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　弹簧连接的系统机械能守恒问题
目标要求　知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。
1.含弹簧的系统，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。即Ep重+Ep弹+Ek=E，E为恒量。
2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。
例1　(2025·贵州毕节市三模)如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧O1端和O2端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从弹簧1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为h，重力加速度大小为g。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则(　　)
A.小球到达O点的速率为2
B.小球运动到最低点时加速度大小为2g
C.由C到O的过程，小球的机械能守恒
D.由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大
答案　B
解析　小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态，则弹簧1伸长了h且有F弹=mg，方向向上；开始小球在C点时，弹簧1处于原长状态，弹簧2伸长了h且有F弹'=mg，方向向下；可知两弹簧和小球组成的系统在C、O两点弹性势能相同，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由C到O有mgh=m，解得vO=，选项A错误；设小球在C点的加速度为a，则在C点时F弹'+mg=ma，解得a=2g，由对称性可知，小球运动到最低点时加速度大小也为2g，选项B正确；由C到O的过程，前一阶段弹簧2向下的拉力大于弹簧1向上的拉力，则弹力的合力向下做正功；后一阶段弹簧1向上的拉力大于弹簧2向下的拉力，弹力的合力向上做负功，可知该过程中小球的机械能先增大后减小，选项C、D错误。
例2　(多选)(2026·内蒙古名校联盟联考)在光滑水平面上，水平轻弹簧的左端固定，右端与质量为m的物块A相连，细绳跨过光滑的轻质定滑轮将A与质量为2m的物块B连接，A与滑轮间的细绳水平，B与滑轮间的细绳竖直。弹簧的劲度系数k等于，弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2，重力加速度为g，不计空气阻力。初状态用手托住B，使弹簧处于原长，细绳恰好伸直，由静止开始释放物块B后，A始终未碰到滑轮，B也未落到地上，则(　　)
A.刚释放物块B瞬间物块A的加速度大小为2g
B.物块A运动过程中的最大动能为
C.物块B到下落的最大高度为2x0
D.物块B到最低点时加速度大小为
答案　BD
解析　刚释放B瞬间，物块A和B连接在一起有大小相同的加速度，对A有FT=ma，对B有2mg-FT=2ma，联立可得a=，故A错误；A、B均做直线运动，当所受合力均为零时速度最大，对A有FT'=kx，对B有FT'=2mg，可得此时弹簧伸长量x=2x0，根据系统机械能守恒有2mg·2x0=×3mv2+Ep弹，此时弹簧弹性势能Ep弹=·(2x0)2=2mgx0，联立可得A的最大动能EkA=mv2=，故B正确；B下落到最低点时速度为零，根据机械能守恒有2mg·h=Ep弹'=kh2，可得B下落的最大高度h=4x0，故C错误；B在最低点时，对A有kh-FT″=ma'，对B有FT″-2mg=2ma'，可得a'=，故D正确。
例3　(2025·江苏扬州市质检)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k=200 N/m的与斜面平行的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4 kg 的物体A，一轻细绳绕过轻质定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
答案　(1)30 N　(2)0.2 m　(3)1 m/s
解析　(1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，
对B有mg-FT=ma
对A有FT-mgsin 30°=ma，解得FT=30 N。
(2)开始时弹簧压缩量x1==0.1 m
当A速度最大时，A的加速度为0，
则有mg=kx2+mgsin 30°
解得弹簧伸长量x2=0.1 m
所以A沿斜面上升x1+x2=0.2 m。
(3)因x1=x2，故弹簧弹性势能改变量ΔEp=0，
由系统机械能守恒有：
mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin 30°=×2mv2
解得v=1 m/s。
例4　(2025·江西省联考)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过轻质定滑轮(可视为质点)将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为3m。一开始用手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，然后由静止释放重物Q，使P从图中A点由静止沿竖直杆上下运动，滑块P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，已知一开始OA与水平面的夹角θ=53°，OB与AB垂直，OB长为3L，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮的摩擦力及空气阻力，重力加速度为g，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。当滑块P运动至B点时，其速度大小为(　　)
A. B.2
C.g D.2g
答案　C
