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第45课时　电容器　带电粒子在电场中的直线运动
目标要求　1.知道电容器的基本构造，了解电容器的充电、放电过程。2.理解电容的定义及动态变化规律。3.掌握带电粒子在电场中做直线运动的规律。
考点一　电容器　电容
1.电容器
(1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。
(3)电容器的充、放电：
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2.电容
定义 电容器所带的电荷量Q与电容器两极板之间的电势差U之比
定义式 C=
单位 法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)。1 F=106 μF=1012 pF
意义 表示电容器容纳电荷本领的高低
决定因素 由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及两极板间电压无关
3.平行板电容器的电容
(1)决定因素：两极板的正对面积、电介质的相对介电常数、两板间的距离。
(2)决定式：C=。
4.电容器两类典型动态问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
例1　(多选)闪电是由云层中所积累的电荷放电引起的，通常是云层底部带正电荷，云层下方的地面会感应出负电荷，当云层底部与地面间的电场强度增大到E0=5×105 V/m时会击穿空气，发生短时放电现象，形成闪电。某圆盘形云朵底部与地面的距离h=1×103 m，该云朵与地面间的电场强度恰好达到E0时发生闪电，放电电流随时间变化的简化函数图像如图所示。假设该次放电将云朵所带电荷全部放掉，云朵和地面构成的电容器可视为理想的平行板电容器。下列说法正确的是(　　)
A.这次放电释放的总电荷量Q=5 C
B.这次放电过程中的平均电流I=5×104 A
C.该等效电容器的电容值C=1×10-8 F
D.放电前该电容器存储的电能E=2.5×109 J
答案　ABC
解析　根据q=It可知I-t图像与t轴围成面积表示电荷量，则这次放电释放的总电荷量Q=×100×103×0.1×10-3 C=5 C，故A正确；这次放电过程中的平均电流I== A=5×104 A，故B正确；云朵和地面的电势差U=E0h=5×108 V，该等效电容器的电容C==1×10-8 F，故C正确；放电前该电容器存储的电能E=CU2=1.25×109 J，故D错误。
例2　(2024·浙江6月选考·6)图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则(　　)
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
答案　D
解析　根据Q=CU，C=可得当极板间距增大时电容减小，由于电容器的电荷量不变，故极板间电势差增大，故A、B错误；根据E=得E=，故极板间电场强度不变，故C错误；移动极板的过程中要克服静电力做功，故电容器储存能量增大，故D正确。
例3　(2024·黑吉辽·5)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示，将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路，闭合开关S后，若降低溶液浓度，则(　　)
A.电容器的电容减小
B.电容器所带的电荷量增大
C.电容器两极板之间的电势差增大
D.溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
答案　B
解析　降低溶液浓度，不导电溶液的相对介电常数εr增大，根据电容器的决定式C=可知，电容器的电容增大，故A错误；溶液不导电没有形成闭合回路，电容器两端的电压不变，根据Q=CU可知，电容器所带的电荷量增大，电容器充电，电路中电流方向为N→M，故C、D错误。
　两类典型动态分析思路比较
考点二　带电粒子在电场中的直线运动
1.对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关。
(2)是否考虑重力依据情况而定。
基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2.做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合=0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。
3.两种观点分析：
(1)用动力学观点分析
a=，E=，v2-=2ad
(2)用功能观点分析
匀强电场中：W=Eqd=qU=mv2-m
非匀强电场中：W=qU=Ek2-Ek1
例4　(2022·北京卷·18)如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
(2)求带电粒子到达N板时的速度大小v；
(3)若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
答案　(1)q　(2)　(3)
解析　(1)两极板间的电场强度E=，则带电粒子所受的静电力的大小F=qE=q
(2)带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有qU=mv2
解得v=
(3)设带电粒子运动距离时的速度大小为v'，
根据功能关系有q=mv'2
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速直线运动，设用时分别为t1、t2，有
=t1，=v't2
则该粒子从M板运动到N板经历的时间t=t1+t2=。
拓展　若将N板向右平移，求：
(1)带电粒子到达N板的速度大小v″；
(2)粒子在板间运动的时间t'。
答案　(1)　(2)3d
解析　(1)电压U不变，由qU=mv″2
解得v″=
(2)由d=t'
解得t'=3d。
