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2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷04
一、单选题（共35分）
1．（本题5分）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题5分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）关于向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
4．（本题5分）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
5．（本题5分）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
7．（本题5分）已知函数的定义域为，满足且，则（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2026
二、多选题（共18分）
8．（本题6分）关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称
C．若复数满足，则
D．若，则
9．（本题6分）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．的最大值为
D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
10．（本题6分）如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．直线与所成角比直线与所成角大
D．正方体的棱长为
三、填空题（共20分）
11．（本题5分）函数的单调递增区间是_____．
12．（本题5分）命题“，”的否定为________．
13．（本题5分）已知向量， ，，若，则的最小值为_____.
14．（本题5分）在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知向量，且与的夹角为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若与垂直，求的值．
16．（本题15分）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求该三角形的周长
(3)若，，为的平分线，求的长．
17．（本题15分）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
18．（本题17分）1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下：
游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜；
游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜.
(1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率；
(2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大
(3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？
19．（本题17分）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)判断函数是否为“函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“函数”，且当时，，求函数在上的解析式，并求出在上的单调递减区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程(为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的取值集合.
《2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷04》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C B A C BD ABD ABD
11． 12．，
13． 14．
15．【详解】（1）因为向量，且与的夹角为，所以；
（2）因为向量，且，所以，
；
（3）因为与垂直，所以，
，解得.
16．【详解】（1）解：因为，由正弦定理，可得，整理得，
所以，即，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，即，又因为，所以.
（2）解：由（1）知：且的面积为，可得，可得，因为，由余弦定理知，
可得，可得，
解得，所以的周长为.
（3）解：因为为的平分线且，可得，
由，可得，
又因为，可得，
整理得，所以.
17．(1)由直三棱柱性质可得，，由D，E分别是，的中点，则，，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；
（2）等腰中，，从而，所以，
由面，且所以，
又因为，所以三棱锥的体积为.
18．【详解】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”.因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜，所以；
游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”，所以.
（2）游戏三的所有样本点为共个，当时，获胜的样本点为，有2个，所以，
记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，
事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，
事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，
事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，
则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜.
所以，其中，，相互独立，，，两两互斥，
则
,
无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有.
所以.
所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小，
其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论：
①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为
；
②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为
；
③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为
.
因为，
所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏.
（3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示：
第一次第二次 1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
由表格知，，
，
当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏.
当时，，
①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为
；
②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为
；
③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为
.
因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏.
综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏.
19．【详解】（1）∵ 的最小正周期，满足；
又∵ ，.
取，得，，显然 ，即不能恒成立.故 不是“函数”.
（2）先求函数解析式：∵ 是“函数”，∴ ，即对任意恒成立，且的周期为.当时，，由已知得.∴ .因此的解析式为；再求单调递减区间：
① 当时，，令 是 的减函数，
根据复合函数“同增异减”规则，的减区间对应的增区间.
当时，的增区间为，即，解得.
∴ 该区间内的减区间为.
② 当时，的减区间为.
综上，在上的单调递减区间为和.
（3）∵ 是“函数”，∴ 周期为，且图像关于直线对称.
区间的中点为，因此该区间关于直线对称：
若是方程的解，则其对称点也为方程的解，每对对称解的和恒为.
由（2）可知的值域为，分类讨论如下：
分类讨论如下：
① 当或时，方程无解，不符合题意；
② 当时，的解为，∴ ；
③ 当时，方程有4个解，两两关于对称， ∴ ；
④当时，方程有6个解，两两关于对称，∴ ；
⑤当时，方程有8个解，两两关于对称， ∴ ；
⑥当时，方程的解为、、、，共4个解，两两对称，
∴ .
综上，的取值集合为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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