解析　P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，所以弹簧在A点的压缩量x等于在B点的伸长量x，且x==2L，弹性势能也相等，开始手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，所以mg=2kL，即L=，从释放Q到P运动至B点过程，由P、Q及弹簧三者组成的系统机械能守恒得3mg·2L-mg·4L=m+×3m，P、Q二者沿着绳子方向速度大小相等得vPcos 90°=vQ=0，解得vP=2，将L=代入可得vP=g，故选C。
1.(多选)(2025·甘肃、青海、宁夏部分学校联考)如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为L，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是(　　)
A.小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球受到的合力等于重力
B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D.小球通过N点时速率为2
答案　AD
解析　OM=ON=2L，OP=L，弹簧的原长为L，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A正确；小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在小球从M运动到N的过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×2L=mv2，解得v=2，故D正确。
2.(2025·陕西延安市模拟)如图所示，光滑细杆竖直固定在地面上，细杆下方穿有一劲度系数为20 N/m的轻质弹簧，弹簧底端固定在水平地面上。一中间带孔、质量为1 kg的物块穿在细杆上，从距离弹簧上端高h=0.75 m的位置由静止释放，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能表达式Ep=kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终未超过弹性限度，重力加速度g取10 m/s2。则物块从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.物块失重下落的高度为0.75 m
B.物块超重下落的高度为1.5 m
C.弹簧的弹性势能最大值为45 J
D.物块的最大速度为2 m/s
答案　D
解析　弹簧弹力等于重力时物块的加速度为0，速度最大，此时弹簧的压缩量x1==0.5 m，所以物块失重下落的高度h1=h+x1=1.25 m，该过程中物块和弹簧组成的系统机械能守恒，有mg(h+x1)-k=mv2，解得v=2 m/s，故A错误，D正确；物块从释放到最低点的过程中，根据系统机械能守恒定律mg(h+x2)=kx2·x2，解得x2=1.5 m，所以物块超重下落的高度h2=x2-x1=1 m，故B错误；弹簧的最大弹性势能Ep=k=22.5 J，故C错误。
3.(2025·广西南宁市期中)如图为一款儿童玩具的简化图，固定的竖直杆AF和半径为R的半圆形杆ABC在A处平滑连接，圆心为O，B为最高点，轻质弹簧的下端固定于F点，弹簧处于原长时，其上端在A处。现将质量为m的小球甲套在杆上，并控制小球将弹簧缓慢压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，恰好到达B点。已知AE的距离为R，重力加速度为g，不计一切摩擦。若换用质量为的小球乙，仍使小球将弹簧压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，则小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为(　　)
A. B.6mg
C. D.
答案　C
解析　对小球甲和弹簧组成的系统，根据机械能守恒可得E弹=mg·2R
同理，对小球乙和弹簧组成的系统，有E弹=g·2R+·v2
小球乙在B点时，由牛顿第二定律可知F向=·=mg>mg，半圆形杆对小球乙的压力竖直向下，则有FN+mg=mg，解得FN=mg
根据牛顿第三定律可知，小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为FN'=FN=，故选C。
4.(2025·安徽合肥市检测)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k=200 N/m的轻质弹簧(保持竖直)相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为10 kg，C的质量为40 kg，重力加速度g取10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，则(　　)
A.从释放C到B速度达到最大过程中，地面对斜面的支持力不断减小
B.A、B、C组成的系统机械能守恒
C.B的最大速度为2 m/s
D.当C的速度最大时弹簧处于原长状态
答案　C
解析　从释放C到B速度达到最大过程，由于C对斜面的压力不变，故地面对斜面的支持力不变，故A错误；运动过程中，由于A、B、C组成的系统机械能与弹簧的弹性势能相互转化，所以A、B、C组成的系统机械能不守恒，故B错误；当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离均为h=xA+xB== m=1 m，由于xA=xB，开始弹簧处于压缩状态时和A刚好离开地面弹簧处于伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度大小相等，设为vB，由题意知A、B质量均为m=10 kg，C的质量M=40 kg，由动能定理得Mghsin α-mgh=(M+m)，由题意知A刚离开地面时，A所受的合力为0，且B、C速度均达到最大值，故B、C所受的合力为0，对A、B、C和弹簧组成的系统，由平衡条件得Mgsin α=2mg，解得sin α=，联立以上解得vB=2 m/s，故C正确；当B的速度最大时，C的速度也是最大的，此时弹簧处于伸长状态，故D错误。(共25张PPT)
第六章
机械能
守恒定律
弹簧连接的系统机械
能守恒问题
微点突破4
知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。
目标要求
