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　电场强度矢量叠加的几种特殊方法
目标要求　会用“等效法”“对称法”“填补法”“微元法”求几种特殊情景下的电场强度的矢量叠加。
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
例1　(2025·重庆市育才中学一诊)如图甲、乙所示，半径相同的半圆环和四分之三的圆环带有同种电荷，电荷量之比为1∶3，环上电荷分布均匀且环的粗细可忽略不计。图甲中圆心处的电场强度大小为E，图乙中圆心处的电场强度大小为(　　)
A.E B.E C.E D.E
答案　A
解析　题图甲可以分成两个四分之一的圆环，在圆心产生的合电场强度为E，而这两个四分之一圆环分别产生的电场强度成90°夹角，根据平行四边形定则，单个四分之一圆环产生的电场强度为E，题图乙中圆环在圆心产生的电场强度可以等效为三个四分之一的圆环产生的合电场强度，而关于圆心对称的两个四分之一圆环在圆心的合电场强度为零，所以合电场强度等于剩余四分之一圆环在圆心产生的电场强度，但题图乙中圆环带电荷量线密度是题图甲的2倍，故题图乙中四分之三的圆环在圆心产生的电场强度为E。故选A。
例2　(来自教材改编)如图所示，真空中电荷量为-q(q>0)的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法中正确的是(　　)
A.薄板带负电，电子在A点所具有的电势能一定为零
B.带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度为
C.图中B点的电场强度大小为
D.图中B点的电场强度方向沿着AB连线指向A
答案　C
解析　依题意，题图中A点的合电场强度为0，带负电的点电荷在A点的电场强度方向沿AB连线指向B，则薄板在A点的电场强度方向沿AB连线指向A，说明其带正电。电势能是一个相对物理量，电子在A点所具有的电势能与零电势点的选取有关，不一定为零，故A错误；由A选项分析可知，薄板在A点的电场强度大小与点电荷在A点的电场强度大小相等，即EA==，根据对称性可知带电薄板产生的电场在题图中B点的电场强度大小为EB=EA=，方向沿AB连线指向B，故B错误；综上所述，两带电体在题图中B点的电场强度方向均沿AB连线指向B，由电场强度的叠加，可知E合B=+=，方向沿着AB连线指向B，故C正确，D错误。
例3　(2025·山西大同市三模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在球外空间产生的电场。如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，AB为通过半球顶点与球心O的直线，且AO=BO=2r。若A、B点的电场强度大小分别为E1和E2，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，右半球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为2q的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为k=E1+E2，解得q=，故选B。
例4　如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n=，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0=，由几何关系sin 37°=，可得E0=。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex=E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E=nEx，解得E=，A、C、D错误，B正确。
1.(2025·江苏省二模)三根相同长度的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电荷量分别为-Q、+Q和+，其中一根带电荷量为+Q的带电棒在三角形中心O点产生的电场强度为E，则O点的合电场强度为(　　)
A. B.E
C.E D.
答案　A
解析　+Q和-Q在O点的合电场强度为E1=2Ecos 30°=E，三个棒在O点的合电场强度为E合==E，故选A。
2.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB=60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为(　　)
A.，由O指向C2
B.，由O指向C1
C.，由O指向C2
D.，由O指向C1
答案　A
解析　假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为E1=，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为E2=2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3=E2=，方向由O指向C2，故选A。
3.(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A. B.(6+)
C.(3+1) D.(3+)
答案　D
解析　B点和C点的点电荷在M的合电场强度为E=2cos 60°=，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度EM=E=，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度为EA=EM=，方向向上，因此A点合电场强度为E合=EA+2cos 30°=，故选D。
4.(2025·山东省模拟)如图所示，半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，O点为圆环的圆心，M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由几何关系可知，AM与OM的夹角θ满足tan θ=，解得θ=30°，设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为ΔL小圆弧的电荷量为Δq，由于圆环上的电荷均匀分布，可知Δq=，每一段长为ΔL小圆弧在M处产生的电场强度沿OM方向的分量为E=cos 30°=·，被取走的A处弧长为ΔL的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为E1=sin 30°，故可知当从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为E2=-·，沿垂直OM方向的分量与E1等大反向，故剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为tan α== ，故选C。(共24张PPT)
第九章
静电场
电场强度矢量叠加
的几种特殊方法
微点突破7
会用“等效法”“对称法”“填补法”“微元法”求几种特殊情景下的电场强度的矢量叠加。
目标要求
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
