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第26课时　功、功率
目标要求　1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。
考点一　功的分析及计算
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生位移。
2.公式：W=Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做正功。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α=90°时，W=0，力对物体不做功。
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W=Flcos α计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合=F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合=W1+W2+W3+…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合=Ek2-Ek1。
例1　(2025·北京市昌平区二模)如图所示，重物M放在长木板OP上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中，重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A.支持力和摩擦力均逐渐增大
B.支持力和摩擦力的合力逐渐增大
C.支持力和摩擦力均对重物做正功
D.支持力对重物做正功，摩擦力不做功
答案　D
解析　设长木板的倾角为θ，重物的质量为m，以重物为研究对象，根据平衡条件可得FN=mgcos θ，Ff=mgsin θ，由于θ逐渐增大，可知支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，故A错误；根据受力平衡可知，支持力和摩擦力的合力与重物的重力等大反向，则支持力和摩擦力的合力保持不变，故B错误；由于摩擦力与重物的运动方向总是垂直，所以摩擦力对重物不做功；由于支持力与重物的运动方向相同，则支持力对重物做正功，故C错误，D正确。
例2　(多选)(2026·湖南岳阳市检测)图甲为《天工开物》中耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图乙所示，人站立在农具耙的中间位置，耙与水平地面平行，两条绳子相互平行且垂直于耙边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°，sin 25.5°=0.43，cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F均为250 N时，人与耙沿直线匀速前进，在16 s内前进了12 m。下列说法正确的是(　　)
A.人受到水平向右的摩擦力
B.地面对耙的阻力大小为450 N
C.两条绳子拉力对耙所做的总功为2 700 J
D.两条绳子拉力对耙所做的总功为5 400 J
答案　BD
解析　由于人站在水平耙上做匀速直线运动，水平方向不受外力，所以人不受耙的摩擦力，A错误；因为两条绳子拉力大小相等都为F=250 N，两条绳子的拉力水平方向的分力的合力为F合x=2Fcos 25.5°=2×250×0.90 N=450 N，根据共点力的平衡条件可知，耙受到地面阻力的大小为Ff=F合x=450 N，B正确；人和耙移动距离s=12 m，根据恒力做功的公式可知，两条绳子拉力做的总功W=2Fscos 25.5°=2×250×12×0.90 J=5 400 J，C错误，D正确。
考点二　变力做功的计算
求变力做功的五种方法
方法 举例
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W=F·(-)
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F-x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W=x0
平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值=表示，W=Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep=k(Δx)2
动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF-mgL(1-cos θ)=0，得WF=mgL(1-cos θ)
例3　(2025·四川眉山市期中)聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示。假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ。动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，聂海胜每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的平均阻力约为(　　)
A.750 N B.550 N
C.350 N D.150 N
答案　C
解析　设平均阻力为Ff，克服阻力做的功W=Ff·s=Ff×(15×90×2πr)=900 kJ，解得Ff≈354 N，故选C。