例5　(2025·湖南怀化市三模)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角θ=37°，一带正电小球经过等势面A上的a点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D上的d点时速度恰好为零，已知小球质量为m=0.05 kg，带电荷量q=0.05 C，ad间的距离为0.15 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=，cos 37°=，则下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场强度大小为7.5 N/C
B.小球在a点的速度大小为1.5 m/s
C.A和B两等势面的电势差UAB=0.375 V
D.若小球从d点沿da方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线
答案　B
解析　根据小球的受力图，有qEcos θ=mg，解得E=12.5 N/C，选项A错误；小球在运动过程的加速度满足mgtan θ=ma，解得a=7.5 m/s2，根据2ax=，解得v0=1.5 m/s，选项B正确；小球在运动过程中，重力不做功，故3UABq=0-m，解得UAB=-0.375 V，选项C错误；若小球从d点水平射入，小球受到的合力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D错误。
例6　(来自教材改编)如图甲为直线加速器原理图，由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。已知电子的质量为m、电子电荷量为e、电压的绝对值为u、周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)中央有一个初速度为零的电子。下列说法正确的是(　　)
A.电子在圆筒中做匀加速直线运动
B.本装置可采用直流电进行加速
C.进入第2个金属圆筒时的速度为2
D.第8个金属圆筒的长度为4T
答案　C
解析　由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部电场强度为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，故A错误；根据加速器原理可知，本装置应采用交流电进行加速，故B错误；从序号为0的金属圆板到进入第2个金属圆筒的过程中，由动能定理得2eu=mv2，解得v=2，故C正确；结合C选项分析可知进入第8个金属圆筒时的速度满足8eu=mv'2，因为电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第8个圆筒长度为L=v'·=2T，故D错误。
拓展　保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要怎样调整交流电压的周期？
答案　设粒子进入第n个圆筒时的速度为v，由动能定理有nqu=m
而粒子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第n个圆筒的长度为Ln=vn·
解得Ln=·
分析可知，保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交流电压的周期。
例7　(多选)(2025·湖南岳阳市检测)如图(a)所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交流电压，两板间电势差随时间的变化规律如图(b)所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则下列说法正确的是(　　)
A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动
B.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动
答案　AB
解析　根据电子进入电场后的受力和运动情况，作出如图所示的图像。
由图丁可知，当电子在t=0时刻进入电场时，电子一直向B板运动，故A正确；若电子在t=时刻进入，则由图像知，向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正确；若电子在t=时刻进入电场，则由图像知，在第一个周期电子即返回A板从小孔飞出，故C错误；t=时刻电子一靠近小孔便受到排斥力，此时电子不能进入电场，故D错误。
1.解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2)将a-t图像v-t图像。
2.在画速度—时间图像时，要注意以下几点：
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。
(3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与横轴有交点，表示此时速度为零；对于运动很复杂，不容易画出速度—时间图像的问题，还应逐段分析求解。
3.思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
课时精练
[分值：60分]
　[1~5题，每题4分]
1.(多选)(来自教材改编)如图所示，四个图像描述了对给定的电容器充电时，电容器带电荷量Q、电压U和电容C三者的关系，正确的图像有(　　)
答案　CD
解析　电容器的电容是由电容器本身的结构决定的，与两极板间的电压以及带电荷量无关，故A、B错误，D正确；根据Q=CU可知，Q-U图像是过原点的直线，故C正确。
2.(多选)(2025·黑龙江省二模)如图甲所示，用一个电源分别给两个中间为真空的平行板电容器充电。开始时，开关全部断开，然后将开关S1分别接到1、2两处，稳定后断开。两个电容器充电过程中电流随时间变化的情况如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.电容器的带电荷量Q1=Q2
B.两个电容器两端的电压大小关系为U1C.减小电容器C2的正对面积，闭合开关S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过
D.在电容器C1中间插入有机玻璃，闭合开关S2，电阻R2上有向右的瞬时电流流过
答案　CD