1.含弹簧的系统，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。即Ep重+Ep弹+Ek=E，E为恒量。
2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。
　　　(2025·贵州毕节市三模)如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧O1端和O2端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从弹簧1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为h，重力加速度大小为g。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则
A.小球到达O点的速率为2
B.小球运动到最低点时加速度大小为2g
C.由C到O的过程，小球的机械能守恒
D.由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大
√
　　 小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态，则弹簧1伸长了h且有F弹=mg，方向向上；开始小球在C点时，弹簧1处于原长状态，弹簧2伸长了h且有F弹'=mg，方向向下；可知两弹簧和小球组成的系统在C、O两点弹性势能相同，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由C到O有mgh=
m，解得vO=，选项A错误；
设小球在C点的加速度为a，则在C点时F弹'+mg=ma，解得a=2g，由对称性可知，小球运动到最低点时加速度大小也为2g，选项B正确；
由C到O的过程，前一阶段弹簧2向下的拉力大于弹簧1向上的拉力，则弹力的合力向下做正功；后一阶段弹簧1向上的拉力大于弹簧2向下的拉力，弹力的合力向上做负功，可知该过程中小球的机械能先增大后减小，选项C、D错误。
(多选)(2026·内蒙古名校联盟联考)在光滑水平面上，水平轻弹簧的左端固定，右端与质量为m的物块A相连，细绳跨过光滑的轻质定滑轮将A与质量为2m的物块B连接，A与滑轮间的细绳水平，B与滑轮间的细绳竖直。弹簧的劲度系数k等于，弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2，重力加速度为g，不计空气阻力。初状态用手托住B，使弹簧处于原长，细绳恰好伸直，由静止开始释放物块B后，A始终未碰到滑轮，B也未落到地上，则
A.刚释放物块B瞬间物块A的加速度大小为2g
B.物块A运动过程中的最大动能为
C.物块B到下落的最大高度为2x0
D.物块B到最低点时加速度大小为
√
√
　　 刚释放B瞬间，物块A和B连接在一起有大小相同的加速度，对A有FT=
ma，对B有2mg-FT=2ma，联立可得a=，故A错误；
A、B均做直线运动，当所受合力均为零时速度最大，对A有FT'=kx，对B有FT'
=2mg，可得此时弹簧伸长量x=2x0，根据系统机械能守恒有2mg·2x0=×3mv2+
Ep弹，此时弹簧弹性势能Ep弹=·(2x0)2=2mgx0，联立可得A的最大动能EkA=mv2=，故B正确；
B下落到最低点时速度为零，根据机械能守恒有2mg·h=Ep弹'=kh2，可得B下落
的最大高度h=4x0，故C错误；
B在最低点时，对A有kh-FT″=ma'，对B有FT″-2mg=2ma'，可得a'=，故D正确。
　　　(2025·江苏扬州市质检)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k=200 N/m的与斜面平行的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4 kg的物体A，一轻细绳绕过轻质定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
答案　30 N
　　　弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，
对B有mg-FT=ma
对A有FT-mgsin 30°=ma，解得FT=30 N。
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
答案　0.2 m
　　　开始时弹簧压缩量x1==0.1 m
当A速度最大时，A的加速度为0，
则有mg=kx2+mgsin 30°
解得弹簧伸长量x2=0.1 m
所以A沿斜面上升x1+x2=0.2 m。
(3)物体A的最大速度的大小。
答案　1 m/s
　　　因x1=x2，故弹簧弹性势能改变量ΔEp=0，
由系统机械能守恒有：
mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin 30°=×2mv2
解得v=1 m/s。
　　　(2025·江西省联考)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过轻质定滑轮(可视为质点)将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为3m。一开始用手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，然后由静止释放重物Q，使P从图中A点由静止沿竖直杆上下运动，滑块P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，已知一开始OA与水平面的夹角θ=53°，OB与AB垂直，OB长为3L，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮的摩擦力及空气阻力，重力加速度为g，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。当滑块P运动至B点时，其速度大小为
A. B.2
C.g D.2g
√
P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，所以弹簧在A
点的压缩量x等于在B点的伸长量x，且x==2L，弹性势能也相等，开始手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，所以mg=2kL，即L=，从