例4　(2025·甘肃张掖市检测改编)如图，水平轨道AD足够长，BC段粗糙且长度为L=1 m，其余部分光滑。质量为1 kg、长度为2L的均匀木板以v0=5 m/s的初速度通过BC段，木板与BC段的动摩擦因数为μ=0.8，重力加速度g取10 m/s2。
(1)试画出木板通过BC段受到的摩擦力Ff随位移x变化的图像；
(2)求木板通过BC段过程中克服摩擦力做的功。
答案　(1)见解析图　(2)8 J
解析　(1)木板位移为0~1 m时，Ff均匀增大，木板位移为1~2 m时，Ff=μmg=4 N，保持不变，木板位移为2~3 m时，Ff均匀减小到零，
则木板通过BC段所受摩擦力随位移x变化如图所示。
(2)Ff-x图像与x轴围成的面积表示木板克服摩擦力做的功W克f，由图可知W克f=×4 J=8 J。
考点三　功率的分析和计算
1.定义：功与完成这些功所用时间之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3.公式：
(1)P=，P描述时间t内力对物体做功的快慢。
(2)P=Fvcos α
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
例5　(2024·贵州卷·6)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x=3 m处，F做功的瞬时功率为(　　)
A.8 W B.16 W C.24 W D.36 W
答案　A
解析　根据题图可知物块运动到x=3 m处，F做的总功为WF=3×2 J+2×1 J=8 J
该过程根据动能定理得WF=mv2
解得物块运动到x=3 m处时的速度v=4 m/s
故此时F做功的瞬时功率P=Fv=8 W，故选A。
例6　(多选)(2025·东北三省四市教研二模)“福建舰”是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海平面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是(　　)
A.落水瞬间速度大小vA=vB
B.在空中运动过程中速度变化量Δv1=Δv2
C.落水瞬间重力的瞬时功率PA=PB
D.在空中运动过程中重力的平均功率<
答案　BC
解析　配重小车离开甲板后做平抛运动，二者下落高度相等，根据h=gt2可知，二者下落时间相等，由竖直方向分速度大小vy=gt，可知vAy=vBy，水平方向根据x=vt及xA例7　如图甲所示，一台风力发电机的叶片长度为L，当风吹过叶片时，由于空气动力的效应带动叶轮转动，叶轮通过主轴连接齿轮箱带动发电机发电。图乙是该风力发电机的扫风面积示意图，风叶旋转扫过的面积恰好垂直于风向。已知空气的密度为ρ，当地风速为v，风的动能转化为电能的效率为η，则该风力发电机的功率为(　　)
A.πρL2v3η B.πρL2v2η
C.πρLv3η D.πρL2vη
答案　A
解析　t时间内流向风力发电机的风能为
E=mv2=(ρvtπL2)v2=πρtL2v3
可得该风力发电机的功率为
P==πρL2v3η，故选A。
课时精练
[分值：60分]
　[1~7题，每题4分]
1.(多选)(2026·山西晋中市检测)为了节能，若商场的自动扶梯在较长时间无人乘行时会自动停止运行。有人站上去后，扶梯感应到后开始加速，然后匀速运动，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.匀速下行过程中，扶梯对人不做功
B.匀速下行过程中，扶梯对人做负功
C.加速下行过程中，扶梯对人的支持力小于人所受的重力
D.加速下行过程中，扶梯对人的摩擦力做负功
答案　BC
解析　匀速下行过程中，由平衡条件可知，人和扶梯间没有摩擦力，人所受的支持力和重力等大反向，支持力方向与速度方向夹角大于90°，可知扶梯对人做负功，故A错误，B正确；加速下行过程中，加速度在竖直方向的分量向下，所以扶梯对人的支持力小于人所受的重力，故C正确；加速下行过程中，加速度在水平方向的分量向左，水平方向只受摩擦力作用，可知人受到的摩擦力方向水平向左，摩擦力方向与速度方向夹角小于90°，扶梯对人的摩擦力做正功，故D错误。
2.(2025·重庆市一模)如图是古代人民“簸扬糠秕”的劳动场景，在恒定水平风力作用下，从同一高度由静止落下因质量不同的米粒和糠秕(米粒的质量大于糠秕的质量)落到地面不同位置而达到分离米粒和糠秕的目的。若不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.糠秕在空中运动的时间大于米粒的运动时间
B.落地时，米粒和糠秕重力的瞬时功率相等
C.从释放到落地的过程中，重力对米粒和糠秕做的功相同
D.从释放到落地的过程中，水平方向上位移较大的是糠秕
答案　D
解析　糠秕和米粒在竖直方向均做自由落体运动，下落的高度相同，根据h=gt2可知，从释放到落地的过程中，糠秕的运动时间等于米粒的运动时间，故A错误；落地时，米粒的竖直速度等于糠秕的竖直速度，根据P=mgvy及米粒的重力大于糠秕的重力知，米粒重力的瞬时功率大于糠秕重力的瞬时功率，故B错误；根据WG=mgh，因米粒和糠秕质量不同，则从释放到落地的过程中，米粒和糠秕重力做功不相同，故C错误；从释放到落地的过程中，根据牛顿第二定律F=ma可知，因米粒质量较大，则加速度较小，落地时水平位移较小，故水平方向上位移较大的是糠秕，故D正确。
3.鲁班是中国古代一位优秀的发明创造家。他用智慧发明了石磨，解决了人们生活中吃米粉、麦粉的问题。如图所示，某人在手柄AB上用大小恒为100 N的力F转动磨盘，力F的方向始终与手柄AB的运动方向相同。若匀速转动一周所用时间为2 s，力F做的功为120 J，则手柄AB的线速度大小为(　　)
A.0.3 m/s B.0.6 m/s
C.0.6π m/s D.π m/s
答案　B
