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第65课时　专题强化：电磁感应中的电路和图像问题
目标要求　1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
考点一　电磁感应中的电路问题
分析电磁感应中电路问题的基本思路
“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
答案　导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。
例1　(来自教材改编)如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，宽ad=L，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，求：
(1)PQ切割磁感线产生的电动势；
(2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压；
(3)线框消耗的最大电功率。
答案　(1)BLv　(2)BLv　(3)
解析　(1)PQ切割磁感线产生的电动势E=BLv
(2)PQ滑到中间位置时外电阻R外==0.75R
根据闭合电路的欧姆定律I===
PQ两端的电压U=IR外=BLv
(3)因当外电阻等于电源内阻时电源输出功率最大，而当PQ在中间位置时外电阻最大，最大值为0.75R，与电源内阻最接近，可知此时线框消耗的电功率最大，最大电功率为P===。
例2　(多选)(2025·山西长治市期末)如图甲所示的电路中，螺线管线圈的匝数为n、横截面积为S0、电阻为R，定值电阻的阻值为4R，电动机绕线电阻为R，穿过螺线管线圈磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(取向上为正方向)。在0~t0时间内电动机不转动，t0~2t0时间内电动机正常转动且螺线管线圈中的电流变为0~t0时间内螺线管线圈中的电流的2.4倍。下列说法正确的是(　　)
A.0~t0时间内C点电势高于A点电势
B.0~t0时间内流过螺线管线圈的电流为
C.在t0~2t0时间内电动机两端的电压为
D.在t0~2t0时间内流过电动机的电流为
答案　BC
解析　0~t0时间内，B均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中的感应电流方向为顺时针(从上向下看)，则A点电势高于C点电势，A错误；0~t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E=n=n，并联电路的电阻为R并==，流过螺线管线圈的电流为I==，B正确；在t0~2t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E'=n=n，电动机两端的电压为U=E'-2.4IR=，C正确；在t0~2t0时间内流过定值电阻的电流为I1==，流过电动机的电流为I2=2.4I-I1=，D错误。
考点二　电磁感应中电荷量的计算
例3　(2025·湖北卷·5)如图(a)所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图(b)所示，t=T时刻，B=0。t=0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T时间内流过回路的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　t=0时，Φ1=B0Lx0；t=T时，磁感应强度为零，Φ2=0，0~T时间内流过回路的电荷量q=Δt=T，=，==，联立以上各式，解得q=，故选B。
利用计算电荷量的导出公式q=n可以快速求解选择题：
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式=及法拉第电磁感应定律有=n，得q=Δt=Δt=Δt=，即q=n。
注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。
针对训练　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆轨道所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　流过电路的电荷量q=，在过程Ⅰ中，ΔΦ1=B(πr2-πr2)=Bπr2，在过程Ⅱ中，ΔΦ2=(B'-B)πr2，又q1=q2，即Bπr2=(B'-B)πr2，所以=，故选B。
考点三　电磁感应中的图像问题
1.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B-t图像还是Φ-t图像，或者E-t图像、i-t图像、F-t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E-x图像和i-x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等、方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x=0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)写出下列三图所示时刻感应电流的方向。
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是　　　　。
答案　(1)①逆时针方向　②顺时针方向　③逆时针方向　(2)C
