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第64课时　法拉第电磁感应定律、自感和涡流
目标要求　1.理解法拉第电磁感应定律，会应用E=n进行有关计算。2.会计算导体切割磁感线产生的感应电动势。3.了解自感现象、涡流、电磁驱动和电磁阻尼。
考点一　法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.感应电动势
(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过电路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E=n，其中n为线圈匝数。
①若已知Φ-t图像，则图线上某一点的切线斜率为。
②当ΔΦ仅由B的变化引起时，E=nS，其中S为线圈在磁场中的有效面积。若B=B0+kt，则=k。
③当ΔΦ仅由S的变化引起时，E=nB。
④当B、S同时变化时，则=n≠n。求瞬时值时，分别求出动生电动势E1和感生电动势E2并进行叠加。
(3)感应电流与感应电动势的关系：I=。
(4)说明：E的大小与Φ、ΔΦ无关，决定于磁通量的变化率。
注：Φ=0，不一定等于0。
例1　(2025·甘肃卷·6)闭合金属框放置在磁场中，金属框平面始终与磁感线垂直。如图，磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量，E为金属框中的感应电动势，下列说法正确的是(　　)
A.在0~内，Φ和E均随时间增大
B.当t=与时，E大小相等，方向相同
C.当t=时，Φ最大，E为零
D.当t=时，Φ和E均为零
答案　C
解析　在0~时间内，磁感应强度B增加，根据Φ=BS可知磁通量Φ增加，但是B-t图像的斜率减小，即磁感应强度B的变化率逐渐减小，根据法拉第电磁感应定律可知E=S，感应电动势E逐渐减小，选项A错误；当t=和t=时，因B-t图像的斜率绝对值相等，符号相反，可知感应电动势E大小相等，方向相反，选项B错误；t=时，B最大，则磁通量Φ最大，但是B的变化率为零，则感应电动势E为零，选项C正确；t=时，B为零，则磁通量Φ为零，但是B的变化率最大，则感应电动势E最大，选项D错误。
例2　(2024·福建卷·4)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带，两条平行长边镶有铜丝，将纸带一端扭转180°，与另一端连接，形成拓扑结构的莫比乌斯环，如图所示。连接后，纸环边缘的铜丝形成闭合回路，纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过，磁场区域的边界是半径为r的圆(r < R)。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B=kt(k为常量)，则回路中产生的感应电动势大小为(　　)
A.0 B.kπR2 C.2kπr2 D.2kπR2
答案　C
解析　由题意可知，铜丝构成的莫比乌斯环形成了两匝(n=2)线圈串联的闭合回路，穿过回路的磁场有效面积为S=πr2，根据法拉第电磁感应定律可知，回路中产生的感应电动势大小为E=n=n=2kπr2，故选C。
考点二　动生电动势的计算
1.导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E=Blv的理解
适用 条件 在匀强磁场中，B、l、v三者互相垂直。如果不相互垂直，应取垂直分量进行计算
有效 长度 公式E=Blv中的l为有效长度，即为导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度。如图，导体的有效长度分别为： 图甲：l=sin β 图乙：沿v方向运动时，l= 图丙：沿v1方向运动时，l=R；沿v2方向运动时，l=R
相对 速度 E=Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系
2.导体转动切割磁感线
如图，当长为l的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动，当导体运动Δt时间后，转过的弧度θ=ωΔt，扫过的面积ΔS=l2ωΔt，则E===Bl2ω(或E=Bl=Bl=Bl2ω)。
例3　(来自教材改编)(2025·陕西宝鸡市一模)如图所示，在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一水平放置的长度为L的金属棒ab从距地面高为h处，以水平初速度v0抛出。设运动的整个过程中棒始终保持水平，且不计空气阻力，重力加速度为g，则落地时金属棒ab两端产生的感应电动势和电势高低，判断正确的是(　　)
A.E=BLv0，φa>φb
B.E=BL，φa>φb
C.E=BLv0，φa<φb
D.E=BL，φa<φb
答案　C
解析　金属棒ab在运动过程中切割磁感线的分速度为水平速度v0，保持不变，则金属棒ab两端产生的感应电动势大小为E=BLv0，根据右手定则可判断金属棒b端比a端电势高，即φa<φb，故选C。
例4　(2025·黑龙江齐齐哈尔市三模)如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，金属棒MN以角速度ω绕过O点的竖直轴PQ顺时针(从上往下看)旋转。已知NQ=2MP=2r。则(　　)
A.M点电势低于O点电势
B.N点电势低于M点电势
C.MN两点的电势差为Br2ω
D.NM两点的电势差为Br2ω
答案　D
解析　根据右手定则可知，M点的电势高于O点的电势，A错误；由题可知，MO部分切割磁感线的有效长度为MP长度，等于r，NO部分切割磁感线的有效长度为NQ长度，等于2r，可知两部分切割磁感线产生的电动势分别为EMO=Br·=Bωr2，ENO=B·2r·=2Bωr2，由于金属棒未与其他导体构成闭合回路，所以有UMO=EMO=Bωr2，UNO=ENO=2Bωr2，故有UNM=UNO-UMO=Bωr2，φN>φM，B、C错误，D正确。