解析　解法一　在磨盘转动一周的过程中，力F大小恒定，方向始终与手柄AB的运动方向相同，所做的功应等于力与路程的乘积，即W=F·2πR
手柄AB的线速度大小为v=
联立解得v=0.6 m/s，故选B。
解法二　力做功时，功率恒定，有W=PT
P=Fv
解得v=0.6 m/s。故选B。
4.(2025·四川绵阳市三模)如图所示，成人用与水平方向夹角为α、斜向上的拉力F向前拉总质量为m的小孩和雪橇，重力加速度为g，从静止开始沿直线匀加速通过距离x的过程中(　　)
A.雪橇对地面的压力大小是mg-Fcos α
B.雪橇与地面之间摩擦力大小是Fsin α
C.拉力做功是Fx
D.拉力做功是Fxcos α
答案　D
解析　将小孩和雪橇作为整体，受力分析可知，在竖直方向上Fsin α+FN=mg，解得FN=mg-Fsin α，根据牛顿第三定律可知，雪橇对地面的压力大小FN'=FN=mg-Fsin α，A错误；由于雪橇做加速运动，可知摩擦力Ff5.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　)
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
答案　B
解析　由题知，Δt时间内流出的水量为m=ρQΔt=1.0×104Δt(kg)，发电过程中水的重力势能转化为电能，则有P=×70%≈1.0×107 W，故选B。
6.(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
答案　B
解析　由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总=2πRnm×60%=1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W=1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P=，t=，联立解得P=，故选B。
7.(2025·江西赣州市一模)2024年10月，以“智焕新生共创AI+低空新时代”为主题的2024低空经济产业创新发展大会在广州举办，赣州是十五座低空经济领航城市之一。如图甲是无人机快递运输和配送的测试现场，已知质量为5 kg的邮件在被无人机从地面吊起后，在竖直方向上运动的v-t图像如图乙所示(取竖直向上为正方向)，重力加速度g取10 m/s2，不计邮件所受空气阻力。则(　　)
A.在30 s时邮件上升到最大高度
B.邮件所受的拉力在30~36 s内比在36~46 s内大
C.在0~10 s内拉力对邮件做功的平均功率为50.5 W
D.在30~36 s内拉力对邮件做正功，其功率逐渐减小
答案　D
解析　根据v-t图像围成的面积表示位移，可知在36 s时邮件上升到最大高度，故A错误；根据v-t图像的斜率表示加速度，可知邮件在30~36 s内的加速度大小大于在36~46 s内的加速度大小，且邮件在30~36 s内向上减速，在36~46 s内向下加速，根据牛顿第二定律有mg-F=ma，可得邮件所受的拉力F=mg-ma，所以邮件所受的拉力在30~36 s内比在36~46 s内小，故B错误；邮件在0~10 s内的加速度大小a==0.1 m/s2，根据牛顿第二定律有F=mg+ma=50.5 N，该过程拉力对邮件的平均功率=F·=50.5× W=25.25 W，故C错误；在30~36 s内邮件匀减速上升，拉力对邮件做正功，根据P=Fv可知其功率逐渐减小，故D正确。
　[8~10题，每题6分]
8.(2025·福建厦门市期中)如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5，g取10 m/s2，则(　　)
A.0~4 m内物体做匀加速运动
B.运动过程中推力做的功为400 J
C.运动到4 m处，物体加速度大小为0
D.运动到4 m处，力F的功率为0
答案　D
解析　物体受到的滑动摩擦力大小为Ff=μmg=20 N
根据牛顿第二定律F-Ff=ma，可知物体先做加速度减小的加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后随着推力减小，物体做加速度增大的减速运动，运动到4 m处，力F的大小为零，物体加速度大小为a==5 m/s2，故A、C错误；F-x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，则运动过程中推力做的功为W=×100×4 J=200 J，故B错误；力F的功率为P=Fv，运动到4 m处，力F的大小为零，故力F的功率为0，故D正确。
9.(2026·福建宁德市检测)如图所示，矩形平板ABCD倾斜地固定在水平面上，平板与水平面夹角为30°，对角线AC与BC边夹角为60°。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向以速度大小v做匀速直线运动。已知物块与平板间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g，则拉力做功的功率为(　　)
A.mgv B.mgv
C.mgv D.mgv
答案　A
解析　对物块受力分析可知，物块受到重力、支持力和摩擦力以及拉力，将重力沿垂直平板和平行平板方向进行分解，由于物块沿AC匀速运动，故重力沿平行平板的分力F1=mgsin 30°=mg，摩擦力Ff=μmgcos 30°=mg，它们的合力F合与拉力F是一对平衡力，如图所示，由于AC与BC的夹角为60°，则重力沿平行平板方向的分力与摩擦力的夹角为120°，故F=F合=F1=Ff=mg，拉力做功的功率P=Fvcos 60°=mgv，故选A。