解析　(2)x在0~L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x在L~2L内，线框的左右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；x在2L~3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。
例5　(2025·江西南昌市三模)如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中。规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。以水平向右为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是(　　)
答案　B
解析　由楞次定律可知，通过线圈的感应电流方向先顺时针后逆时针，磁场方向不变，bc段导线受到的安培力方向先向右后向左，以水平向右为安培力正方向，故F先正后负，故A、D错误；设矩形线圈电阻为R，0~0.5T内，I1==，为定值，而B=B0-t，又由F=BIL可知F=(B0-t)I1L，0.5T~T内，I2===2I1，B=(t-0.5T)，由F=BIL知F=(t-0.5T)I1L，综上所述，B正确，C错误。
例6　(多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t=0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是(　　)
答案　AC
解析　当金属棒从O点向右运动L时，即在0~时间内，在某时刻金属棒切割磁感线的长度L割=l0+v0ttan θ(θ为ab与ad的夹角)，
则根据E=BL割v0，
可得i==(l0+v0ttan θ)，
可知回路电流随时间均匀增加；
安培力F==(l0+v0ttan θ)2，
则F-t关系为二次函数关系，但是不过原点；
安培力做功的功率
P=Fv0==(l0+v0ttan θ)2，
则P-t关系为二次函数关系，但是不过原点；
电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U=E=BL割v0=Bv0(l0+v0ttan θ)
即U-t图像是不过原点的直线；
在~时间内，金属棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E不变，感应电流i不变，安培力F大小不变，安培力的功率P不变，电阻两端电压U保持不变；同理可判断，在~时间内，金属棒切割磁感线长度逐渐减小，金属棒切割磁感线的感应电动势E均匀减小，感应电流i均匀减小，安培力F大小按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0~内是对称的关系，安培力的功率P按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0~内是对称的关系，电阻两端电压U按线性均匀减小，综上所述选项A、C可能正确，B、D错误。
课时精练
[分值：48分]
　[1~6题，每题4分]
1.如图所示，在一磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1 m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3 Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2 Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0 m/s向左做匀速运动时(　　)
A.ab棒所受安培力大小为0.02 N
B.N、Q间电压为0.2 V
C.a端电势比b端电势低
D.回路中感应电流大小为1 A
答案　A
解析　ab棒产生的感应电动势E=BLv=0.2 V，感应电流I==0.4 A，ab棒受到的安培力大小F=ILB=0.02 N，A正确，D错误；N、Q间的电压U=E=0.12 V，B错误；由右手定则得a端电势比b端电势高，C错误。
2.(2025·四川成都市三模)如图所示，用一根漆包线绕成一个匝数为n、边长为L的正方形导线框abcd，形成一个闭合回路，导线框的总电阻为R，放在绝缘的光滑水平桌面上。现用水平拉力使导线框以垂直于边框ad的速度v向左匀速进入一边界与边框ad平行的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直桌面向下，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。在导线框进入磁场的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.导线框中感应电流的方向为顺时针方向
B.导线框中产生的感应电动势大小为BLv
C.导线框所受安培力的大小为
D.整个过程中，通过导线框的电荷量为
答案　D
解析　在导线框进入磁场的过程中，磁场方向垂直桌面向下，穿过导线框的磁通量增加，根据楞次定律可知，导线框感应电流的方向为逆时针方向，故A错误；导线框中产生的感应电动势大小为E=nBLv，故B错误；导线框中感应电流大小为I==，导线框所受安培力的大小F=nBIL=nBL·=，故C错误；整个过程中，通过导线框的电荷量为q=It=·=，故D正确。
3.(多选)(2025·江西南昌市二模)如图所示，一实验小组利用传感器测量通电螺线管的磁场随时间变化的实验规律，测得螺线管的匝数为n=30匝、横截面积S=20 cm2，螺线管电阻r=1 Ω，与螺线管串联的外电阻R=5 Ω。穿过螺线管的磁场的方向如图甲所示，磁感应强度按图乙所示的规律变化(以磁场方向向左为正方向)，则t=4 s时(　　)
A.通过R的电流方向为N→M
B.通过R的电流为1 mA
C.R的电功率为2×10-5 W
D.螺线管两端M、N间的电势差UMN=10 mV