考点三　自感现象
1.概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场在线圈本身激发出感应电动势，这种现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫作自感电动势。
2.表达式：E=L。
3.自感系数L的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关。
4.通电自感和断电自感的比较
电路图
器材要求 A1、A2同规格，R=RL，L较大 L很大(有铁芯)
通电时 在S闭合瞬间，灯泡A2立即亮起来，灯泡A1逐渐变亮，最终一样亮 灯泡A立即亮，然后逐渐变暗达到稳定
断电时 回路电流减小，两灯泡均逐渐变暗，A1电流方向不变，A2电流反向 ①若I2≤I1，灯A逐渐变暗； ②若I2>I1，灯A闪亮后逐渐变暗 两种情况下灯A中电流方向均改变(选填“改变”或“不变”)
总结 自感电动势总是阻碍原电流的变化
例5　图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是(　　)
A.图甲中，A1与L1的电阻值相同
B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C.图乙中，滑动变阻器R与L2的电阻值相同
D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与滑动变阻器R中电流相等
答案　C
解析　在题图甲中，断开开关S1瞬间，L1与A1构成闭合回路，通过灯A1的电流与通过L1的电流相同，又因灯A1突然闪亮，即通过A1电流增大，则可推出，闭合S1待电路稳定后，通过L1的电流大于通过A1电流，根据L1与A1并联，所以L1的电阻小于A1的电阻，故选项A、B错误；在题图乙中，闭合开关S2，最终A2与A3亮度相同，即电流相同，所以L2与滑动变阻器R的电阻相同；闭合开关S2的瞬间，L2中电流小于滑动变阻器R中电流，故选项C正确，D错误。
　分析自感问题的三个技巧
考点四　涡流　电磁阻尼和电磁驱动
1.感生电场
磁场变化时会在空间激发一种电场，叫作感生电场。感生电场的方向与感应电流方向一致。
2.涡流现象
(1)涡流：块状金属放在变化磁场中，或者让它在非均匀磁场中运动时，金属块内产生的漩涡状感应电流。
(2)产生原因：金属块内磁通量变化→感应电动势→感应电流。
3.电磁阻尼
当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力总是阻碍导体的运动。
4.电磁驱动
如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流使导体受到安培力而运动起来。
例6　(2025·安徽池州市期中)如图甲所示为探究电磁驱动的实验装置。某个铝框置于蹄形磁体的两个磁极间，铝框可以绕支点自由转动，其截面图如图乙所示。开始时，铝框和磁体均静止，转动磁体，会发现铝框也会跟着发生转动，下列说法正确的是(　　)
A.铝框是因为受到安培力而转动的
B.铝框转动的速度的大小和方向与磁体相同
C.磁体从图乙位置开始转动时，铝框截面abcd中的感应电流的方向为a→d→c→b→a
D.当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，铝框将保持匀速转动
答案　A
解析　磁体从题图乙位置开始转动时，导致通过铝框截面的磁通量增加，从而产生感应电流，方向为a→b→c→d→a，因而受到安培力作用，导致铝框转动，所以铝框是因为受到安培力而转动的，A项正确，C项错误；根据楞次定律可知，为阻碍磁通量增加，则导致铝框与磁体转动方向相同，但快慢不相同，铝框的转速一定比磁体的转速小，B项错误；当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，由于铝框转动的过程中仍然能产生感应电流，所以铝框会受到反方向安培力作用逐渐减速直到停止运动，D项错误。
例7　(多选)(2025·广东茂名市模拟)如图甲所示为电子感应加速器的结构原理图：在上下两磁极线圈中通入图甲所示电流，两磁极间近似形成图乙(俯视图)所示的Ⅰ、Ⅱ两个匀强磁场区域，其中区域Ⅰ为半径为R的圆形区域，区域Ⅱ为内径为R、外径为2R的环形区域。区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度大小随时间分别按B1=4B2=4kt(k>0且为常数)规律变化。已知变化磁场会在空间中产生感生电场，其电场线是水平面内一系列以O为圆心的同心圆，同一条电场线上电场强度大小为E=，其中r为电场线所在圆的半径，ξ为与电场线重合的单匝线圈所产生的电动势。设电子(质量为m，电荷量为e)在t=0时刻从磁场中由静止释放后，恰好以O为圆心沿图乙中虚线轨迹做圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A.图乙中区域Ⅰ和Ⅱ的匀强磁场方向垂直纸面向里
B.距离圆心O为r处(RC.电子沿图乙中虚线逆时针方向运动
D.电子沿图乙中虚线做圆周运动的半径为R
答案　AD
解析　根据上下两磁极线圈中通入的电流方向，结合右手螺旋定则可知，题图乙中区域Ⅰ和Ⅱ的匀强磁场方向垂直纸面向里，选项A正确；距离圆心O为r处(R课时精练
[分值：60分]
　[1~6题，每题4分]
1.(2024·甘肃卷·6)工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示。当线圈中通有交变电流时，下列说法正确的是(　　)
A.金属中产生恒定感应电流
B.金属中产生交变感应电流
C.若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D.若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变
答案　B
