，故A正确；
根据电场线和等势面的关系可知电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误；
点电荷仅在电场力作用下从静止释放，电场力做正功，电势能减小，根据φ=，可知正电荷将从电势高的地方向电势低的地方运动，负电荷将从电势低的地方向电势高的地方运动，故C正确，D错误。
2.(2025·浙江1月选考·4)三个点电荷的电场线和等势面如图所示，其中d、e和e、f之间的距离相等，则
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等
√
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11
答案
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11
答案
　　　电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从题图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；
a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；
从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合U=Ed可知0a点与f点在同一等势面上，则a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功W=qU，可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。
3.(2025·河南卷·4)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是
1
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3
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11
√
答案
1
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5
6
7
8
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10
11
答案
　　　如图所示，ac中点d的电势φd==4 V=φb，故b、d的连线为该匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势点指向低电势点，即电场线沿ac方向且由a指向c，选项C正确。
4.(2024·北京卷·11)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP=QN。下列说法正确的是
A.P点电场强度比Q点电场强度大
B.P点电势与Q点电势相等
C.若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来
的2倍
D.若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
√
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11
答案
1
2
3
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5
6
7
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9
10
11
答案
　　　由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；
由沿电场线方向电势降低知，P点电势高于Q点电势，B错误；
由电场叠加得P点电场强度E=k+k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，C正确；
由φ=结合电势的标量求和法知UPQ变为原来的2倍，D错误。
5.(2025·云南卷·4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上，则
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
1
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3
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11
答案
√
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11
答案
　　　根据等势面越密集处电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；
一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc=-eUbc=2 eV，故C正确；
一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad=-eUad=4 eV，由于电场力做正功，电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。
6.(2025·甘肃白银市三模)一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0 V，电子从a点运动到b点电势能变化了10 eV，则
A.a点电势为-15 V
B.电子在b点的电势能为-5 eV
C.b点的电场强度比c点的大
D.电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合
√
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11
答案
　　　电子从a到c的过程中向上弯曲，说明电子受到的静电力的方向指向左上方，根据电场线的方向与等势面垂直且电子带负电，可知题图中电场线的方向大体沿左上→右下方向，则电子从a到c的过程中受到的静电力的方向与运动方向之间的夹角为钝角，静电力做负功，所以电子从a点运动到b点电势能增大10 eV，电子带负电，则b点的电势比a点的电势低10 V，结合题图可知相邻两等势面间的电势差为5 V，取c点电势为0 V，则a点的电势为φa=5 V×3+0 V=15 V，故A错误；
取c点电势为0 V，相邻两等势面间的电势差为5 V，可知b处电势为5 V，则电子在b点的电势能为Ep=-eφb=-e×5 V=-5 eV，故B正确；
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11
答案
　　　根据等势面的疏密程度表示电场的强弱可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故C错误；