答案　AC
解析　由题图乙可知，通过螺线管的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流产生的磁场方向与原磁场方向相反，结合安培定则可知，通过R的电流方向为N→M，A正确；根据法拉第电磁感应定律可知，电路中的感应电动势E=n=30×2×10-1×20×10-4 V=1.2×10-2 V，结合闭合电路的欧姆定律可得感应电流I== A=2 mA，B错误；根据P=I2R，代入数据解得定值电阻的电功率为P=(2×10-3)2×5 W=2×10-5 W，C正确；由以上分析可知螺线管N端等效于电源正极，由闭合电路欧姆定律可得螺线管两端M、N间的电势差UMN=-IR=-2×5 mV=-10 mV，D错误。
4.(多选)在如图甲所示的电路中，电阻2R1=R2=2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2A.流过电阻R1的电流方向自下向上
B.稳定后电阻R1两端的电压为
C.稳定后M、N两点间的电压为
D.0~t0时间内，电阻R2上产生的热量为
答案　BD
解析　由题图乙可知磁感应强度随着时间均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中感应电流方向为逆时针，则流过电阻R1的电流方向自上向下，故A错误；根据法拉第电磁感应定律有E=，S=π，==，解得E=，根据闭合电路欧姆定律，当稳定后M、N两端电压为外电压U外=E=，C错误；电阻R1两端的电压U1=E=，故B正确；根据闭合电路欧姆定律，稳定后电路中的电流I==，根据焦耳定律，在0~t0时间内，电阻R2上产生的热量Q2=I2R2t0=，故D正确。
5.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是(　　)
答案　D
解析　由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A点的电势始终高于B点的电势，则UAB始终为正值。AB、DC两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E=Bav，导线框移动距离在0~a内时，AB切割磁感线，A、B两端的电压是路端电压，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在a~2a内时，导线框完全在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在2a~3a内时，A、B两端的电压等于路端电压的，则UAB=E=Bav，故D正确。
6.(多选)(2025·陕西延安市模拟)如图所示，纸面内存在相邻的两匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为d，区域Ⅰ内磁场方向垂直纸面向外，区域Ⅱ内磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B。纸面内有一直径为d、总阻值为R的圆形闭合金属线圈，线圈在外力作用下以速度v0匀速通过两磁场区域。线圈不偏转，速度v0的方向与磁场边界始终垂直，下列说法正确的是(　　)
A.线圈内的电流方向始终为顺时针方向
B.线圈内电流的最大值为
C.线圈受到的最大安培力为
D.线圈从区域Ⅰ进入到区域Ⅱ的过程，通过线圈某截面的电荷量为
答案　BD
解析　根据楞次定律可知，线圈内的电流方向先顺时针，后逆时针，再顺时针，故A错误；线圈圆心运动到两磁场区域分界线时，电动势为E=2Bdv0，线圈内的电流最大Im==，此时线圈受到的安培力F=2BImd=，故B正确，C错误；线圈从区域Ⅰ进入区域Ⅱ的过程，线圈磁通量的变化量大小ΔΦ=+=，所以通过线圈某截面的电荷量q==，故D正确。
　[7~10题，每题6分]
7.(多选)(2025·湖南省模拟)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈平面的匀强磁场，已知线圈匝数n=10，边长ab=1 m，线圈总电阻r=1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感应电动势e，感应电流i，焦耳热Q以及ab边所受的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是(　　)
答案　ACD
解析　0~1 s内产生的感应电动势为e1==2 V，由楞次定律可知，感应电流为逆时针(为负)，大小为i1==2 A，同理可得，1~5 s内产生的感应电动势为e2=nS=1 V，由楞次定律可知，感应电流为顺时针(为正)，大小为i2==1 A，A正确，B错误；ab边所受的安培力，0~1 s内有0≤F1=nB1i1 L≤4 N，安培力随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正；同理1~3 s内有0≤F2=nB2i2 L≤2 N，安培力随时间逐渐减小，由左手定则，方向为向上为负；同理3~5 s内有0≤F3=nB3i2 L≤2 N，安培力随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正，C正确；0~1 s内有0≤Q1=rt≤4 J，焦耳热随时间逐渐增加，1~5 s内有4 J≤Q2=Q1m+r(t-1 s)≤8 J，焦耳热随时间逐渐增加，D正确。
8.(2025·吉林长春市二模)如图，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿金属架以速度v向右做匀速运动。t=0时，磁感应强度为B0，此时MN到达的位置恰好使MDEN构成一个边长为l的正方形。为使MN棒中不产生感应电流，磁感应强度B变化规律的图像为(　　)