解析　当线圈中通有交变电流时，感应电炉金属内的磁通量也不断随之变化，金属中产生交变感应电流，A错误，B正确；若线圈匝数增加，根据电磁感应定律E=n可知，感应电动势增大，则金属中感应电流变大，C、D错误。
2.(多选)(2025·江西卷·8)如图所示，一细金属导体棒PQ在匀强磁场中沿纸面由静止开始向右运动，磁场方向垂直纸面向里。不考虑棒中自由电子的热运动。下列选项正确的是(　　)
A.电子沿棒运动时不受洛伦兹力作用
B.棒运动时，P端比Q端电势低
C.棒加速运动时，棒中电场强度变大
D.棒保持匀速运动时，电子最终相对棒静止
答案　CD
解析　由左手定则可知，电子沿棒运动时受到洛伦兹力作用，A错误；根据右手定则可知，棒向右运动时，P端比Q端电势高，B错误；PQ两端电势差U=BLv，可知棒中电场强度E==Bv，则棒加速运动时，棒中电场强度变大，C正确；棒保持匀速运动时，PQ两端电势差保持恒定，电子将聚集在导体棒Q端，最终相对棒静止，D正确。
3.(2023·重庆卷·2)某小组设计了一种呼吸监测方案：在人身上缠绕弹性金属线圈，观察人呼吸时处于匀强磁场中的线圈面积变化产生的电压，了解人的呼吸状况。如图所示，线圈P的匝数为N，磁场的磁感应强度大小为B，方向与线圈轴线的夹角为θ。若某次吸气时，在t时间内每匝线圈面积增加了S，则线圈P在该时间内的平均感应电动势为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　根据法拉第电磁感应定律有=N=NBcos θ·=，故选A。
4.(2025·江苏扬州市模拟)如图所示，线圈L的自感系数很大、电阻不计，电阻R1的阻值大于电阻R2的阻值，在t=0时刻闭合开关S，经过一段时间后，在t=t1时刻断开S，下列表示电阻R1的电流I1、电阻R2的电流I2随时间t变化的图像中，正确的是(　　)
答案　D
解析　开关闭合时，线圈由于自感对电流的变化有阻碍作用，可看作阻值很大的电阻，当电路逐渐稳定，通过线圈所在支路的电流I2逐渐增大，故电阻R1的电流I1逐渐减小；在t=t1时刻断开S，线圈的感应电流与原电流方向相同，形成回路，通过电阻R1的电流与原电流方向相反，并逐渐减小到0，又由于电阻R1的阻值大于电阻R2的阻值，当开关闭合稳定时，线圈所在支路的电流I2大于流过电阻R1的电流I1，故当开关断开瞬间，线圈产生的感应电流也大于原来流过电阻R1的电流I1。故选D。
5.(2025·江西省模拟)如图，在O-xyz空间坐标系中，有一硬质轻导线abcd，其中△bcd是等腰直角三角形，bc⊥cd，ab⊥bd，bc、cd长均为l，ab长为l。该导线始终在xOy平面内，以a点为圆心、角速度ω做顺时针匀速转动，在xOy平面内存在沿z轴正方向、磁感应强度为B的匀强磁场。a、c、d各点电势关系为(　　)
A.φa>φc>φd，Uad>
B.φa<φc<φd，Uad<
C.φa>φc=φd，Uad=
D.φa<φc=φd，Uad=-
答案　C
解析　由几何关系可知，lad=lac=l，该导线始终在xOy平面内以a点为圆心做顺时针转动，根据右手定则可判断a、c、d各点电势关系为φa>φc，φa>φd，由法拉第电磁感应定律可得，a、d间产生的感应电动势为Uad==，同理由lad=lac可知Uac=Uad，故φa>φc=φd，故选C。
6.(多选)(2025·黑吉辽蒙卷·9)如图，“”形导线框置于磁感应强度大小为B、方向水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直，各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动，be与磁场方向垂直。t=0时，abef与水平面平行，则(　　)
A.t=0时，电流方向为abcdefa
B.t=0时，感应电动势为Bl2ω
C.t=时，感应电动势为0
D.t=0到t=过程中，感应电动势平均值为0
答案　AB
解析　线框转动时，切割磁感线产生电动势的两条边为cd和af，t=0时刻cd边速度与磁场方向平行，不产生感应电动势，此时af边切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知电流方向为abcdefa，感应电动势为E=Blv=Blωl=Bl2ω，A、B正确；t=时，线框旋转180°，此时依旧是af边切割磁感线产生感应电动势，感应电动势不为零，C错误；t=0到t=的过程中，线框abef的磁通量变化量为零，线框bcde的磁通量变化量大小为|ΔΦ|=2BS=2Bl2，由法拉第电磁感应定律可得平均感应电动势为==，D错误。
　[7题6分]
7.(多选)(2026·甘肃武威市检测)如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的关系为B=kt(k为大于零的常量)。一高为a、电阻为R的正三角形金属线框向右匀速运动。在t=0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t=T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中(　　)
A.线框中的电流始终为逆时针方向
B.线框中的电流先逆时针方向，后顺时针方向
C.t=时刻，流过线框的电流大小为
D.t=时刻，流过线框的电流大小为
答案　AD
解析　穿过线框的磁通量增加，根据楞次定律可知，线框中的电流始终为逆时针方向，选项A正确，B错误；线框的边长为；t=时刻，线框切割磁感线的有效长度为，动生电动势E=Bv=×v×=，由题可知v=，代入解得E=，线框中产生的感生电动势E'==k××(+)×=ka2，则流过线框的电流大小为I==，选项C错误，D正确。
8.(15分)(2025·黑吉辽蒙卷·14)如图(a)，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于始终竖直向下的匀强磁场中，ad边与磁场边界平行，ab边中点位于磁场边界。导体框的质量m=1 kg、电阻R=0.5 Ω、边长L=1 m。磁感应强度B随时间t连续变化，0~1 s内B-t图像如图(b)所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图(c)所示，其中0~1 s内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。
