资源简介

　动量定理和微元法
目标要求　会用微元法求解变力的冲量，并用来解决实际问题。
微元法是采用无限分割方法，选取一个微小单元代表(微元)，常见为时间微元Δt，质量微元Δm等，将变量转变为恒量或者积累的处理方法。在动量定理中常见的微元积累模型是∑vΔt=x。
例1　(2025·浙江嘉兴市一模)在地面上一小球以初速度3 m/s竖直上抛，落地速度为2.6 m/s。若小球运动过程中受到的空气阻力与速率成正比，则小球在空中运动的时间为(　　)
A.0.60 s B.0.56 s C.0.52 s D.0.50 s
答案　B
解析　由题意，取竖直向下为正方向，对小球利用动量定理有mgt-∑kv·Δt=mv2-m(-v1)，由于∑kv·Δt=∑kΔx=0，可得t== s=0.56 s，故选B。
例2　(多选)(2025·云南昭通市模拟)雨滴在下落过程中所受的阻力是随速度变化而变化的。某物理兴趣小组的同学在AI工具的帮助下了解到，较小的雨滴(半径小于0.1 mm)在初始加速下落阶段所受的空气阻力仅与雨滴的速率v成正比，而与雨滴的质量无关，即f=kv(k>0)；当阻力增大至与重力平衡时，雨滴达到收尾速度，此时雨滴受到的空气阻力将与速率的平方成正比，即f=k'v2(k'>0)。该小组的同学尝试通过实验验证雨滴在下落过程中的动力学关系。他们在足够深的竖直圆筒内注满一定浓度的液体模拟高空中的空气，用质量分别为m1和m2的甲、乙两球模拟雨滴，将两球从液面处同时由静止释放，用速度传感器得到两球的v-t图像如图所示，经时间t0两球的速度都已达到各自的稳定值v1和v2。下列判断正确的是(　　)
A.m1>m2
B.0~t0时间内两球下落的高度相等
C.0~t0时间内乙球所受“空气阻力”的冲量更大
D.0~t0时间内两球间距增大，且增大得越来越快
答案　AD
解析　当两球的速度达到稳定值时有mg-k'v2=0，由题图可知v1>v2，所以m1>m2，故A正确；v-t图线与t轴围成的面积表示位移，所以由v-t图像可知，0~t0时间内两球下落的高度满足h1>h2，故B错误；在极短时间Δt内f可视为恒力，则在0~t0时间内有ΔIf=kvΔt=kΔx，由题图可知，0~t0时间内乙的位移较小，则“空气阻力”的冲量应较小，故C错误；由v-t图像面积差的变化可知，0~t0时间内两球间距增大，且相等时间间隔内面积差越来越大，故D正确。
例3　(2025·河南郑州市一模)工程师对质量为m的汽车进行性能测试，测得该款汽车综合阻力随速度变化的关系式Ff=Ff0+kv(k为常数)。现工程师为汽车提供恒定的牵引力F，使汽车由静止开始做直线运动。汽车位移为x时恰好达到最大速度。则(　　)
A.汽车速度越大，加速越快
B.汽车达到的最大速度为
C.整个过程的平均速度为
D.整个过程所用时间为+
答案　D
解析　汽车恒定牵引力启动过程，根据牛顿第二定律有F-(Ff0+kv)=ma，解得a=，随速率增大加速度减小，A错误；当汽车所受合力为零时，汽车达到最大速度，由受力平衡有F合=F-Ff0-kvm=0，解得vm=，B错误；汽车恒定牵引力启动过程中，做加速度越来越小的加速运动，若汽车做匀加速运动，则=，故整个过程汽车的平均速度大于，C错误；汽车从静止达到最大速度过程中，根据动量定理有Ft-∑(Ff0+kv)Δt=mvm-0，即Ft-(Ff0t+kx)=mvm-0，解得整个过程所用时间为t=+，D正确。
1.(2025·陕西西安市模拟)如图所示，一木块固定在地面上，一颗子弹以初速度v0射入木块并嵌在其中，子弹在木块中受到的阻力大小与子弹的速度大小成正比，子弹在木块中运动的距离为L。子弹重力可忽略不计。则子弹的最大加速度为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　对子弹的运动选取非常小的一段时间，根据动量定理有kv·Δt=mΔv即kΔL=mΔv，对全程进行求和∑k·ΔL=∑mΔv，可得kL=mv0，即k=，子弹刚到达木块时，速度最大，阻力最大且F=kv0=，由牛顿第二定律有F=ma，解得a=，故选D。