答案　D
解析　为使MN棒中不产生感应电流，即经过时间t线圈的磁通量不变，有B0l2=Bl(l+vt)，可得B=，即磁感应强度B与构成正比例函数关系。故选D。
9.如图所示，abcd为水平固定放置的U形导体框，其中bc长为x，bc部分阻值为r，其余部分电阻不计。长为2x、阻值为2r的均匀导体棒MN，始终与导体框接触良好。整个装置处于垂直纸面向外的匀强磁场中。现使导体棒以速度v水平向左匀速运动，则导体棒两端的电势差是(　　)
A.0.5Bxv B.Bxv
C.1.5Bxv D.2Bxv
答案　C
解析　导体棒以速度v水平向左匀速运动，等效电路如图所示，UMN=UMP+UPQ+UQN，UPQ=·r=0.5Bxv，闭合回路之外的电势差为UMP+UQN=Bxv，所以导体棒两端的电势差UMN=UMP+UPQ+UQN=1.5Bxv，故选C。
10.(多选)(2025·四川省一模)如图，足够长的“<”形光滑金属框架EOF固定在水平面内，金属框架所在空间分布有范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场。t=0时刻，一足够长导体棒MN在水平拉力F作用下，以速度v沿金属框架角平分线从O点开始向右匀速直线运动，已知金属框架和导体棒单位长度的电阻相等。下列关于整个回路的电动势e、电流i、拉力F、拉力F的功率P随时间变化的图像正确的是(　　)
答案　BD
解析　设金属框架的顶角为θ，导体棒匀速直线运动的速度为v，单位长度的电阻为R，当运动时间为t时，导体棒的位移为x=vt，则连入电路的导体棒的长度为l=2xtan =2vttan ，连入电路的框架的长度为l'==t，则回路中的电动势为e=Blv=2Bv2tan ·t，故A错误；电流为i===，可知电流为一定值，故B正确；因导体棒做匀速直线运动，则外力F与安培力平衡，则有F=Bil=t，故C错误；拉力F的功率P=Fv=t，故D正确。(共60张PPT)
电磁感应
第十二章
专题强化：电磁感应
中的电路和图像问题
第65课时
1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。
2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量。
3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
目标要求
考点一　电磁感应中的电路问题
考点二　电磁感应中电荷量的计算
内容索引
课时精练
考点三　电磁感应中的图像问题
电磁感应中的电路问题
考点一
分析电磁感应中电路问题的基本思路
讨论交流
“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
答案　导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。
　　　(来自教材改编)如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，宽ad=L，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，求：
(1)PQ切割磁感线产生的电动势；
答案　BLv
　　　PQ切割磁感线产生的电动势E=BLv
(2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压；
答案　BLv
　　　PQ滑到中间位置时外电阻R外==0.75R
根据闭合电路的欧姆定律I===
PQ两端的电压U=IR外=BLv
(3)线框消耗的最大电功率。
答案　
　　　因当外电阻等于电源内阻时电源输出功率最大，而当PQ在中间位置时外电阻最大，最大值为0.75R，与电源内阻最接近，可知此时线框消耗的电功率最大，最大电功率为P===。
　　　(多选)(2025·山西长治市期末)如图甲所示的电路中，螺线管线圈的匝数为n、横截面积为S0、电阻为R，定值电阻的阻值为4R，电动机绕线电阻为R，穿过螺线管线圈磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(取向上为正方向)。在0~t0时间内电动机不转动，t0~2t0时间内电动机正常转动且螺线管线圈中的电流变为0~t0时间内螺线管线圈中的电流的2.4倍。下列说法正确的是
A.0~t0时间内C点电势高于A点电势
B.0~t0时间内流过螺线管线圈的电流为
C.在t0~2t0时间内电动机两端的电压为
D.在t0~2t0时间内流过电动机的电流为
√
√
　　　0~t0时间内，B均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中的感应电流方向为顺时针(从上向下看)，则A点电势高于C点电势，A错误；
0~t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E=n=n，并联电路的电阻为R并==，流过螺线管线圈的电流为I==，B正确；
在t0~2t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E'=n=n，电动机两端的电压为U=E'-2.4IR=，C正确；
　　　在t0~2t0时间内流过定值电阻的电流为I1==，流过电动机的电流为I2=2.4I-I1=，D错误。
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电磁感应中电荷量的计算
考点二
(2025·湖北卷·5)如图(a)所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图(b)所示，t=T时刻，B=0。t=0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T时间内流过回路的电荷量为