解析　根据Q=It可知，i-t图线与t轴所围的面积表示电容器所带电荷量，由题图乙可知C1所带的电荷量大，用同一个电源充电，稳定时电压相同，故A、B错误；电容器的下极板带负电，稳定时两电容的电压相等，减小电容器C2的正对面积，根据电容的决定式可知，电容器C2的电容减小，电荷量减小，则闭合开关S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过，故C正确；当C1中间插入有机玻璃后，电容增大，带电荷量将要变大，需充电，有电荷从C2移动到C1，负电荷通过电阻R2向左，所以电流通过R2向右，故D正确。
3.(2025·陕晋青宁联考二模)如图所示，某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，静止的质子被电场强度大小E=2×105 V/m的匀强电场沿直线加速到v=1×107 m/s，然后轰击肿瘤，杀死细胞。已知质子的质量m=1.6×10-27 kg，电荷量e=1.6×10-19 C，则整个加速过程中质子的位移大小为(　　)
A.2 m B.2.5 m C.4 m D.5 m
答案　B
解析　根据动能定理有eEx=mv2，解得整个加速过程中质子的位移大小x== m=2.5 m，故选B。
4.(2025·黑吉辽蒙卷·4)如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板的压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
答案　D
解析　根据公式Q=CU和电容的决定式C=，可得U=·d，与电源断开后，Q不变，则U∝d，根据题意当F较小时，随着F的增大，d在减小，故此时极板间的电势差U在减小；当F增大到一定程度时，F再增大，d基本不变，U基本不变，故D正确。
5.(2025·江苏徐州市检测)如图所示，真空中有一对平行金属板M、N，两板加电压为U的直流电压。一带电粒子位于M板旁，仅在静电力的作用下由静止运动到N板。若增大M、N板间的距离，该粒子仍由M板旁由静止运动，则(　　)
A.M板所带的电荷量增大
B.粒子运动的加速度变大
C.粒子运动的时间变长
D.粒子运动到N板时的电势能变大
答案　C
解析　根据电容器的决定式C=可知，增大M、N两极板间的距离时，平行板电容器的电容C变小，由题可知电容器两极板间的电压始终为U，根据C=，电容值C减小，电压U不变，可知电容器的电荷量减小，A错误；根据E=可知，当两极板间的距离增大时，两极板间的电场强度减小，由牛顿第二定律得a=，可知粒子运动的加速度减小，B错误；粒子在两极板间做匀加速直线运动，由运动学公式x=at2可知，粒子从M板附近静止释放到N极板，位移变大，加速度减小，故所用时间变长，C正确；粒子从M板运动到N板，静电力做功为W=qU，两极板电势差不变，可知静电力做功不变，粒子运动到N板时的电势能不变，D错误。
6.(10分)(2025·新课标卷·24)电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极板面积为S、间距为d，电容C=α(α为常量)。按下键盘按键时，极板间的距离变为按压前的η倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充电后：
(1)(5分)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？
(2)(5分)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍？
答案　(1)η　(2)
解析　(1)根据平行板电容器电容C=α，电容的定义式C=
设按压前电容为C1=α，电压为U1，电荷量为Q，则U1==
按压后极板间距离变为按压前的η倍，即d2=ηd1，此时电容C2=α=α
因为按压不改变电荷量Q，所以按压后电压U2==
所以=η，即按压后极板间的电压变为按压前的η倍。
(2)对于平行板电容器，极板间的电场强度E=；
按压前电压为U1，极板间距离为d1，则电场强度E1=
按压后极板间距离变为d2=ηd1，电压不变仍为U1，此时电场强度E2==
所以=，即按压后极板间的电场强度大小变为按压前的倍。
　[7~9题，每题6分]
7.(2025·湖南长沙市检测)如图所示，一带正电的小球在匀强电场中，受到的静电力与小球的重力大小相等，以初速度v0沿ON方向做加速度不为零的匀变速直线运动，ON与水平面的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　)
A.静电力方向可能水平向左
B.小球可能做匀加速直线运动
C.小球的加速度大小一定小于g
D.经过时间，小球的速度方向发生改变
答案　D
解析　小球做匀变速直线运动，合力方向一定和速度方向在同一直线上，即在ON直线上，因为mg=qE，所以静电力qE与重力关于ON对称，根据几何关系可知静电力qE与水平方向夹角为30°，受力情况如图所示，合力沿ON向下，大小为mg，所以加速度为g，方向沿ON向下，与速度方向相反，小球做匀减速直线运动，故A、B、C错误；设小球减速到零所用时间为t，则t==，故经过时间，小球速度刚好减为零，然后反向加速，即经过时间，小球的速度方向发生改变，故D正确。
8.(2025·黑龙江鹤岗市检测)如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交流电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处，若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上，则t0可能属于的时间段是(　　)
A.0C.答案　B
解析　若09.(多选)(2025·广东清远市二模)2024年8月，我国科学家成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A.该带电油滴带负电
B.B板下移，油滴将继续保持静止状态
C.减小极板间的正对面积，P点处的电势升高
D.若两板间插入人造蓝宝石，则电容器的电容增大
答案　ABD