10.(多选)(2025·陕西榆林市三模)“辘轳”是中国古代取水的重要设施，如图甲所示通过转动手柄将细绳均匀缠绕到半径为R的转筒上，就可以把下端所系的水桶从井中提起。若某次转动手柄的角速度ω随时间t变化的图像如图乙所示，经过时间2t0，转筒的角速度从0均匀增加到ω0，经3t0时间把静置于井底的水桶提升到井口，水桶和桶中水的总质量为m，重力加速度大小为g，水桶可看成质点。下列说法正确的是(　　)
A.0~2t0时间内，水桶做初速度为零的匀加速直线运动
B.水井的深度为ω0Rt0
C.把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为
D.把水桶从井底提升到井口的过程中水桶和桶中水所受合力做功为
答案　AD
解析　转筒边缘上点的线速度大小等于水桶的速度大小，根据线速度与角速度的关系有v=ωR，因0~2t0内，ω与t成正比，所以水桶的速度v与t成正比，即水桶做初速度为零的匀加速直线运动，故A正确；题图乙中0~3t0内图像与时间轴所包围的面积表示把水桶从井底提升到井口过程中转筒转过的角度，设为θ，则θ==2ω0t0，故水井的深度为h=θR=2ω0Rt0，故B错误；把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为===，故C错误；根据动能定理可知，把水桶从井底提升到井口的过程中合力对水桶和桶中水做功为W合=mv2-0=m(ω0R)2=，故D正确。
11.(14分)(2025·广东卷·14)如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力Ff随位移大小x的变化关系为Ff=Ff0(1-)，其中Ff0为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变，瓶子始终静止在桌面上(提示：可用Ff-x图线下的“面积”表示Ff所做的功)。求：
(1)(2分)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度ω。
(2)(6分)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
(3)(6分)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
答案　(1)　(2)mah+mgh+Ff0h+ΔpSh　(3)P=magt+ma2t+ΔpSat+Ff0at-t3(0≤t≤)
解析　(1)木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式有=2ah
根据角速度和线速度的关系v0=ωr
联立解得ω=
(2)根据题意画出木塞摩擦力与位移x的关系图如图所示
可得摩擦力对木塞所做的功为Wf=-Ff0h
对木塞，根据动能定理有W+Wf-mgh-ΔpSh=m-0
解得W=mah+mgh+Ff0h+ΔpSh
(3)设拔塞钻对木塞的作用力为F，对木塞，根据牛顿第二定律有F-mg-Ff-ΔpS=ma
速度v=at
位移x=at2
拔塞钻的瞬时功率P=Fv
联立解得P=magt+ma2t+ΔpSat+Ff0at-t3(0≤t≤)。(共60张PPT)
第六章
机械能
守恒定律
考情分析
生活实践类 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题，汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
学习探究类 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型的能量问题
试题情境
功、功率
第26课时
1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。
2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。
目标要求
考点一　功的分析及计算
考点二　变力做功的计算
内容索引
课时精练
考点三　功率的分析和计算
功的分析及计算
考点一
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的　　。
(2)物体在力的方向上发生　　　。
2.公式：W=　　　　。
(1)α是力与　　　方向之间的夹角，l为　　　　　　的位移。
(2)该公式只适用于　　　做功。
力
位移
Flcos α
位移
力的作用点
恒力
3.功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做　　　。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做　　　，或者说物体　　 这个力做了功。
(3)当α=90°时，W=0，力对物体　　　　。
正功
负功
克服
不做功
4.计算恒力做功的方法
(1)直接用W=Flcos α计算。
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合=F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合=W1+W2+W3+…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合=Ek2-Ek1。
　　　(2025·北京市昌平区二模)如图所示，重物M放在长木板OP上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中，重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力，下列说法正确的是