A. B.
C. D.
√
　　　t=0时，Φ1=B0Lx0；t=T时，磁感应强度为零，Φ2=0，0~T时间内流过回路的电荷量q=Δt=T，=，==，联立以上各式，解得q=，故选B。
利用计算电荷量的导出公式q=n可以快速求解选择题：
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式=及法拉第电磁感应定律有=n，得q=Δt=Δt=Δt=，即q=n。
注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。
针对训练　如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆轨道所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于
A. B.
C. D.2
√
　　　流过电路的电荷量q=，在过程Ⅰ中，ΔΦ1=B(πr2-πr2)=Bπr2，在过程Ⅱ中，ΔΦ2=(B'-B)πr2，又q1=q2，即Bπr2=(B'-B)πr2，所以=，故选B。
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电磁感应中的图像问题
考点三
1.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B-t图像还是Φ-t图像，或者E-t图像、i-t图像、F-t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E-x图像和i-x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
2.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
　　　如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等、方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x=0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)写出下列三图所示时刻感应电流的方向。
答案　①逆时针方向　②顺时针方向　③逆时针方向
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是　　　　。
C
　　　x在0~L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x在L~2L内，线框的左右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；x在2L~3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E=Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。
　　　(2025·江西南昌市三模)如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中。规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时
间变化的规律如图乙所示。以水平向右为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是
√
　　　由楞次定律可知，通过线圈的感应电流方向先顺时针后逆时针，磁场方向不变，bc段导线受到的安培力方向先向右后向左，以水平向右为安培力正方向，故F先正后负，故A、D错误；
设矩形线圈电阻为R，0~0.5T内，I1==，为定值，而B=B0-t，又由F=BIL可知F=(B0-t)I1L，0.5T~T内，I2===2I1，B=(t-0.5T)，由F=BIL知F=(t-0.5T)I1L，综上所述，B正确，C错误。
　　　(多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导
轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t=0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是
√
√
　　　当金属棒从O点向右运动L时，即在0~时间内，在某时刻金属棒切割磁感线的长度L割=l0+v0ttan θ(θ为ab与ad的夹角)，
则根据E=BL割v0，
可得i==(l0+v0ttan θ)，
可知回路电流随时间均匀增加；
安培力F==(l0+v0ttan θ)2，
则F-t关系为二次函数关系，但是不过原点；
　　　安培力做功的功率
P=Fv0==(l0+v0ttan θ)2，
则P-t关系为二次函数关系，但是不过原点；
电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U=E=BL割v0=Bv0(l0+v0ttan θ)
即U-t图像是不过原点的直线；
　　　在~时间内，金属棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E不变，感应电流i不变，安培力F大小不变，安培力的功率P不变，电阻两端电压U保持不变；同理可判断，在~时间内，金属棒切割磁感线长度逐渐减小，金属棒切割磁感线的感应电动势E均匀减小，感应电流i均匀减小，安培力F大小按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0~内是对称的关系，安培力的功率P按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0~内是对称的关系，电阻两端电压U按线性均匀减小，综上所述选项A、C可能正确，B、D错误。
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提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D AC BD D BD ACD D
题号 9 10
答案 C BD
答案
