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华师大版（2024）八年级下册 19.2 数据的离散程度 暑期巩固
求方差
1、某中学对九年级6个班的学生骑自行车上学的情况进行了调查，得到各班骑自行车上学的人数数据为5，10，10，12，14，9对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A.平均数是10 B.众数是10 C.中位数是11 D.方差是
2、一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
则下列说法错误的是（ ）
A.这组数据的平均数是7 B.这组数据的众数是8 C.这组数据的中位数是6 D.这组数据的方差是3.5
3、如表是杭州市今年3月份某周7天“日最高气温统计表”（单位：℃）．在这组数据中，以下说法正确的是（　　）
A.平均数为17，众数为18 B.中位数为18，众数为18 C.平均数为18，中位数为14 D.中位数为14，方差为7
4、甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为，，方差依次记为，．则 ， ．（均填“＞”、“＝”或“＜”）
5、今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，求这一组数据的方差．
利用方差求未知数据的值
1、小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是（ ）
A.3 B.6 C.7 D.8
2、若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
3、已知一组数据的方差，则 ．
4、小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：
已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则 ．
5、聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他跟在张师傅后学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说；我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，张师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
根据方差判断稳定性
1、甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，则成绩最稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2、已知甲、乙两组各名同学进行跳绳比赛，统计结果：两组的平均数相同，但甲组同学跳绳成绩的方差为，乙组同学跳绳成绩的方差为，则（ ）
A.甲组成绩比乙组成绩更稳定 B.乙组成绩比甲组成绩更稳定 C.甲组比乙组跳的多 D.甲、乙两组的成绩稳定性不能比较
3、甲、乙两班级的学生参加了跳绳测验，两个班的人数与平均成绩均相等，方差分别为205和90，那么成绩较为整齐的是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班一样整齐 D.无法确定
4、甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是 ．
5、一分钟跳绳是绵阳中考体育考试科目必考项之一．红星中学九年级学生刻苦训练，积极备考，为检测训练效果，学校组织了一分钟跳绳比赛．九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表．
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)求男生乙的方差，并分析指出那位男生的成绩更稳定？
6、甲、乙两人玩掷飞镖游戏，每人掷镖10次，每次成绩（单位：分）均为不超过5的自然数．甲的10次掷镖成绩记录如下：3 0 2 a 2 5 3 b 4 5
如图是乙的10次掷镖成绩条形统计图．已知两人成绩的总分相等，甲成绩的众数和中位数相等．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______；
(2)计算乙成绩的平均数；
(3)计算两人成绩的方差，并判断两人成绩的稳定性．
运用方差做决策
1、为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲乙丙丁四名同学中选择一名同学代表，该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2、为了选拔二名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．
根据表中数据，应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3、甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．
(1)填写下表：
(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差_____________．（填“变大”或“变小”或“不变”）
4、某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表：
根据表中提供的数据，解答下列问题：
(1)a的值为___________，d的值为___________；
(2)求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定；
(3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
利用计算器求方差
1、求一组数据的方差时，如果有重复出现的数据，比如有10个数据是11，那么输入时可按（　　）
A.10 MODE : 11 DATA B.11 MODE : 10 DATA C.10 SHIFT : 11 DATA D.11 SHIFT : 10 DATA
2、我校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
借助计算器判断运动员的成绩更为稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.一样稳定 D.无法判断
3、输入数据后，按 键计算这组数据的方差．
4、用计算器求方差的一般步骤是：
①使计算器进入 状态；
②依次输入各数据；
③按求 的功能键，即可得出结果．
5、用计算器计算下列一组数据的平均数、标准差与方差：85，75，92，98，63，90，88，56，77，95．（保留到小数点的后两位）
华师大版（2024）八年级下册 19.2 数据的离散程度 暑期巩固（参考答案）
求方差
1、某中学对九年级6个班的学生骑自行车上学的情况进行了调查，得到各班骑自行车上学的人数数据为5，10，10，12，14，9对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A.平均数是10 B.众数是10 C.中位数是11 D.方差是
【答案】C
【解析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