A.支持力和摩擦力均逐渐增大
B.支持力和摩擦力的合力逐渐增大
C.支持力和摩擦力均对重物做正功
D.支持力对重物做正功，摩擦力不做功
√
　　 设长木板的倾角为θ，重物的质量为m，以重物为研究对象，根据平衡条件可得FN=mgcos θ，Ff=mgsin θ，由于θ逐渐增大，可知支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，故A错误；
根据受力平衡可知，支持力和摩擦力的合力与重物的重力等大反向，则支持力和摩擦力的合力保持不变，故B错误；
由于摩擦力与重物的运动方向总是垂直，所以摩擦力对重物不做功；由于支持力与重物的运动方向相同，则支持力对重物做正功，故C错误，D正确。
　　　(多选)(2026·湖南岳阳市检测)图甲为《天工开物》中耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图乙所示，人站立在农具耙的中间位置，耙与水平地面平行，两条绳子相互平行且垂直于耙边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°，sin 25.5°=0.43，cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F均为250 N时，人与耙沿直线匀速前进，在16 s内前进了12 m。下列说法正确的是
A.人受到水平向右的摩擦力
B.地面对耙的阻力大小为450 N
C.两条绳子拉力对耙所做的总功为2 700 J
D.两条绳子拉力对耙所做的总功为5 400 J
√
√
　　 由于人站在水平耙上做匀速直线运动，水平方向不受外力，所以人不受耙的摩擦力，A错误；
因为两条绳子拉力大小相等都为F=250 N，两条绳子的拉力水平方向的分力的合力为F合x=2Fcos 25.5°=2×250×0.90 N=450 N，根据共点力的平衡条件可知，耙受到地面阻力的大小为Ff=F合x=450 N，B正确；
人和耙移动距离s=12 m，根据恒力做功的公式可知，两条绳子拉力做的总功W=2Fscos 25.5°=2×250×12×0.90 J=5 400 J，C错误，D正确。
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变力做功的计算
考点二
求变力做功的五种方法
方法 举例
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动
一周克服摩擦力做功Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+
…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W
=F·(-)
方法 举例
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位
移为x0，F-x图线与横轴所围面积表示拉力所
做的功，W=x0
平均 值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值=
表示，W=Δx，可得出弹簧弹性势能表
达式为Ep=k(Δx)2
方法 举例
动能 定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为
WF，则有WF-mgL(1-cos θ)=0，得WF=
mgL(1-cos θ)
　　　(2025·四川眉山市期中)聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示。假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ。动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，聂海胜每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的平
均阻力约为
A.750 N B.550 N
C.350 N D.150 N
√
　　 设平均阻力为Ff，克服阻力做的功W=Ff·s=Ff×(15×90×2πr)=900 kJ，解得Ff≈354 N，故选C。
　　　(2025·甘肃张掖市检测改编)如图，水平轨道AD足够长，BC段粗糙且长度为L=1 m，其余部分光滑。质量为1 kg、长度为2L的均匀木板以v0=5 m/s的初速度通过BC段，木板与BC段的动摩擦因数为μ=0.8，重力加速度g取10 m/s2。
(1)试画出木板通过BC段受到的摩擦力Ff随位移x变化的图像；
答案　见解析图
　　 木板位移为0~1 m时，Ff均匀增大，木板位移为1~2 m时，Ff=μmg=
4 N，保持不变，木板位移为2~3 m时，Ff均匀减小到零，
则木板通过BC段所受摩擦力随位移x变化如图所示。
(2)求木板通过BC段过程中克服摩擦力做的功。
答案　8 J
　　 Ff-x图像与x轴围成的面积表示木板克服摩擦力做的功W克f，由图可知W克f=×4 J=8 J。
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功率的分析和计算
考点三
1.定义：功与完成这些功所用　　　之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的　　　。
3.公式：
(1)P=，P描述时间t内力对物体做功的　　　。
(2)P=Fvcos α
①v为平均速度，则P为　　　功率。
②v为瞬时速度，则P为　　　功率。
时间
快慢
快慢
平均
瞬时