(1)(5分)求t=0.5 s时ad边受到的安培力大小F；
(2)(5分)画出图(b)中1~2 s内B-t图像(无需写出计算过程)；
(3)(5分)从t=2 s开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度v0=0.1 m/s，求ad边离开磁场时的速度大小v1。
答案　(1)0.015 N　(2)见解析图　(3)0.01 m/s
解析　(1)由法拉第电磁感应定律可知E1===××12 V=0.05 V
由欧姆定律可知，0~1 s内导体框中的感应电流大小为I1==0.1 A
由题图(b)可知，t=0.5 s时磁感应强度大小为B0.5=0.15 T
所以此时导体框ad边受到的安培力大小F=B0.5I1L=0.15×0.1×1 N=0.015 N
(2)由题图(c)可知1~2 s内导体框中的感应电流大小为I2=0.2 A，方向为逆时针，根据欧姆定律可知1~2 s内导体框的感应电动势大小为E2=I2R=0.1 V
由于磁感应强度B随时间t连续变化且磁场方向始终竖直向下，由楞次定律可知磁感应强度B增大。
由法拉第电磁感应定律有E2===0.1 V
可知1~2 s内磁感应强度的变化率为==0.2 T/s
则t=2 s时磁感应强度大小为B2=0.3 T，方向竖直向下，故1~2 s内的B-t图像如图所示。
(3)由动量定理可知-B2LΔt=mv1-mv0
其中q=Δt=Δt==
联立解得v1=0.01 m/s。
9.(15分)(2023·广东卷·14)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0~τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t=0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示。随后在τ~2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ~3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
(1)(5分)t=0时线框所受的安培力F；
(2)(5分)t=1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
(3)(5分)2τ~3τ时间内，线框中产生的热量Q。
答案　(1)，方向水平向左　(2)　(3)
解析　(1)由题图可知t=0时线框切割磁感线产生的感应电动势为E=2B0hv+B0hv=3B0hv，则感应电流大小为I==
线框所受的安培力为
F=2B0h+B0h=
方向水平向左；
(2)在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，
则t=1.2τ时穿过线框的磁通量为
Φ=1.6B0h·h-B0h·h=
方向垂直纸面向里；
(3)2τ~3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有E'===
感应电流大小为I'==，则2τ~3τ时间内，线框中产生的热量为Q=I'2Rτ=。(共67张PPT)
电磁感应
第十二章
法拉第电磁感应定律、
自感和涡流
第64课时
1.理解法拉第电磁感应定律，会应用E=n进行有关计算。
2.会计算导体切割磁感线产生的感应电动势。
3.了解自感现象、涡流、电磁驱动和电磁阻尼。
目标要求
考点一　法拉第电磁感应定律的理解及应用
考点二　动生电动势的计算
内容索引
考点三　自感现象
课时精练
考点四　涡流　电磁阻尼和电磁驱动
法拉第电磁感应定律的理解及应用
考点一
1.感应电动势
(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过电路的 发生改变，与电路是否闭合无关。
磁通量
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的__________
成正比。
(2)公式：E=n，其中n为线圈匝数。
①若已知Φ-t图像，则图线上某一点的切线斜率为。
②当ΔΦ仅由B的变化引起时，E=nS，其中S为线圈在磁场中的有效面积。若B=B0+kt，则=k。
磁通量的变
化率
③当ΔΦ仅由S的变化引起时，E=nB。
④当B、S同时变化时，则=n≠n。求瞬时值时，分别求出动生电动势E1和感生电动势E2并进行叠加。
(3)感应电流与感应电动势的关系：I=______。
(4)说明：E的大小与Φ、ΔΦ无关，决定于磁通量的变化率。
注：Φ=0，不一定等于0。
　　　(2025·甘肃卷·6)闭合金属框放置在磁场中，金属框平面始终与磁感线垂直。如图，磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量，E为金属框中的感应电动势，下列说法正确的是
A.在0~内，Φ和E均随时间增大
B.当t=与时，E大小相等，方向相同
C.当t=时，Φ最大，E为零
D.当t=时，Φ和E均为零
√
　　　在0~时间内，磁感应强度B增加，根据Φ=BS可知磁通量Φ增加，但是B-t图像的斜率减小，即磁感应强度B的变化率逐渐减小，根据法拉第电磁感应定律可知E=S，感应电动势E逐渐减小，选项A错误；
当t=和t=时，因B-t图像的斜率绝对值相等，符号相反，可知感应电动势E大小相等，方向相反，选项B错误；
t=时，B最大，则磁通量Φ最大，但是B的变化率为零，则感应电动势E为零，选项C正确；
t=时，B为零，则磁通量Φ为零，但是B的变化率最大，则感应电动势E最大，选项D错误。