A、平均数是，故本选项说法正确，不符合题意；
B、出现了2次，出现的次数最多，
众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为：5，9，10，10，12，14，则中位数是，故本选项说法错误，符合题意；
D、方差为：，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
2、一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
则下列说法错误的是（ ）
A.这组数据的平均数是7 B.这组数据的众数是8 C.这组数据的中位数是6 D.这组数据的方差是3.5
【答案】C
【解析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式．
A.平均数，正确，该选项不符合题意；
B.8出现的次数最多，因此众数为8，正确，该选项不符合题意；
C.中位数：，错误，该选项符合题意；
D.数据的方差，正确，该选项不符合题意．
故选：C．
3、如表是杭州市今年3月份某周7天“日最高气温统计表”（单位：℃）．在这组数据中，以下说法正确的是（　　）
A.平均数为17，众数为18 B.中位数为18，众数为18 C.平均数为18，中位数为14 D.中位数为14，方差为7
【答案】B
【解析】本题考查了众数，平均数，方差和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
这组数据的平均数是，
中位数是18，众数是18，
方差．
故选：B．
4、甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为，，方差依次记为，．则 ， ．（均填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】 ＝ ＞
【解析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
；
；
；
；
∴＝，＞，
故答案为：＝，＞．
5、今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，求这一组数据的方差．
【答案】解：8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，
这十个数的平均数：．
．
即这一组数据的方差为1.2
利用方差求未知数据的值
1、小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是（ ）
A.3 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】本题考查了方差的定义，众数的定义；由方差公式得这组数据中有个，有个，有个，再由众数的定义即可求解；理解方差公式“”和“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数．”是解题的关键．
由方差公式得
这组数据中有个，有个，有个，
这组数据中最多的是，
众数是，
故选：D．
2、若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】A
【解析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解．
数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致，
∴若或时，两组数据方差相等，
当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小，
当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大，
则的值不可能是10．
故选：A．
3、已知一组数据的方差，则 ．
【答案】20
【解析】根据方差的公式可以得到平均数，从而算出的值．
由于这组数据的方差是：
，
∴平均数是8．
∴
∴
故答案为：20．
4、小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：
已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则 ．
【答案】46或56
【解析】本题考查方差、平均数等知识，根据数据，，…，与数据，，…，的方差相同这个结论即可解决问题．解题的关键利用结论：数据，，…，与数据，，…，的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
∵这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，
∴数据174，176，178，180，182都减去128后为：46，48，50，52，54，
数据174，176，178，180，182都减去126后为：48，50，52，54，56，
即这组数据可能是46，48，50，52，54或48，50，52，54，56，
∴或，
故答案为：46或56．
5、聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他跟在张师傅后学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说；我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，张师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
【答案】解：（1）这9天加工零件数的平均数为：（件）；
（2）∵每天加工零件数的个位上数字都与聪聪的相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差一样，
∴张师傅每天加工的零件数为：31，32，33，34，35，36，37，38，39．
根据方差判断稳定性
1、甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，则成绩最稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】本题考查根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定，由此可解．
∵，
∴，
∴成绩最稳定的同学是丙，
故选：．
2、已知甲、乙两组各名同学进行跳绳比赛，统计结果：两组的平均数相同，但甲组同学跳绳成绩的方差为，乙组同学跳绳成绩的方差为，则（ ）
A.甲组成绩比乙组成绩更稳定 B.乙组成绩比甲组成绩更稳定 C.甲组比乙组跳的多 D.甲、乙两组的成绩稳定性不能比较
【答案】A
【解析】本题考查了平均数与方差，根据平均数和方差的意义，逐一分析各选项即可判断，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲组成绩比乙组成绩更稳定，故正确，不正确；
∵两组的平均数相同，人数也相同，
∴甲组和乙组跳的一样多，故不正确；
故选：．
3、甲、乙两班级的学生参加了跳绳测验，两个班的人数与平均成绩均相等，方差分别为205和90，那么成绩较为整齐的是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班一样整齐 D.无法确定
【答案】B