　　　(2024·贵州卷·6)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x=3 m处，F做功的瞬时功率为
A.8 W B.16 W
C.24 W D.36 W
√
　　根据题图可知物块运动到x=3 m处，F做的总功为WF=3×2 J+2×1 J
=8 J
该过程根据动能定理得WF=mv2
解得物块运动到x=3 m处时的速度v=4 m/s
故此时F做功的瞬时功率P=Fv=8 W，故选A。
(多选)(2025·东北三省四市教研二模)“福建舰”是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海平面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是
A.落水瞬间速度大小vA=vB
B.在空中运动过程中速度变化量Δv1=Δv2
C.落水瞬间重力的瞬时功率PA=PB
D.在空中运动过程中重力的平均功率<
√
√
　　 配重小车离开甲板后做平抛运动，二者下落高度相等，根据h=gt2可知，二者下落时间相等，由竖直方向分速度大小vy=gt，可知vAy=vBy，水平方向根据x=vt及xA由Δv=gΔt，知Δv1=Δv2，故B正确；
落水瞬间重力的瞬时功率为P=mgvy，而vAy=vBy，二者质量相等，所以落水瞬间PA=PB，故C正确；
由WG=mgh及=，可知在空中运动过程中二者重力的平均功率相等，=，故D错误。
　　　如图甲所示，一台风力发电机的叶片长度为L，当风吹过叶片时，由于空气动力的效应带动叶轮转动，叶轮通过主轴连接齿轮箱带动发电机发电。图乙是该风力发电机的扫风面积示意图，风叶旋转扫过的面积恰好垂直于风向。已知空气的密度为ρ，当地风速为v，风的动能转化为电能的效率为η，则该风力发电机的功率为
A.πρL2v3η B.πρL2v2η
C.πρLv3η D.πρL2vη
√
t时间内流向风力发电机的风能为
E=mv2=(ρvtπL2)v2=πρtL2v3
可得该风力发电机的功率为
P==πρL2v3η，故选A。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BC D B D B B D D
题号 9 10 11
答案 A AD (1)　(2)mah+mgh+Ff0h+ΔpSh　 (3)P=magt+ma2t+ΔpSat+Ff0at-t3(0≤t≤)
答案
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1.(多选)(2026·山西晋中市检测)为了节能，若商场的自动扶梯在较长时间无人乘行时会自动停止运行。有人站上去后，扶梯感应到后开始加速，然后匀速运动，如图所示。下列说法正确的是
A.匀速下行过程中，扶梯对人不做功
B.匀速下行过程中，扶梯对人做负功
C.加速下行过程中，扶梯对人的支持力小于人所受的重力
D.加速下行过程中，扶梯对人的摩擦力做负功
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答案
基础落实练
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答案
　　　匀速下行过程中，由平衡条件可知，人和扶梯间没有摩擦力，人所受的支持力和重力等大反向，支持力方向与速度方向夹角大于90°，可知扶梯对人做负功，故A错误，B正确；
加速下行过程中，加速度在竖直方向的分量向下，所以扶梯对人的支持力小于人所受的重力，故C正确；
加速下行过程中，加速度在水平方向的分量向左，水平方向只受摩擦力作用，可知人受到的摩擦力方向水平向左，摩擦力方向与速度方向夹角小于90°，扶梯对人的摩擦力做正功，故D错误。
2.(2025·重庆市一模)如图是古代人民“簸扬糠秕”的劳动场景，在恒定水平风力作用下，从同一高度由静止落下因质量不同的米粒和糠秕(米粒的质量大于糠秕的质量)落到地面不同位置而达到分离米粒和糠秕的目的。若不计空气阻力，下列说法正确的是
A.糠秕在空中运动的时间大于米粒的运动时间
B.落地时，米粒和糠秕重力的瞬时功率相等
C.从释放到落地的过程中，重力对米粒和糠秕做的功相同
D.从释放到落地的过程中，水平方向上位移较大的是糠秕
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答案
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答案
　　　糠秕和米粒在竖直方向均做自由落体运动，下落的高度相同，根据
h=gt2可知，从释放到落地的过程中，糠秕的运动时间等于米粒的运动时间，
故A错误；
落地时，米粒的竖直速度等于糠秕的竖直速度，根据P=mgvy及米粒的重力大于糠秕的重力知，米粒重力的瞬时功率大于糠秕重力的瞬时功率，故B错误；
根据WG=mgh，因米粒和糠秕质量不同，则从释放到落地的过程中，米粒和糠秕重力做功不相同，故C错误；
从释放到落地的过程中，根据牛顿第二定律F=ma可知，因米粒质量较大，则加速度较小，落地时水平位移较小，故水平方向上位移较大的是糠秕，故D正确。
3.鲁班是中国古代一位优秀的发明创造家。他用智慧发明了石磨，解决了人们生活中吃米粉、麦粉的问题。如图所示，某人在手柄AB上用大小恒为100 N的力F转动磨盘，力F的方向始终与手柄AB的运动方向相同。若匀速转动一周所用时间为2 s，力F做的功为120 J，则手柄AB的线速度大小为
A.0.3 m/s B.0.6 m/s
C.0.6π m/s D.π m/s
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答案
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答案