　　　(2024·福建卷·4)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带，两条平行长边镶有铜丝，将纸带一端扭转180°，与另一端连接，形成拓扑结构的莫比乌斯环，如图所示。连接后，纸环边缘的铜丝形成闭合回路，纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过，磁场区域的边界是半径为r的圆(r < R)。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B=kt(k为常量)，则回路中产生的感应电动势大小为
A.0 B.kπR2
C.2kπr2 D.2kπR2
√
　　　由题意可知，铜丝构成的莫比乌斯环形成了两匝(n=2)线圈串联的闭合回路，穿过回路的磁场有效面积为S=πr2，根据法拉第电磁感应定律可知，回路中产生的感应电动势大小为E=n=n=2kπr2，故选C。
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动生电动势的计算
考点二
1.导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E=Blv的理解
适用 条件 在匀强磁场中，B、l、v三者互相垂直。如果不相互垂直，应取垂直分量进行计算
有效 长度 公式E=Blv中的l为有效长度，即为__________________________________
________。如图，导体的有效长度分别为：
图甲：l=________
图乙：沿v方向运动时，l=_____
图丙：沿v1方向运动时，l=_____；沿v2方向运动时，l=___
相对 速度 E=Blv中的速度v是导体相对 的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系
导体两端点连线在垂直于速度方向上的
投影长度
sin β
R
R
磁场
2.导体转动切割磁感线
如图，当长为l的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动，当导体运动Δt时间后，转过的弧度θ=ωΔt，扫过的面积ΔS=______，则E===(或E=Bl=Bl=_______)。
l2ωΔt
Bl2ω
Bl2ω
　　　(来自教材改编)(2025·陕西宝鸡市一模)如图所示，在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一水平放置的长度为L的金属棒ab从距地面高为h处，以水平初速度v0抛出。设运动的整个过程中棒始终保持水平，且不计空气阻力，重力加速度为g，则落地时金属棒ab两端产生的感应电动势和电势高低，判断正确的是
A.E=BLv0，φa>φb
B.E=BL，φa>φb
C.E=BLv0，φa<φb
D.E=BL，φa<φb
√
　　　金属棒ab在运动过程中切割磁感线的分速度为水平速度v0，保持不变，则金属棒ab两端产生的感应电动势大小为E=BLv0，根据右手定则可判断金属棒b端比a端电势高，即φa<φb，故选C。
　　　(2025·黑龙江齐齐哈尔市三模)如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，金属棒MN以角速度ω绕过O点的竖直轴PQ顺时针(从上往下看)旋转。已知NQ=2MP=2r。则
A.M点电势低于O点电势
B.N点电势低于M点电势
C.MN两点的电势差为Br2ω
D.NM两点的电势差为Br2ω
√
　　　根据右手定则可知，M点的电势高于O点的电势，A错误；
由题可知，MO部分切割磁感线的有效长度为MP长度，等于r，NO部分切割磁感线的有效长度为NQ长度，等于2r，可知两部分切割磁感线产生的电动势分别为EMO=Br·=Bωr2，ENO=B·2r·=2Bωr2，由于金属棒未与其他导体构成闭合回路，所以有UMO=EMO=Bωr2，UNO=ENO=2Bωr2，故有UNM=UNO-UMO=Bωr2，φN>φM，B、C错误，D正确。
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自感现象
考点三
1.概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场在线圈本身激发出 ，这种现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫作自感电动势。
2.表达式：E=_____。
3.自感系数L的影响因素：与线圈的 、形状、 以及是否有铁芯有关。
感应电动势
L
大小
匝数
4.通电自感和断电自感的比较
电路图
器材要求 A1、A2同规格，R=RL，L较大 L很大(有铁芯)
通电时 在S闭合瞬间，灯泡A2 ，灯泡A1 ，最终一样亮 灯泡A_________________
_______________
立即亮起来
逐渐变亮
立即亮，然后逐渐变暗达到稳定
断电时 回路电流减小，两灯泡 ，A1电流方向 ，A2电流_____ ①若I2≤I1，灯A逐渐变暗；
②若I2>I1，灯A______________
两种情况下灯A中电流方向均______
(选填“改变”或“不变”)
总结 自感电动势总是__________________
均逐渐变暗
不变
反向
闪亮后逐渐变暗
改变
阻碍原电流的变化
　　　图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是
A.图甲中，A1与L1的电阻值相同
B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流
大于L1中电流
C.图乙中，滑动变阻器R与L2的电阻值相同
D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与滑动变阻器R中电流相等
√
　　　在题图甲中，断开开关S1瞬间，L1与A1构成闭合回路，通过灯A1的电流与通过L1的电流相同，又因灯A1突然闪亮，即通过A1电流增大，则可推出，闭合S1待电路稳定后，通过L1的电流大于通过A1电流，根据L1与A1并联，所以L1的电阻小于A1的电阻，故选项A、B错误；