2.(2025·江苏泰州市模拟)某网球以大小为v0的速度竖直向上抛出，落回出发点的速度大小为v1。网球的速度随时间变化关系如图所示，若空气阻力大小与网球速率成正比，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.下降过程中网球处于超重状态
B.网球上升过程受阻力的冲量大于下降过程受阻力的冲量
C.网球上升过程克服阻力做功等于下降过程克服阻力做功
D.网球从抛出到落回出发点所用的时间t1=
答案　D
解析　下降过程中网球加速度向下，处于失重状态，故A错误；因空气阻力大小与网球速率成正比，设空气阻力大小为Ff=kv，其中k为比例系数，设Δt是一段极短的时间，空气阻力的冲量大小为FfΔt=kvΔt，两边对时间求和∑Ff·Δt=∑kv·Δt，得If=kx，因网球上升过程与下降过程位移大小相等，由该式可知，网球上升过程受阻力的冲量大小等于下降过程受阻力的冲量大小，又因上升过程与下降过程空气阻力方向相反，故整个过程中空气阻力的冲量为零，设向上为正方向，根据动量定理有-mgt1=-mv1-mv0，求得t1=，故B错误，D正确；网球上升过程和下降过程经过同一位置的过程中，重力做功为零，空气阻力做负功，故下降过程经过某位置时的速度小于上升过程中经过该位置的速度，下降过程经过某位置时的空气阻力小于上升过程中经过该位置时的空气阻力，因网球上升过程与下降过程位移大小相等，故网球上升过程克服阻力做功大于下降过程克服阻力做功，故C错误。(共17张PPT)
第七章
动量守恒定律
动量定理和微元法
微点突破5
会用微元法求解变力的冲量，并用来解决实际问题。
目标要求
微元法是采用无限分割方法，选取一个微小单元代表(微元)，常见为时间微元Δt，质量微元Δm等，将变量转变为恒量或者积累的处理方法。在动量定理中常见的微元积累模型是∑vΔt=x。
　　　(2025·浙江嘉兴市一模)在地面上一小球以初速度3 m/s竖直上抛，落地速度为2.6 m/s。若小球运动过程中受到的空气阻力与速率成正比，则小球在空中运动的时间为
A.0.60 s B.0.56 s
C.0.52 s D.0.50 s
　　由题意，取竖直向下为正方向，对小球利用动量定理有mgt-∑kv·Δt=
mv2-m(-v1)，由于∑kv·Δt=∑kΔx=0，可得t== s=0.56 s，故选B。
√
　　　(多选)(2025·云南昭通市模拟)雨滴在下落过程中所受的阻力是随速度变化而变化的。某物理兴趣小组的同学在AI工具的帮助下了解到，较小的雨滴(半径小于0.1 mm)在初始加速下落阶段所受的空气阻力仅与雨滴的速率v成正比，而与雨滴的质量无关，即f=kv(k>0)；当阻力增大至与重力平衡时，雨滴达到收尾速度，此时雨滴受到的空气阻力将与速率的平方成正比，即f=k'v2(k'
>0)。该小组的同学尝试通过实验验证雨滴在下落过程中的动力学关系。他们在足够深的竖直圆筒内注满一定浓度的液体模拟高空中的空气，用质量分别为m1和m2的甲、乙两球模拟雨滴，将两球从液面处同时由静止释放，用速度
传感器得到两球的v-t图像如图所示，经时间t0两球的速度都已达到各自的稳定值v1和v2。下列判断正确的是
A.m1>m2
B.0~t0时间内两球下落的高度相等
C.0~t0时间内乙球所受“空气阻力”的冲量更大
D.0~t0时间内两球间距增大，且增大得越来越快
√
√
　 　当两球的速度达到稳定值时有mg-k'v2=0，由题图可知v1>v2，所以m1>m2，故A正确；