　　　解法一　在磨盘转动一周的过程中，力F大小恒定，方向始终与手柄AB的运动方向相同，所做的功应等于力与路程的乘积，即W=F·2πR
手柄AB的线速度大小为v=
联立解得v=0.6 m/s，故选B。
解法二　力做功时，功率恒定，有W=PT
P=Fv
解得v=0.6 m/s。故选B。
4.(2025·四川绵阳市三模)如图所示，成人用与水平方向夹角为α、斜向上的拉力F向前拉总质量为m的小孩和雪橇，重力加速度为g，从静止开始沿直线匀加速通过距离x的过程中
A.雪橇对地面的压力大小是mg-Fcos α
B.雪橇与地面之间摩擦力大小是Fsin α
C.拉力做功是Fx
D.拉力做功是Fxcos α
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答案
　　　将小孩和雪橇作为整体，受力分析可知，在竖直方向上Fsin α+FN =mg，解得FN=mg-Fsin α，根据牛顿第三定律可知，雪橇对地面的压力大小FN'=FN=mg-Fsin α，A错误；
由于雪橇做加速运动，可知摩擦力Ff根据功的定义可知，拉力做功W=Fxcos α，C错误，D正确。
5.(2024·江西卷·5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
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　　　由题知，Δt时间内流出的水量为m=ρQΔt=1.0×104Δt(kg)，发电过
程中水的重力势能转化为电能，则有P=×70%≈1.0×107 W，故选B。
6.(2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
A. B.
C. D.nmgωRH
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答案
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答案
　　　由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量为m总=2πRnm×60%=1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W=1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P=，t=，联立解得P=，故选B。
7.(2025·江西赣州市一模)2024年10月，以“智焕新生共创AI+低空新时代”为主题的2024低空经济产业创新发展大会在广州举办，赣州是十五座低空经济领航城市之一。如图甲是无人机快递运输和配送的测试现场，已知质量为5 kg的邮件在被无人机从地面吊起后，在竖直方向上运动的v-t图像如图乙所示(取竖直向上为正方向)，重力加速度g取10 m/s2，不计邮件所受空气阻力。则
A.在30 s时邮件上升到最大高度
B.邮件所受的拉力在30~36 s内比在36~46 s内大
C.在0~10 s内拉力对邮件做功的平均功率为50.5 W
D.在30~36 s内拉力对邮件做正功，其功率逐渐减小
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答案
　　　根据v-t图像围成的面积表示位移，可知在36 s时邮件上升到最大高度，故A错误；
根据v-t图像的斜率表示加速度，可知邮件在30~36 s内的加速度大小大于在36~46 s内的加速度大小，且邮件在30~36 s内向上减速，在36~46 s内向下加速，根据牛顿第二定律有mg-F=ma，可得邮件所受的拉力F=mg-ma，所以邮件所受的拉力在30~36 s内比在36~46 s内小，故B错误；
邮件在0~10 s内的加速度大小a==0.1 m/s2，根据牛顿第二定律有F=mg+ma=
50.5 N，该过程拉力对邮件的平均功率=F·=50.5× W=25.25 W，故C错误；
在30~36 s内邮件匀减速上升，拉力对邮件做正功，根据P=Fv可知其功率逐渐减小，故D正确。
8.(2025·福建厦门市期中)如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5，g取10 m/s2，则
A.0~4 m内物体做匀加速运动
B.运动过程中推力做的功为400 J
C.运动到4 m处，物体加速度大小为0
D.运动到4 m处，力F的功率为0
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能力综合练
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答案
　　　物体受到的滑动摩擦力大小为Ff=μmg=20 N
根据牛顿第二定律F-Ff=ma，可知物体先做加速度减小的加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后随着推力减小，物体做加速度增大的减速运动，运动到4 m处，力F的大小为零，物体加速度大小为a=
=5 m/s2，故A、C错误；
F-x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，则运动过程中推力做
的功为W=×100×4 J=200 J，故B错误；
力F的功率为P=Fv，运动到4 m处，力F的大小为零，故力F的功率为0，故D正确。
9.(2026·福建宁德市检测)如图所示，矩形平板ABCD倾斜地固定在水平面上，平板与水平面夹角为30°，对角线AC与BC边夹角为60°。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向以速度大小v做匀速直线