在题图乙中，闭合开关S2，最终A2与A3亮度相同，即电流相同，所以L2与滑动变阻器R的电阻相同；闭合开关S2的瞬间，L2中电流小于滑动变阻器R中电流，故选项C正确，D错误。
分析自感问题的三个技巧
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涡流　电磁阻尼和电磁驱动
考点四
1.感生电场
磁场变化时会在空间激发一种电场，叫作感生电场。感生电场的方向与感应电流方向一致。
2.涡流现象
(1)涡流：块状金属放在 磁场中，或者让它在非均匀磁场中运动时，金属块内产生的漩涡状感应电流。
(2)产生原因：金属块内 变化→感应电动势→感应电流。
变化
磁通量
3.电磁阻尼
当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力总是
导体的运动。
4.电磁驱动
如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生 使导体受到安培力而运动起来。
阻碍
感应电流
　　　 (2025·安徽池州市期中)如图甲所示为探究电磁驱动的实验装置。某个铝框置于蹄形磁体的两个磁极间，铝框可以绕支点自由转动，其截面图如图乙所示。开始时，铝框和磁体均静止，转动磁体，会发现铝框也会跟着发生转动，下列说法正确的是
A.铝框是因为受到安培力而转动的
B.铝框转动的速度的大小和方向与磁体相同
C.磁体从图乙位置开始转动时，铝框截面abcd中
的感应电流的方向为a→d→c→b→a
D.当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，铝框将保持匀速转动
√
　　　磁体从题图乙位置开始转动时，导致通过铝框截面的磁通量增加，从而产生感应电流，方向为a→b→c→d→a，因而受到安培力作用，导致铝框转动，所以铝框是因为受到安培力而转动的，A项正确，C项错误；
根据楞次定律可知，为阻碍磁通量增加，则导致铝框与磁体转动方向相同，但快慢不相同，铝框的转速一定比磁体的转速小，B项错误；
当磁体停止转动后，如果忽略空气阻力和摩擦力，由于铝框转动的过程中仍然能产生感应电流，所以铝框会受到反方向安培力作用逐渐减速直到停止运动，D项错误。
　　　 (多选)(2025·广东茂名市模拟)如图甲所示为电子感应加速器的结构原理图：在上下两磁极线圈中通入图甲所示电流，两磁极间近似形成图乙(俯视图)所示的Ⅰ、Ⅱ两个匀强磁场区域，其中区域Ⅰ为半径为R的圆形区域，区域Ⅱ为内径为R、外径为2R的环形区域。区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度大小随时间分别按B1=4B2=4kt(k>0且为常数)规律变化。已知变化磁场会在空间中产生感生电场，其电场线是水平面内一系列以O为圆心的同心圆，同一条电场线上电场强度大小为E=，其中r为电场线所在圆的半径，ξ为与电场线重合的单匝线圈所产生的电动势。设电子(质量为m，电荷量为e)在t=0时刻从磁场中由静止释放后，恰好以O为圆心沿图乙中虚线轨迹做圆周运动，下列说法正确的是
A.图乙中区域Ⅰ和Ⅱ的匀强磁场方向垂直纸面向里
B.距离圆心O为r处(RC.电子沿图乙中虚线逆时针方向运动
D.电子沿图乙中虚线做圆周运动的半径为R
√
√
　　　根据上下两磁极线圈中通入的电流方向，结合右手螺旋定则可知，题图乙中区域Ⅰ和Ⅱ的匀强磁场方向垂直纸面向里，选项A正确；
距离圆心O为r处(R根据题意电子所在区域磁场向里增大，根据楞次定律可知产生逆时针方向的感生电场，故电子沿题图乙中虚线顺时针方向运动，选项C错误；
　　　电子沿切线方向的加速度a==，在t时刻的速度v=at=
，根据B2ev=m，解得电子沿题图乙中虚线做圆周运动时的半径为r=R，选项D正确。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B CD A D C AB AD
题号 8 9
答案 (1)0.015 N　(2)见解析图　(3)0.01 m/s (1)，方向水平向左　(2)　(3)
答案
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1.(2024·甘肃卷·6)工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示。当线圈中通有交变电流时，下列说法正确的是
A.金属中产生恒定感应电流
B.金属中产生交变感应电流
C.若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D.若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变
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答案
基础落实练
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答案
　　　当线圈中通有交变电流时，感应电炉金属内的磁通量也不断随之变化，金属中产生交变感应电流，A错误，B正确；
若线圈匝数增加，根据电磁感应定律E=n可知，感应电动势增大，则金属中感应电流变大，C、D错误。
2.(多选)(2025·江西卷·8)如图所示，一细金属导体棒PQ在匀强磁场中沿纸面由静止开始向右运动，磁场方向垂直纸面向里。不考虑棒中自由电子的热运动。下列选项正确的是
A.电子沿棒运动时不受洛伦兹力作用
B.棒运动时，P端比Q端电势低
C.棒加速运动时，棒中电场强度变大
D.棒保持匀速运动时，电子最终相对棒静止
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答案
√
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答案
　　　由左手定则可知，电子沿棒运动时受到洛伦兹力作用，A错误；
根据右手定则可知，棒向右运动时，P端比Q端电势高，B错误；