【解析】本题考查了方差，理解方差的概念和意义是解题的关键．根据方差的概念即可解答．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，数据的离散程度越大，稳定性也越小，
根据题意可知，
所以乙班级的成绩较为整齐，
故答案为：B．
4、甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是 ．
【答案】甲
【解析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差的意义求解可得．
因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，
方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
5、一分钟跳绳是绵阳中考体育考试科目必考项之一．红星中学九年级学生刻苦训练，积极备考，为检测训练效果，学校组织了一分钟跳绳比赛．九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表．
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)求男生乙的方差，并分析指出那位男生的成绩更稳定？
【答案】（1）解：甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，
∴甲的中位数，
∵185出现了3次，出现的次数最多，
∴众数c是，
乙组的平均数
故答案为：，，；
（2）解：
从方差来看，乙的方差小，乙的成绩较稳定；
6、甲、乙两人玩掷飞镖游戏，每人掷镖10次，每次成绩（单位：分）均为不超过5的自然数．甲的10次掷镖成绩记录如下：3 0 2 a 2 5 3 b 4 5
如图是乙的10次掷镖成绩条形统计图．已知两人成绩的总分相等，甲成绩的众数和中位数相等．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______；
(2)计算乙成绩的平均数；
(3)计算两人成绩的方差，并判断两人成绩的稳定性．
【答案】解：（1）∵两人成绩的总分相等，
∴，
整理得：，
∵甲成绩的众数和中位数相等，且现有数据中，，都出现两次，
∴，中至少一个等于，，
当时，，此时众数为，中位数为，不符合题意；
当时，，此时众数为，中位数为，符合题意；
当时，，此时众数为，中位数为，不符合题意；
综上所述，，，
故答案为：，；
（2）乙成绩的平均数为；
（3）∵两人成绩的总分相等，
∴甲的平均数为，
∴甲成绩的方差为，
乙成绩的方差为，
∴甲的成绩更稳定．
运用方差做决策
1、为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲乙丙丁四名同学中选择一名同学代表，该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】本题考查了根据平均数与方差做决策，根据平均数和方差的意义求解即可．
丙、丁两名同学的平均数高于甲、乙两名同学的平均数，
丙的方差小于丁的方差，
∴丙同学的成绩好且状态稳定，
故选：C．
2、为了选拔二名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．
根据表中数据，应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】本题考查了由平均数，方差作决策，先由平均数可得从甲和丙中选择一人参加比赛，再由丙的方差小于甲的方差，从而选择丙去参赛．
∵甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差小于甲的方差，
∴选择丙参赛，
故选：C．
3、甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．
(1)填写下表：
(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差_____________．（填“变大”或“变小”或“不变”）
【答案】解：（1）甲的成绩的众数是，
方差为：，
乙的成绩的平均数为：，中位数为
故答案为：8，，8，9
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛
（3）如果乙再射击1次，命中8环，
则乙的成绩的平均数仍然为，
方差为：
故答案为：变小
4、某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表：
根据表中提供的数据，解答下列问题：
(1)a的值为___________，d的值为___________；
(2)求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定；
(3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】解：（1）把甲的数值进行排序，得
故；
乙的众数为；
（2）依题意，
乙的平均数：c=
∵
∴乙的成绩更稳定；
（3）选择乙同学，
因为是平均数都相同时，乙的同学的众数大于甲同学的，且，乙同学更稳定．
利用计算器求方差
1、求一组数据的方差时，如果有重复出现的数据，比如有10个数据是11，那么输入时可按（　　）
A.10 MODE : 11 DATA B.11 MODE : 10 DATA C.10 SHIFT : 11 DATA D.11 SHIFT : 10 DATA
【答案】D
【解析】根据计算器求方差的方法即可得到答案.
输入10个数据是11时可按键11 SHIFT : 10 DATA，
所以选D．
2、我校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
借助计算器判断运动员的成绩更为稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.一样稳定 D.无法判断
【答案】A
【解析】借助计算器求得甲乙的方差，再根据方差越小数据越稳定，比较两个方差的大小即可求得答案.
借助计算器可以求得甲运动员的方差为0.0006，乙运动员的方差为0.0315，所以甲的方差比较小即甲运动员的成绩更稳定．
故答案为A.
3、输入数据后，按 键计算这组数据的方差．
【答案】SHIFT X-M ＝
【解析】根据科学计算器求方差的步骤解答即可．
输入数据后，按SHIFT X-M ＝键计算这组数据的方差．
故答案为SHIFT X-M ＝.
4、用计算器求方差的一般步骤是：
①使计算器进入 状态；
②依次输入各数据；
③按求 的功能键，即可得出结果．
【答案】；
【解析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作．
用计算器求方差的一般步骤是：
①使计算器进入状态；
②依次输入各数据；
③按求的功能键，即可得出结果．
故答案为：，．
5、用计算器计算下列一组数据的平均数、标准差与方差：85，75，92，98，63，90，88，56，77，95．（保留到小数点的后两位）
【答案】解：这一组数据的平均数为＝81.9，
方差为S2＝[（85－81.9）2＋（75－81.9）2＋（92－81.9）2＋（98－81.9）2＋（63－81.9）2＋（90－81.9）2＋（88－81.9）2＋（56－81.9）2＋（77－81.9）2＋（95－81.9）2]＝174.49，标准差为S≈13.21．

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