运动。已知物块与平板间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g，则
拉力做功的功率为
A.mgv B.mgv
C.mgv D.mgv
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答案
　　　对物块受力分析可知，物块受到重力、支持力和摩擦力以及拉力，将重力沿垂直平板和平行平板方向进行分解，由于物块沿AC匀速运动，故重力沿平行平板的
分力F1=mgsin 30°=mg，摩擦力Ff=μmgcos 30°=mg，它们的合力F合与拉力F是一对平衡力，如图所示，由于AC与BC的夹角为60°，则重力沿平行平板方向的分力与摩擦力的夹角为120°，故F=F合=F1=Ff=mg，拉力做功的功率P=Fvcos 60°=mgv，故选A。
10.(多选)(2025·陕西榆林市三模)“辘轳”是中国古代取水的重要设施，如图甲所示通过转动手柄将细绳均匀缠绕到半径为R的转筒上，就可以把下端所系的水桶从井中提起。若某次转动手柄的角速度ω随时间t变化的图像如图乙所示，经过时间2t0，转筒的角速度从0均匀增加到ω0，经3t0时间把静置于井底的水桶提升到井口，水桶和桶中水的总质量为m，重力加速度大小为g，水桶可看成质点。下列说法正确的是
A.0~2t0时间内，水桶做初速度为零的匀加速直线运动
B.水井的深度为ω0Rt0
C.把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为
D.把水桶从井底提升到井口的过程中水桶和桶中水所受合力做功为
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答案
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答案
　　　转筒边缘上点的线速度大小等于水桶的速度大小，根据线速度与角速度的关系有v=ωR，因0~2t0内，ω与t成正比，所以水桶的速度v与t成正比，即水桶做初速度为零的匀加速直线运动，故A正确；
题图乙中0~3t0内图像与时间轴所包围的面积表示把水桶从井底提升到井口过程中转筒转过的角度，设为θ，则θ==2ω0t0，故水井的深度为h=θR=2ω0Rt0，故B错误；
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答案
　　　把水桶从井底提升到井口的过程中克服重力做功的平均功率为===，故C错误；
根据动能定理可知，把水桶从井底提升到井口的过程中合力对水桶和桶中水做功为W合=mv2-0=m(ω0R)2=，故D正确。
11.(2025·广东卷·14)如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力Ff随位移大小x的
变化关系为Ff=Ff0(1-)，其中Ff0为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，
底面积为S，加速度为a，齿轮半径为r，
重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为
Δp且近似不变，瓶子始终静止在桌面上
(提示：可用Ff-x图线下的“面积”表示
Ff所做的功)。求：
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尖子生选练
(1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度ω。
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答案
答案　
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答案
　　　木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式有=2ah
根据角速度和线速度的关系v0=ωr
联立解得ω=
(2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
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答案　mah+mgh+Ff0h+ΔpSh
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答案
　　　根据题意画出木塞摩擦力与位移x的关系图如图所示
可得摩擦力对木塞所做的功为Wf=-Ff0h
对木塞，根据动能定理有W+Wf-mgh-ΔpSh=m-0
解得W=mah+mgh+Ff0h+ΔpSh
(3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
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答案
答案　P=magt+ma2t+ΔpSat+Ff0at-t3(0≤t≤)
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　　　设拔塞钻对木塞的作用力为F，对木塞，根据牛顿第二定律有F-mg-Ff-ΔpS=ma
速度v=at
位移x=at2
拔塞钻的瞬时功率P=Fv
联立解得P=magt+ma2t+ΔpSat+Ff0at-t3(0≤t≤)。
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第六章

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