解析　油滴受重力和静电力作用，处于平衡状态。重力方向竖直向下，静电力方向竖直向上，A板带正电荷，因此该带电油滴带负电，故A正确；B板下移，d增大，由C=可知电容减小，由Q=CU可知，Q应减小，但由于二极管具有单向导电性，电容器不会放电，则Q实际不变，由E===可知电场强度不变，静电力不变，油滴将继续保持静止状态，故B正确；减小极板间的正对面积，结合B选项分析可知，Q不变，由E=可知E增大，由U=Ed可知A板与P点之间的电势差增大，A板接地，电势始终为0，因此P点处的电势降低，故C错误；两板间插入人造蓝宝石，εr增大，由C=可知电容增大，故D正确。
10.(12分)(2025·四川卷·13)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)(4分)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)(8分)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
答案　(1)　(2)2
解析　(1)由牛顿第二定律qE=ma
由运动学公式=at2
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为t=
(2)微粒第一次到达下极板时的速度大小为v1=at=
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为v2，满足-=2ad
代入解得v2=
同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v3，满足-=2a
代入解得v3=2
故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为p=mv3=2。(共67张PPT)
第九章
静电场
电容器　带电粒子在
电场中的直线运动
第45课时
1.知道电容器的基本构造，了解电容器的充电、放电过程。
2.理解电容的定义及动态变化规律。
3.掌握带电粒子在电场中做直线运动的规律。
目标要求
考点一　电容器　电容
考点二　带电粒子在电场中的直线运动
内容索引
课时精练
电容器　电容
考点一
1.电容器
(1)组成：由两个彼此_____又相距很近的导体组成。
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的_______。
(3)电容器的充、放电：
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的______
_____，电容器中储存电场能。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中_______转化为其他形式的能。
绝缘
绝对值
异种
电荷
电场能
定义 电容器所带的_________与电容器两极板之间的________之比
定义式 C=
单位 法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)。1 F=____ μF=1012 pF
意义 表示电容器容纳电荷本领的高低
决定因素 由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介
质)决定，与电容器是否带电及两极板间电压无关
2.电容
电荷量Q
电势差U
106
3.平行板电容器的电容
(1)决定因素：两极板的_________、电介质的_____________、________
______。
(2)决定式：C=。
4.电容器两类典型动态问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
正对面积
相对介电常数
两板间的
距离
　　　(多选)闪电是由云层中所积累的电荷放电引起的，通常是云层底部带正电荷，云层下方的地面会感应出负电荷，当云层底部与地面间的电场强度增大到E0=5×105 V/m时会击穿空气，发生短时放电现象，形成闪电。某圆盘形云朵底部与地面的距离h=1×103 m，该云朵与地面间的电场强度恰好达到E0时发生闪电，放电电流随时间变化的简化函数图像如图所示。假设该次放电将云朵所带电荷全部放掉，云朵和地面构成的电容器可视为理想的平行板电容器。下列说法正确的是
A.这次放电释放的总电荷量Q=5 C
B.这次放电过程中的平均电流I=5×104 A
C.该等效电容器的电容值C=1×10-8 F
D.放电前该电容器存储的电能E=2.5×109 J
√
√
√
　　　根据q=It可知I-t图像与t轴围成面积表示电荷量，则这次放电释放的总电荷量Q=×100×103×0.1×10-3 C=5 C，故A正确；
这次放电过程中的平均电流I== A=5×104 A，故B正确；
云朵和地面的电势差U=E0h=5×108 V，该等效电容器的电容C==1×10-8 F，故C正确；
放电前该电容器存储的电能E=CU2=1.25×109 J，故D错误。
(2024·浙江6月选考·6)图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
√
　　　根据Q=CU，C=可得当极板间距增大时电容减小，由于电容器的电荷量不变，故极板间电势差增大，故A、B错误；
根据E=得E=，故极板间电场强度不变，故C错误；
移动极板的过程中要克服静电力做功，故电容器储存能量增大，故D正确。
　　　(2024·黑吉辽·5)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示，将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路，闭合开关S后，若降低溶液浓度，则
A.电容器的电容减小
B.电容器所带的电荷量增大
C.电容器两极板之间的电势差增大
D.溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
√
　　　降低溶液浓度，不导电溶液的相对介电常数εr增大，根据电容器的决定式C=可知，电容器的电容增大，故A错误；
溶液不导电没有形成闭合回路，电容器两端的电压不变，根据Q=CU可知，电容器所带的电荷量增大，电容器充电，电路中电流方向为N→M，故C、D错误。
两类典型动态分析思路比较
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考点二
带电粒子在电场中的直线运动
1.对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关。