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1.如图所示，在一磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1 m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3 Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2 Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0 m/s向左做匀速运动时
A.ab棒所受安培力大小为0.02 N
B.N、Q间电压为0.2 V
C.a端电势比b端电势低
D.回路中感应电流大小为1 A
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基础落实练
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答案
　　　ab棒产生的感应电动势E=BLv=0.2 V，感应电流I==0.4 A，ab棒受到的安培力大小F=ILB=0.02 N，A正确，D错误；
N、Q间的电压U=E=0.12 V，B错误；
由右手定则得a端电势比b端电势高，C错误。
2.(2025·四川成都市三模)如图所示，用一根漆包线绕成一个匝数为n、边长为L的正方形导线框abcd，形成一个闭合回路，导线框的总电阻为R，放在绝缘的光滑水平桌面上。现用水平拉力使导线框以垂直于边框ad的速度v向左匀速进入一边界与边框ad平行的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直桌面向下，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。在导线框进入磁场的过程中，下列说法正确的是
A.导线框中感应电流的方向为顺时针方向
B.导线框中产生的感应电动势大小为BLv
C.导线框所受安培力的大小为
D.整个过程中，通过导线框的电荷量为
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　　　在导线框进入磁场的过程中，磁场方向垂直桌面向下，穿过导线框的磁通量增加，根据楞次定律可知，导线框感应电流的方向为逆时针方向，故A错误；
导线框中产生的感应电动势大小为E=nBLv，故B错误；
导线框中感应电流大小为I==，导线框所受安培力的大小F=nBIL=nBL·=，故C错误；
整个过程中，通过导线框的电荷量为q=It=·=，故D正确。
3.(多选)(2025·江西南昌市二模)如图所示，一实验小组利用传感器测量通电螺线管的磁场随时间变化的实验规律，测得螺线管的匝数为n=30匝、横截面积S=20 cm2，螺线管电阻r=1 Ω，与螺线管串联的外电阻R=5 Ω。穿过螺线管的磁场的方向如图甲所示，磁感应强度按图乙所示的规律变化(以磁场方向向左为正方向)，则t=4 s时
A.通过R的电流方向为N→M
B.通过R的电流为1 mA
C.R的电功率为2×10-5 W
D.螺线管两端M、N间的电势差UMN=10 mV
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　　　由题图乙可知，通过螺线管的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流产生的磁场方向与原磁场方向相反，结合安培定则可知，通过R的电流方向为N→M，A正确；
根据法拉第电磁感应定律可知，电路中的感应电动势E=n=30×2×
10-1×20×10-4 V=1.2×10-2 V，结合闭合电路的欧姆定律可得感应电流I== A=2 mA，B错误；
根据P=I2R，代入数据解得定值电阻的电功率为P=(2×10-3)2×5 W=2×
10-5 W，C正确；
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　　　由以上分析可知螺线管N端等效于电源正极，由闭合电路欧姆定律可得螺线管两端M、N间的电势差UMN=-IR=-2×5 mV=-10 mV，D错误。
4.(多选)在如图甲所示的电路中，电阻2R1=R2=2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2A.流过电阻R1的电流方向自下向上
B.稳定后电阻R1两端的电压为
C.稳定后M、N两点间的电压为
D.0~t0时间内，电阻R2上产生的热量为
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答案
　　　由题图乙可知磁感应强度随着时间均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中感应电流方向为逆时针，则流过电阻R1的电流方向自上向下，故A错误；
根据法拉第电磁感应定律有E=，S=π，==，解得E=
，根据闭合电路欧姆定律，当稳定后M、N两端电压为外电压U外=E=，C错误；
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　　　电阻R1两端的电压U1=E=，故B正确；
根据闭合电路欧姆定律，稳定后电路中的电流I==，根据焦耳定律，在0~t0时间内，电阻R2上产生的热量Q2=I2R2t0=，故D正确。
5.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是
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　　　由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A点的电势始终高于B点的电势，则UAB始终为正值。AB、DC两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E=Bav，导线框移动距离在0~a内时，AB切割磁感线，A、B两端的电压是路端电压，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在a~2a内时，导线框完全在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB=E=Bav；导线框移动距离在2a~3a内时，A、B两端的电压等于路端电压的，则UAB=E=Bav，故D正确。