PQ两端电势差U=BLv，可知棒中电场强度E==Bv，则棒加速运动时，棒中电场强度变大，C正确；
棒保持匀速运动时，PQ两端电势差保持恒定，电子将聚集在导体棒Q端，最终相对棒静止，D正确。
3.(2023·重庆卷·2)某小组设计了一种呼吸监测方案：在人身上缠绕弹性金属线圈，观察人呼吸时处于匀强磁场中的线圈面积变化产生的电压，了解人的呼吸状况。如图所示，线圈P的匝数为N，磁场的磁感应强度大小为B，方向与线圈轴线的夹角为θ。若某次吸气时，在t时间内每匝线圈面积增加了S，则线圈P在该时间内的平均感应电动势为
A. B.
C. D.
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答案
√
　　　根据法拉第电磁感应定律有=N=NBcos θ·=，故选A。
4.(2025·江苏扬州市模拟)如图所示，线圈L的自感系数很大、电阻不计，电阻R1的阻值大于电阻R2的阻值，在t=0时刻闭合开关S，经过一段时间后，在t=t1时刻断开S，下列表示电阻R1的电流I1、电阻R2的电流I2随时间t变化的图像中，正确的是
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答案
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答案
　　　开关闭合时，线圈由于自感对电流的变化有阻碍作用，可看作阻值很大的电阻，当电路逐渐稳定，通过线圈所在支路的电流I2逐渐增大，故电阻R1的电流I1逐渐减小；在t=t1时刻断开S，线圈的感应电流与原电流方向相同，形成回路，通过电阻R1的电流与原电流方向相反，并逐渐减小到0，又由于电阻R1的阻值大于电阻R2的阻值，当开关闭合稳定时，线圈所在支路的电流I2大于流过电阻R1的电流I1，故当开关断开瞬间，线圈产生的感应电流也大于原来流过电阻R1的电流I1。故选D。
5.(2025·江西省模拟)如图，在O-xyz空间坐标系中，有一硬质轻导线abcd，其中△bcd是等腰直角三角形，bc⊥cd，ab⊥bd，bc、cd长均为l，ab长为l。该导线始终在xOy平面内，以a点为圆心、角速度ω做顺时针匀速转动，在xOy平面内存在沿z轴正方向、磁感应强度为B的匀强磁场。a、c、d各点电势关系为
A.φa>φc>φd，Uad>
B.φa<φc<φd，Uad<
C.φa>φc=φd，Uad=
D.φa<φc=φd，Uad=-
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答案
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答案
　　　由几何关系可知，lad=lac=l，该导线始终在xOy平面内以a点为圆心做顺时针转动，根据右手定则可判断a、c、d各点电势关系为φa>φc，φa>φd，由法拉第电磁感应定律可得，a、d间产生的感应电动势为Uad=
=，同理由lad=lac可知Uac=Uad，故φa>φc=φd，故选C。
6.(多选)(2025·黑吉辽蒙卷·9)如图，“ ”形导线框置于磁感应强度大小为B、方向水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直，各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动，be与磁场方向垂直。t=0时，abef与水平面平行，则
A.t=0时，电流方向为abcdefa
B.t=0时，感应电动势为Bl2ω
C.t=时，感应电动势为0
D.t=0到t=过程中，感应电动势平均值为0
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答案
√
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答案
　　　线框转动时，切割磁感线产生电动势的两条边为cd和af，t=0时刻cd边速度与磁场方向平行，不产生感应电动势，此时af边切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知电流方向为abcdefa，感应电动势为E=Blv=Blωl=Bl2ω，A、B正确；
t=时，线框旋转180°，此时依旧是af边切割磁感线产生感应电动势，感应电动势不为零，C错误；
t=0到t=的过程中，线框abef的磁通量变化量为零，线框bcde的磁通量变化量大小为|ΔΦ|=2BS=2Bl2，由法拉第电磁感应定律可得平均感应电动势为==，D错误。
7.(多选)(2026·甘肃武威市检测)如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的关系为B=kt(k为大于零的常量)。一高为a、电阻为R的正三角形金属线框向右匀速运动。在t=0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t=T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中
A.线框中的电流始终为逆时针方向
B.线框中的电流先逆时针方向，后顺时针方向
C.t=时刻，流过线框的电流大小为
D.t=时刻，流过线框的电流大小为
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答案
能力综合练
√
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答案
　　　穿过线框的磁通量增加，根据楞次定律可知，线框中的电流始终为逆时针方向，选项A正确，B错误；
线框的边长为；t=时刻，线框切割磁感线的有效长度为，动生电动势E=Bv=×v×=，由题可知v=，代入解得E=，线框中产生的感生电动势E'==k××(+)×=ka2，则流过线框的电流大小为I==，选项C错误，D正确。