释放Q到P运动至B点过程，由P、Q及弹簧三者组成的系统机械能守恒得
3mg·2L-mg·4L=m+×3m，P、Q二者沿着绳子方向速度大小相等得vPcos 90°=vQ=0，解得vP=2，将L=代入可得vP=g，故选C。
跟踪训练
1.(多选)(2025·甘肃、青海、宁夏部分学校联考)如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的
距离均为2L。已知弹簧原长为L，重力加速度为g。现让小球从M处由静
止释放，下列说法正确的是
A.小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球受到的合力等
　于重力
B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D.小球通过N点时速率为2
√
√
OM=ON=2L，OP=L，弹簧的原长为L，所以小球在MP之间某个位置时
弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A正确；
小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；
小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；
小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在小球
从M运动到N的过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×2L=mv2，解得v=2，故D正确。
2.(2025·陕西延安市模拟)如图所示，光滑细杆竖直固定在地面上，细杆下方穿有一劲度系数为20 N/m的轻质弹簧，弹簧底端固定在水平地面上。一中间带孔、质量为1 kg的物块穿在细杆上，从距离弹簧上端高h=0.75 m的
位置由静止释放，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能表达式Ep=kx2，其
中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终未超过弹性限度，重力加速度g取10 m/s2。则物块从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是
A.物块失重下落的高度为0.75 m
B.物块超重下落的高度为1.5 m
C.弹簧的弹性势能最大值为45 J
D.物块的最大速度为2 m/s
√
　　 弹簧弹力等于重力时物块的加速度为0，速度最大，此时弹簧的压
缩量x1==0.5 m，所以物块失重下落的高度h1=h+x1=1.25 m，该过程中物块和弹簧组成的系统机械能守恒，有mg(h+x1)-k=mv2，解得v=2 m/s，
故A错误，D正确；
物块从释放到最低点的过程中，根据系统机械能守恒定律mg(h+x2)=kx2·
x2，解得x2=1.5 m，所以物块超重下落的高度h2=x2-x1=1 m，故B错误；
弹簧的最大弹性势能Ep=k=22.5 J，故C错误。
3.(2025·广西南宁市期中)如图为一款儿童玩具的简化图，固定的竖直杆AF和半径为R的半圆形杆ABC在A处平滑连接，圆心为O，B为最高点，轻质弹簧的下端固定于F点，弹簧处于原长时，其上端在A处。现将质量为m的小球甲套在杆上，并控制小球将弹簧缓慢压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，恰好到达B点。已知AE的距离为R，重力加速度为g，不计一切摩擦。若换用质量为的小球乙，仍使小球将弹簧压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，则小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为
A. B.6mg
C. D.
√
　　对小球甲和弹簧组成的系统，根据机械能守恒可得E弹=mg·2R
同理，对小球乙和弹簧组成的系统，有E弹=g·2R+·v2
小球乙在B点时，由牛顿第二定律可知F向=·=mg>mg，半圆形杆对小球乙的压力竖直向下，则有FN+mg=mg，解得FN=mg
根据牛顿第三定律可知，小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为
FN'=FN=，故选C。
4.(2025·安徽合肥市检测)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k=200 N/m的轻质弹簧(保持竖直)相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为10 kg，C的质量为40 kg，重力加速度g取10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，则
A.从释放C到B速度达到最大过程中，地面对斜面的支
　持力不断减小
B.A、B、C组成的系统机械能守恒
C.B的最大速度为2 m/s
D.当C的速度最大时弹簧处于原长状态
√
　　 从释放C到B速度达到最大过程，由于C对斜面的压力不变，故地面对斜面的支持力不变，故A错误；
运动过程中，由于A、B、C组成的系统机械能与弹簧的弹性势能相互转化，所以A、B、C组成的系统机械能不守恒，故B错误；
当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离
均为h=xA+xB== m=1 m，由于xA=xB，开始弹簧处于压缩状态
时和A刚好离开地面弹簧处于伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度大小相等，设为vB，
　　由题意知A、B质量均为m=10 kg，C的质量M=40 kg，由动能定理
得Mghsin α-mgh=(M+m)，由题意知A刚离开地面时，A所受的合力
为0，且B、C速度均达到最大值，故B、C所受的合力为0，对A、B、C
和弹簧组成的系统，由平衡条件得Mgsin α=2mg，解得sin α=，联立以上
解得vB=2 m/s，故C正确；
当B的速度最大时，C的速度也是最大的，此时弹簧处于伸长状态，故D错误。
本课结束
THANKS
第六章

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