(2)是否考虑重力依据情况而定。
基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2.做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合=0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。
3.两种观点分析：
(1)用动力学观点分析
a=，E=，v2-=2ad
(2)用功能观点分析
匀强电场中：W=Eqd=qU=mv2-m
非匀强电场中：W=qU=Ek2-Ek1
(2022·北京卷·18)如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
答案　q
　　　两极板间的电场强度E=，则带电粒子所受的静电力的大小F=qE=q
(2)求带电粒子到达N板时的速度大小v；
答案　
　　　带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有qU=mv2
解得v=
(3)若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
答案　
　　　设带电粒子运动距离时的速度大小为v'，
根据功能关系有q=mv'2
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速直线运动，设用时分别为t1、t2，有
=t1，=v't2
则该粒子从M板运动到N板经历的时间t=t1+t2=。
拓展　若将N板向右平移，求：
(1)带电粒子到达N板的速度大小v″；
答案　
　　　电压U不变，由qU=mv″2
解得v″=
(2)粒子在板间运动的时间t'。
答案　3d
　　　由d=t'
解得t'=3d。
(2025·湖南怀化市三模)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角θ=37°，一带正电小球经过等势面A上的a点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D上的d点时速度恰好为零，已知小球质量为m=0.05 kg，带电荷量q=0.05 C，ad间的距离为0.15 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=，cos 37°=，则下列说法正确的是
A.匀强电场强度大小为7.5 N/C
B.小球在a点的速度大小为1.5 m/s
C.A和B两等势面的电势差UAB=0.375 V
D.若小球从d点沿da方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线
√
　　　根据小球的受力图，有qEcos θ=mg，解得E=12.5 N/C，选项A错误；
小球在运动过程的加速度满足mgtan θ=ma，解得a=7.5 m/s2，根据2ax=，解得v0=1.5 m/s，选项B正确；
小球在运动过程中，重力不做功，故3UABq=0-m，解得UAB=-0.375 V，选项C错误；
若小球从d点水平射入，小球受到的合力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D错误。
(来自教材改编)如图甲为直线加速器原理图，由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。已知电子的质量为m、电子电荷量为e、电压的绝对值为u、周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)中央有一个初速度为零的电子。下列说法正确的是
A.电子在圆筒中做匀加速直线运动
B.本装置可采用直流电进行加速
C.进入第2个金属圆筒时的速度为2
D.第8个金属圆筒的长度为4T
√
　　　由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部电场强度为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，故A错误；
根据加速器原理可知，本装置应采用交流电进行加速，故B错误；
从序号为0的金属圆板到进入第2个金属圆筒的过程中，由动能定理得2eu
=mv2，解得v=2，故C正确；
结合C选项分析可知进入第8个金属圆筒时的速度满足8eu=mv'2，因为电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第8个圆筒长度为L=v'·=2T，故D
错误。
拓展　保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要怎样调整交流电压的周期？
答案　设粒子进入第n个圆筒时的速度为v，由动能定理有nqu=m
而粒子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第n个圆筒的长度为Ln=vn·
解得Ln=·
分析可知，保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交流电压的周期。
　　　(多选)(2025·湖南岳阳市检测)如图(a)所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交流电压，两板间电势差随时间的变化规律如图(b)所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则下列说法正确的是
A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B板运动
B.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板
运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最
后打在B板上
D.若电子是在t=时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动
√
√
　　　根据电子进入电场后的受力和运动情况，作出如图所示的图像。
由图丁可知，当电子在t=0时刻进入电场时，电子一直向B板运动，故A正确；