v-t图线与t轴围成的面积表示位移，所以由v-t图像可知，0~t0时间内两球下落的高度满足h1>h2，故B错误；
在极短时间Δt内f可视为恒力，则在0~t0时间内有ΔIf=kvΔt=kΔx，由题图可知，0~t0时间内乙的位移较小，则“空气阻力”的冲量应较小，故C错误；
由v-t图像面积差的变化可知，0~t0时间内两球间距增大，且相等时间间隔内面积差越来越大，故D正确。
　　　(2025·河南郑州市一模)工程师对质量为m的汽车进行性能测试，测得该款汽车综合阻力随速度变化的关系式Ff=Ff0+kv(k为常数)。现工程师为汽车提供恒定的牵引力F，使汽车由静止开始做直线运动。汽车位移为x时恰好达到最大速度。则
A.汽车速度越大，加速越快
B.汽车达到的最大速度为
C.整个过程的平均速度为
D.整个过程所用时间为+
√
　　汽车恒定牵引力启动过程，根据牛顿第二定律有F-(Ff0+kv)=ma，解
得a=，随速率增大加速度减小，A错误；
当汽车所受合力为零时，汽车达到最大速度，由受力平衡有F合=F-Ff0-
kvm=0，解得vm=，B错误；
汽车恒定牵引力启动过程中，做加速度越来越小的加速运动，若汽车做
匀加速运动，则=，故整个过程汽车的平均速度大于，C错误；
汽车从静止达到最大速度过程中，根据动量定理有Ft-∑(Ff0+kv)Δt=mvm-0，
即Ft-(Ff0t+kx)=mvm-0，解得整个过程所用时间为t=+，D正确。
跟踪训练
1.(2025·陕西西安市模拟)如图所示，一木块固定在地面上，一颗子弹以初速度v0射入木块并嵌在其中，子弹在木块中受到的阻力大小与子弹的速度大小成正比，子弹在木块中运动的距离为L。子弹重力可忽略不计。则子弹的最大加速度为
A. B.
C. D.
√
　　　对子弹的运动选取非常小的一段时间，根据动量定理有kv·Δt=mΔv即kΔL=mΔv，对全程进行求和∑k·ΔL=∑mΔv，可得kL=mv0，即k=，子弹刚到达木块时，速度最大，阻力最大且F=kv0=，由牛顿第二定律有F=ma，解得a=，故选D。
2.(2025·江苏泰州市模拟)某网球以大小为v0的速度竖直向上抛出，落回出发点的速度大小为v1。网球的速度随时间变化关系如图所示，若空气阻力大小与网球速率成正比，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.下降过程中网球处于超重状态
B.网球上升过程受阻力的冲量大于下降过程受阻
力的冲量
C.网球上升过程克服阻力做功等于下降过程克服
阻力做功
D.网球从抛出到落回出发点所用的时间t1=
√
　　　下降过程中网球加速度向下，处于失重状态，故A错误；
因空气阻力大小与网球速率成正比，设空气阻力大小为Ff=kv，其中k为比例系数，设Δt是一段极短的时间，空气阻力的冲量大小为FfΔt=kvΔt，两边对时间求和∑Ff·Δt=∑kv·Δt，得If=kx，因网球上升过程与下降过程位移大小相等，由该式可知，网球上升过程受阻力的冲量大小等于下降过程受阻力的冲量大小，又因上升过程与下降过程空气阻力方向相反，故整个过程中空气阻力的冲量为零，设向上为正方向，根据动量定理有 -mgt1=-mv1-mv0，求得t1=，故B错误，D正确；
　　　网球上升过程和下降过程经过同一位置的过程中，重力做功为零，空气阻力做负功，故下降过程经过某位置时的速度小于上升过程中经过该位置的速度，下降过程经过某位置时的空气阻力小于上升过程中经过该位置时的空气阻力，因网球上升过程与下降过程位移大小相等，故网球上升过程克服阻力做功大于下降过程克服阻力做功，故C错误。
本课结束
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第七章

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