　　　(2025·重庆市育才中学一诊)如图甲、乙所示，半径相同的半圆环和四分之三的圆环带有同种电荷，电荷量之比为1∶3，环上电荷分布均匀且环的粗细可忽略不计。图甲中圆心处的电场强度大小为E，图乙中圆心处的电场强度大小为
A.E B.E
C.E D.E
√
　　　题图甲可以分成两个四分之一的圆环，在圆心产生的合电场强度为E，而这两个四分之一圆环分别产生的电场强度成90°夹角，根据平行四边形定则，单个四分之一圆环产生的电场强度为E，题图乙中圆环在圆心产生的电场强度可以等效为三个四分之一的圆环产生的合电场强度，而关于圆心对称的两个四分之一圆环在圆心的合电场强度为零，所以合电场强度等于剩余四分之一圆环在圆心产生的电场强度，但题图乙中圆环带电荷量线密度是题图甲的2倍，故题图乙中四分之三的圆环在圆心产生的电场强度为E。故选A。
　　 (来自教材改编)如图所示，真空中电荷量为-q(q>0)的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法中正确的是
A.薄板带负电，电子在A点所具有的电势能一定为零
B.带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度为
C.图中B点的电场强度大小为
D.图中B点的电场强度方向沿着AB连线指向A
√
　　　依题意，题图中A点的合电场强度为0，带负电的点电荷在A点的电场强度方向沿AB连线指向B，则薄板在A点的电场强度方向沿AB连线指向A，说明其带正电。电势能是一个相对物理量，电子在A点所具有的电势能与零电势点的选取有关，不一定为零，故A错误；
由A选项分析可知，薄板在A点的电场强度大小与点电荷在A点的电场强度大小相等，即EA==，根据对称性可知带电薄板产生的电场在题图中B点的电场强度大小为EB=EA=，方向沿AB连线指向B，故B错误；
　　　综上所述，两带电体在题图中B点的电场强度方向均沿AB连线指向B，由电场强度的叠加，可知E合B=+=，方向沿着AB连线指向B，故C正确，D错误。
　　　(2025·山西大同市三模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在球外空间产生的电场。如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，AB为通过半球顶点与球心O的直线，且AO=BO=2r。若A、B点的电场强度大小分别为E1和E2，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为
A. B.
C. D.
√
　　　设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，右半球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为2q的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为k=E1+
E2，解得q=，故选B。
　　　如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为
A. B.
C. D.
√
　　　把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n=，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0=，由几何关系sin 37°=，可得E0=
。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex=E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E=nEx，解得E=，A、C、D错误，B正确。
跟踪训练
1.(2025·江苏省二模)三根相同长度的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电荷量分别为-Q、+Q和+，其中一根带电荷量为+Q的带电棒在三角形中心O点产生的电场强度为E，则O点的合电场强度为
A. B.E
C.E D.
√
　　　+Q和-Q在O点的合电场强度为E1=2Ecos 30°=E，三个棒在O点的合电场强度为E合==E，故选A。
2.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB=60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为
A.，由O指向C2 　B.，由O指向C1
C.，由O指向C2 　D.，由O指向C1
√
　　　假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为E1=，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为E2=2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3
=E2=，方向由O指向C2，故选A。
3.(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为
A. B.(6+)
C.(3+1) D.(3+)
√
　　　B点和C点的点电荷在M的合电场强度为E=2cos 60°=，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度EM=E=，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度为EA=EM=，方向向上，因此A点合电场强度为E合=EA+2cos 30°=，故选D。
4.(2025·山东省模拟)如图所示，半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，O点为圆环的圆心，M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为
A. B.
C. D.
√
　　　由几何关系可知，AM与OM的夹角θ满足tan θ=，解得θ=30°，设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为ΔL小圆弧的电荷量为Δq，由于圆环上的电荷均匀分布，可知Δq=，每一段长为ΔL小圆弧在M处产生的电场强度沿OM方向的分量为E=
cos 30°=·，被取走的A处弧长为ΔL的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为E1=sin 30°，故可知当从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为E2=-·，沿垂直OM方向的分量与E1等大反向，故剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为tan α== ，故选C。
本课结束
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第九章

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