若电子在t=时刻进入，则由图像知，向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正确；
若电子在t=时刻进入电场，则由图像知，在第一个周期电子即返回A板从小孔飞出，故C错误；
t=时刻电子一靠近小孔便受到排斥力，此时电子不能进入电场，故D错误。
1.解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2)将 a-t图像 v-t图像。
2.在画速度—时间图像时，要注意以下几点：
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直线。
(3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在横轴下方所围成的“面积”为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与横轴有交点，表示此时速度为零；对于运动很复杂，不容易画出速度—时间图像的问题，还应逐段分析求解。
3.思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 CD CD B D C (1)η　(2) D
题号 8 9 　10
答案 B ABD (1)　(2)2
答案
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1.(多选)(来自教材改编)如图所示，四个图像描述了对给定的电容器充电时，电容器带电荷量Q、电压U和电容C三者的关系，正确的图像有
基础落实练
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　　　电容器的电容是由电容器本身的结构决定的，与两极板间的电压以及带电荷量无关，故A、B错误，D正确；
根据Q=CU可知，Q-U图像是过原点的直线，故C正确。
2.(多选)(2025·黑龙江省二模)如图甲所示，用一个电源分别给两个中间为真空的平行板电容器充电。开始时，开关全部断开，然后将开关S1分别接到1、2两处，稳定后断开。两个电容器充电过程中电流随时间变化的情况如图乙所示，则下列说法正确的是
A.电容器的带电荷量Q1=Q2
B.两个电容器两端的电压大小关系为U1C.减小电容器C2的正对面积，闭合开关S1至
1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过
D.在电容器C1中间插入有机玻璃，闭合开关S2，电阻R2上有向右的瞬时
电流流过
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　　　根据Q=It可知，i-t图线与t轴所围的面积表示电容器所带电荷量，由题图乙可知C1所带的电荷量大，用同一个电源充电，稳定时电压相同，故A、B错误；
电容器的下极板带负电，稳定时两电容的电压相等，减小电容器C2的正对面积，根据电容的决定式可知，电容器C2的电容减小，电荷量减小，则闭合开关S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过，故C正确；
当C1中间插入有机玻璃后，电容增大，带电荷量将要变大，需充电，有电荷从C2移动到C1，负电荷通过电阻R2向左，所以电流通过R2向右，故D正确。
3.(2025·陕晋青宁联考二模)如图所示，某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，静止的质子被电场强度大小E=2×105 V/m的匀强电场沿直线加速到v=1×107 m/s，然后轰击肿瘤，杀死细胞。已知质子的质量m=1.6×10-27 kg，电荷量e=1.6×10-19 C，则整个加速过程中质子的位移大小为
A.2 m B.2.5 m
C.4 m D.5 m
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　　　根据动能定理有eEx=mv2，解得整个加速过程中质子的位移大小x== m=2.5 m，故选B。
4.(2025·黑吉辽蒙卷·4)如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板的压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是
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　　　根据公式Q=CU和电容的决定式C=，可得U=·d，与电源断开后，Q不变，则U∝d，根据题意当F较小时，随着F的增大，d在减小，故此时极板间的电势差U在减小；当F增大到一定程度时，F再增大，d基本不变，U基本不变，故D正确。
5.(2025·江苏徐州市检测)如图所示，真空中有一对平行金属板M、N，两板加电压为U的直流电压。一带电粒子位于M板旁，仅在静电力的作用下由静止运动到N板。若增大M、N板间的距离，该粒子仍由M板旁由静止运动，则
A.M板所带的电荷量增大
B.粒子运动的加速度变大
C.粒子运动的时间变长
D.粒子运动到N板时的电势能变大
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　　　根据电容器的决定式C=可知，增大M、N两极板间的距离时，平行板电容器的电容C变小，由题可知电容器两极板间的电压始终为U，根据C=，电容值C减小，电压U不变，可知电容器的电荷量减小，A错误；
根据E=可知，当两极板间的距离增大时，两极板间的电场强度减小，由牛顿第二定律得a=，可知粒子运动的加速度减小，B错误；
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　　　粒子在两极板间做匀加速直线运动，由运动学公式x=at2可知，粒子从M板附近静止释放到N极板，位移变大，加速度减小，故所用时间变长，C正确；
粒子从M板运动到N板，静电力做功为W=qU，两极板电势差不变，可知静电力做功不变，粒子运动到N板时的电势能不变，D错误。
6.(2025·新课标卷·24)电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极板面积为S、间距为d，电容C=α(α为常量)。按下键盘按键时，极板间的距离变为按压前的η倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充电后：