8.(2025·黑吉辽蒙卷·14)如图(a)，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于始终竖直向下的匀强磁场中，ad边与磁场边界平行，ab边中点位于磁场边界。导体框的质量m=1 kg、电阻R=0.5 Ω、边长L=
1 m。磁感应强度B随时间t连续变化，0~1 s内B-t图像如图(b)所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图(c)所示，其中0~1 s内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。
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答案
(1)求t=0.5 s时ad边受到的安培力大小F；
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答案
答案　0.015 N
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答案
　　　由法拉第电磁感应定律可知E1===××12 V=0.05 V
由欧姆定律可知，0~1 s内导体框中的感应电流大小为I1==0.1 A
由题图(b)可知，t=0.5 s时磁感应强度大小为B0.5=0.15 T
所以此时导体框ad边受到的安培力大小F=B0.5I1L=0.15×0.1×1 N=0.015 N
(2)画出图(b)中1~2 s内B-t图像(无需写出计算过程)；
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答案
答案　见解析图
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答案
　　　由题图(c)可知1~2 s内导体框中的感应电流大小为I2=0.2 A，方向为逆时针，根据欧姆定律可知1~2 s内导体框的感应电动势大小为E2=I2R=0.1 V
由于磁感应强度B随时间t连续变化且磁场方向始终竖直向下，由楞次定律可知磁感应强度B增大。
由法拉第电磁感应定律有E2===0.1 V
可知1~2 s内磁感应强度的变化率为==0.2 T/s
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答案
　　　则t=2 s时磁感应强度大小为B2=0.3 T，方向竖直向下，故1~2 s内的B-t图像如图所示。
(3)从t=2 s开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度v0=0.1 m/s，求ad边离开磁场时的速度大小v1。
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答案
答案　0.01 m/s
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答案
　　　由动量定理可知-B2LΔt=mv1-mv0
其中q=Δt=Δt==
联立解得v1=0.01 m/s。
9.(2023·广东卷·14)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0~τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，
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答案
边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t=0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示。随后在τ~2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ~3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
(1)t=0时线框所受的安培力F；
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答案
答案　，方向水平向左
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答案
　　　由题图可知t=0时线框切割磁感线产生的感应电动势为E=2B0hv+B0hv=3B0hv，则感应电流大小为I==
线框所受的安培力为
F=2B0h+B0h=
方向水平向左；
(2)t=1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
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答案
答案　
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答案
　　　在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，
则t=1.2τ时穿过线框的磁通量为
Φ=1.6B0h·h-B0h·h=
方向垂直纸面向里；
(3)2τ~3τ时间内，线框中产生的热量Q。
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答案　
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答案
　　　2τ~3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有E'===
感应电流大小为I'==，则2τ~3τ时间内，线框中产生的热量为Q=I'2Rτ=。
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第十二章

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