6.(多选)(2025·陕西延安市模拟)如图所示，纸面内存在相邻的两匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为d，区域Ⅰ内磁场方向垂直纸面向外，区域Ⅱ内磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B。纸面内有一直径为d、总阻值为R的圆形闭合金属线圈，线圈在外力作用下以速度v0匀速通过两磁场区域。线圈不偏转，速度v0的方向与磁场边界始终垂直，下列说法正确的是
A.线圈内的电流方向始终为顺时针方向
B.线圈内电流的最大值为
C.线圈受到的最大安培力为
D.线圈从区域Ⅰ进入到区域Ⅱ的过程，通过线圈某截面的电荷量为
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答案
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答案
　　　根据楞次定律可知，线圈内的电流方向先顺时针，后逆时针，再顺时针，故A错误；
线圈圆心运动到两磁场区域分界线时，电动势为E=2Bdv0，线圈内的电流最大Im==，此时线圈受到的安培力F=2BImd=，故B正确，C错误；
线圈从区域Ⅰ进入区域Ⅱ的过程，线圈磁通量的变化量大小ΔΦ=+
=，所以通过线圈某截面的电荷量q==，故D正确。
7.(多选)(2025·湖南省模拟)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈平面的匀强磁场，已知线圈匝数n=10，边长ab=1 m，线圈总电阻r=1 Ω，线
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答案
能力综合练
圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感应电动势e，感应电流i，焦耳热Q以及ab边所受的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是
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答案
　　　0~1 s内产生的感应电动势为e1==2 V，由楞次定律可知，感应电流为逆时针(为负)，大小为i1==2 A，同理可得，1~5 s内产生的感应电动势为e2=nS=1 V，由楞次定律可知，感应电流为顺时针(为正)，大小为i2==1 A，A正确，B错误；
ab边所受的安培力，0~1 s内有0≤F1=nB1i1 L≤4 N，安培力随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正；同理1~3 s内有0≤F2=nB2i2 L≤2 N，安培力随时间逐渐减小，由左手定则，方向为向上为负；同理3~5 s内有0≤F3=nB3i2 L≤2 N，安培力随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正，C正确；
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答案
　　　0~1 s内有0≤Q1=rt≤4 J，焦耳热随时间逐渐增加，1~5 s内有
4 J≤Q2=Q1m+r(t-1 s)≤8 J，焦耳热随时间逐渐增加，D正确。
8.(2025·吉林长春市二模)如图，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿金属架以速度v向右做匀速运动。t=0时，磁感应强度为B0，
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答案
此时MN到达的位置恰好使MDEN构成一个边长为l的正方形。为使MN棒中不产生感应电流，磁感应强度B变化规律的图像为
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答案
　　　为使MN棒中不产生感应电流，即经过时间t线圈的磁通量不变，有B0l2=Bl(l+vt)，可得B=，即磁感应强度B与构成正比例函数关系。故选D。
9.如图所示，abcd为水平固定放置的U形导体框，其中bc长为x，bc部分阻值为r，其余部分电阻不计。长为2x、阻值为2r的均匀导体棒MN，始终与导体框接触良好。整个装置处于垂直纸面向外的匀强磁场中。现使导体棒以速度v水平向左匀速运动，则导体棒两端的电势差是
A.0.5Bxv B.Bxv
C.1.5Bxv D.2Bxv
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答案
　　　导体棒以速度v水平向左匀速运动，等效电路如图所示，UMN=UMP+UPQ+UQN，UPQ=·r=0.5Bxv，闭合回路之外的电势差为UMP+UQN=Bxv，所以导体棒两端的电势差UMN=UMP+UPQ+UQN=1.5Bxv，故选C。
10.(多选)(2025·四川省一模)如图，足够长的“<”形光滑金属框架EOF固定在水平面内，金属框架所在空间分布有范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场。t=0时刻，一足够长导体棒MN在水平拉力F作用下，以速度v沿金
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答案
属框架角平分线从O点开始向右匀速直线运动，已知金属框架和导体棒单位长度的电阻相等。下列关于整个回路的电动势e、电流i、拉力F、拉力F的功率P随时间变化的图像正确的是
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　　　设金属框架的顶角为θ，导体棒匀速直线运动的速度为v，单位长度的电阻为R，当运动时间为t时，导体棒的位移为x=vt，则连入电路的导体棒的长度为l=2xtan =2vttan ，连入电路的框架的长度为l'==t，则回路中的电动势为e=Blv=2Bv2tan ·t，故A错误；
电流为i===，可知电流为一定值，故B正确；
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　　　因导体棒做匀速直线运动，则外力F与安培力平衡，则有F=Bil=t，故C错误；
拉力F的功率P=Fv=t，故D正确。
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第十二章

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