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(1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？
答案　η
　　　根据平行板电容器电容C=α，电容的定义式C=
设按压前电容为C1=α，电压为U1，电荷量为Q，则U1==
按压后极板间距离变为按压前的η倍，即d2=ηd1，此时电容C2=α=α
因为按压不改变电荷量Q，所以按压后电压U2==
所以=η，即按压后极板间的电压变为按压前的η倍。
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(2)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍？
答案　
　　　对于平行板电容器，极板间的电场强度E=；
按压前电压为U1，极板间距离为d1，则电场强度E1=
按压后极板间距离变为d2=ηd1，电压不变仍为U1，此时电场强度E2==
所以=，即按压后极板间的电场强度大小变为按压前的倍。
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7.(2025·湖南长沙市检测)如图所示，一带正电的小球在匀强电场中，受到的静电力与小球的重力大小相等，以初速度v0沿ON方向做加速度不为零的匀变速直线运动，ON与水平面的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度为g。则
A.静电力方向可能水平向左
B.小球可能做匀加速直线运动
C.小球的加速度大小一定小于g
D.经过时间，小球的速度方向发生改变
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能力综合练
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　　　小球做匀变速直线运动，合力方向一定和速度方向在同一直线上，即在ON直线上，因为mg=qE，所以静电力qE与重力关于ON对称，根据几何关系可知静电力qE与水平方向夹角为30°，受力情况如图所示，合力沿ON向下，大
小为mg，所以加速度为g，方向沿ON向下，与速度方向相反，小球做匀减速直线运动，故A、B、C错误；
设小球减速到零所用时间为t，则t==，故经过时间，小球速度刚好减为零，然后反向加速，即经过时间，小球的速度方向发生改变，故D
正确。
8.(2025·黑龙江鹤岗市检测)如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交流电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处，若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上，则t0可能属于的时间段是
A.0C.√
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　　　若0若1
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　　　若若T9.(多选)(2025·广东清远市二模)2024年8月，我国科学家成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是
A.该带电油滴带负电
B.B板下移，油滴将继续保持静止状态
C.减小极板间的正对面积，P点处的电势升高
D.若两板间插入人造蓝宝石，则电容器的电容增大
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　　　油滴受重力和静电力作用，处于平衡状态。重力方向竖直向下，静电力方向竖直向上，A板带正电荷，因此该带电油滴带负电，故A正确；
B板下移，d增大，由C=可知电容减小，由Q=CU可知，Q应减小，但由于二极管具有单向导电性，电容器不会放电，则Q实际不变，由E===可知电场强度不变，静电力不变，油滴将继续保持静止状态，故B正确；
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　　　减小极板间的正对面积，结合B选项分析可知，Q不变，由E=可知E增大，由U=Ed可知A板与P点之间的电势差增大，A板接地，电势始终为0，因此P点处的电势降低，故C错误；
两板间插入人造蓝宝石，εr增大，由C=可知电容增大，故D正确。
10.(2025·四川卷·13)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
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　　　由牛顿第二定律qE=ma
由运动学公式=at2
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为t=
(2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
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　　　微粒第一次到达下极板时的速度大小为v1=at=
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为v2，满足-=2ad
代入解得v2=
同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v3，满足-
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　　　代入解得v3=2
故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为p=mv3=2。
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本课结束
THANKS
第九章

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