电场线的方向与等势面垂直，由题图可知电子运动的轨迹与等势面不垂直，则电子的运动轨迹不可能与其中的一条电场线重合，故D错误。
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11
答案
7.(多选)(2025·天津卷·8)如图所示，在一固定点电荷形成的电场中，一试探电荷仅在静电力作用下先后经过a、b两点，图中箭头方向表示试探电荷在a、b两点处的受力方向，则
A.a点电势一定高于b点电势
B.试探电荷与场源电荷电性一定相同
C.a点电场强度一定大于b点电场强度
D.试探电荷的电势能一定先减小后增大
√
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答案
能力综合练
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答案
　　　根据点电荷电场分布特点和试探电荷受力情况，试探电荷轨迹如图所示，可知点电荷位于O点，两电荷带同种电荷，由于电性无法判断，所以点电荷周围电场方向无法判断，a点电势和
b点电势高低无法判断，故A错误，B正确；
由于a点离场源点电荷较近，由E=可知，a点电
场强度一定大于b点电场强度，故C正确；
由轨迹图可知，静电力方向与运动方向的夹角先为钝角，后为锐角，所以静电力先做负功，后做正功，试探电荷的电势能一定先增大后减小，故D错误。
8.(2024·全国甲卷·18)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则
A.Q1<0，=-2 B.Q1>0，=-2
C.Q1<0，=-3 D.Q1>0，=-3
√
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答案
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11
答案
　　　根据两点电荷周围的电势分布可知Q1带正电，Q2带负电；
由题图中电势为0的等势线可知k+k=0
由题图中距离关系可知=2
联立解得=-2，故选B。
9.(多选)(2025·湖南卷·8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
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答案
√
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答案
　　　根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO=，φA=-，φB=，故OA中点的电势为φ'==0，故A正确；
在OA线段上找出与B点等电势的点M，可知xOM=d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，根据几何关系可知，电场线沿
电场方向与x轴夹角的正切值tan θ=1，即θ=45°，根据电场强度与电势差的关系，可知E==，B、C错误，D正确。
10.(多选)如图所示，正四面体棱长为l，在其顶点a、b、c各固定一个点电荷，a点电荷电荷量为+2q，b、c两点电荷电荷量均为+q，M、N、P分别为棱ab、ac、bc的中点。已知点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，r为该点到点电荷的距离，k为静电力常量，下列说法正确的是
A.M点的电场强度与N点的电场强度相同
B.P点的电势高于d点的电势
C.P点电场强度的大小为
D.电荷量为+q'的试探电荷在d点的电势能为
√
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答案
√
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11
答案
　　　根据电场强度的叠加原理可知，a、b处的点电荷在M点产生的合电场强度沿着ab连线由M指向b，c处的点电荷在M点产生的电场强度沿着cM连线由c指向M；而a、c处的点电荷在N点产生的合电场强度沿着ac连线由N指向c，b处的点电荷在N点产生的电场强度沿着bN连线由b指向N，则M点的电场强度与N点的电场强度大小相等，方向不同，故A错误；
P点距离a、b、c处的电荷要比d点距离a、b、c处的电荷近，根据点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，可知r越小φ越大，则P点的电势高于d点的电势，故B正确；
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答案
　　　根据电场强度的叠加原理可知，b、c处的点电荷在P点产生的电场强度相互抵消，则P点的电场强度为EP=k，根据几何关系可知raP=l，则EP=，故C错误；
根据点电荷Q周围空间某点的电势φ=k，可知d点的电势为φd=，电荷量为+q'的试探电荷在d点的电势能为Epd=φdq'=，故D正确。
11.(多选)(2023·河北卷·10)如图，在x轴上放置四个点电荷q1、q2、q3和q4，q1、q2位于A点两侧，q3、q4位于B点两侧。C点在y轴上，且OA=OB=OC。取无穷远处电势为零，电荷位置与电荷量满足一定关系，使得以O点为球心、以OC为半径的球面上各点的电势均为零。下列说法正确的是
A.A、B两点电场强度的方向一定沿x轴正方向
B.若在O点放一正点电荷，则A、B两点的电势一定升高
C.试探电荷q沿y轴运动过程中，若静电力始终不做功，
则它受到的静电力始终为零
D.试探电荷q沿y轴运动过程中，若静电力始终不做功，则C点的电场强
度一定为零
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答案
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尖子生选练
　　　以O点为球心、以OC为半径的球面为等势面，由电场强度和等势面的关系可知，A、B两点电场强度的方向与半径OC垂直，与x轴重合。由于无法判断各个电荷的电性，故A、B两点电场强度的方向无法判断，故A错误；
取无穷远处电势为零，由于正点电荷周围的电势为正值，若在O点放一正点电荷，则A、B两点的电势一定升高，故B正确；
试探电荷q沿y轴运动过程中，根据电荷分布，若静电力始终不做功，则经过y轴且垂直于x轴的平面为等势面，但静电力不一定为零，故C错误；
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答案
　　　根据以O点为球心、以OC为半径的球面为等势面，可知C点的电场强度方向应与y轴重合，再根据经过y轴且垂直于x轴的平面为等势面，可知C点的电场强度方向应与y轴垂直，同一点电场强度的方向是唯一的，故C点的电场强度一定为零，故D正确。
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答案
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