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　磁聚焦与磁发散
目标要求　1.理解磁聚焦、磁发散的原理。2.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
考点一　磁聚焦
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)
证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。
例1　(多选)(2025·四川成都市模拟)如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一长度为R的线状粒子源位于磁场左侧，磁场区域的直径MN为线状粒子源的垂直平分线，线状粒子源沿平行于直径MN的方向发射质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子。所有粒子的速率均为v=，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1
B.粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C.磁场中有粒子经过的区域的面积为πR2
D.粒子动量变化量的最大值与最小值之比为2∶1
答案　AC
解析　根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r==R，粒子运动的周期为T==，所以平行MN入射的粒子都将会聚于O点正下方圆形磁场边界上的P点，如图所示，从A点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，其转过的圆心角为θ=，运动时间为t1=T=，根据几何关系可得位移大小为x1=2Rcos 30°=R，速度变化量为Δv1=2vcos 30°=v，从B点入射的粒子在磁场中运动的时间最短，其转过的圆心角为α=，运动时间为t2=T=，位移大小为x2=R，速度变化量为Δv2=v，粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1，故A正确；粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为Δt=t1-t2=，故B错误；磁场中有粒子经过的区域如图中阴影部分所示，其面积等于扇形ABP的面积，为S=πR2，故C正确；粒子动量变化量的最大值与最小值之比为∶1，故D错误。
考点二　磁发散
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
例2　(多选)(2025·山东东营市检测)如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　　)
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
答案　AC
解析　由题意，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv=m，r=R，解得v=，A正确；由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；如图甲，由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，
根据周期公式T==，可得t=T=，C正确；若能打在光屏下端，如图乙，由几何关系可得θ1=60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2=120°，则60°≤θ≤120°，D错误。
例3　(多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π-2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
答案　BC
解析　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，由qB0v=m解得B0=，要使会聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径为2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v=m，解得B1==B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；由图可知，磁场区域的最小面积为Smin=2[-(2r0)2]=2(π-2)，C正确，D错误。
1.(多选)(2025·贵州贵阳市检测)如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0，不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则(　　)
A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B.磁感应强度大小为
C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
答案　BC
解析　由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径且粒子离开磁场时速度方向均与AB平行，由左手定则知带正电的粒子从C点射入磁场中均平行于AB向上射出，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，所以B=，故B正确；若粒子经过圆心O，则其圆心角等于120°，则t1=T，T=，所以粒子在磁场中运动的时间为t1=，故C正确；若粒子沿着CO方向射入磁场，其圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为t2=T=，故D错误。
2.(多选)(2025·河北石家庄市三模)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部会聚于C点，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子带负电
B.带电粒子的入射速度大小为kBR
C.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
D.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
答案　ABD
解析　带电粒子向下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确；所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，应满足粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有qvB=m，解得v==kBR，故B正确；当粒子流按如图所示的方式入射时，在磁场中能到达的区域面积最小，Smin=2×(-R·)=R2，故C错误，D正确。
3.(多选)(2025·河南省模拟)如图所示，在xOy坐标系的第三、四象限有一半径为L的圆形区域，圆心O'位于y轴上的y=-L处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，在y=L处有一足够大的接收屏垂直y轴放置，在x轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。在-2LA.圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向外
B.电子的速度大小均为v=
C.接收屏上有电子击中的长度为L
D.能打在接收屏上的电子占入射电子总数的
答案　AC
解析　所有的电子都能经过坐标原点O，根据左手定则可知，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向外，A正确；根据“磁聚焦”模型可知，电子在圆形区域磁场内运动的半径为r=L，根据电子在磁场中运动的轨迹半径公式r=，解得v=kBL，B错误；两个磁场的磁感应强度相同，电子在两个磁场做圆周运动的半径相同，都等于L，在y=-L处射入的电子的运动轨迹恰好与接收屏相切，只有在-2L磁场
第十一章
磁聚焦与磁发散
微点突破10
1.理解磁聚焦、磁发散的原理。
2.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
目标要求
考点一　磁聚焦
考点二　磁发散
内容索引
跟踪训练
磁聚焦
考点一
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)
证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。
　　　(多选)(2025·四川成都市模拟)如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一长度为R的线状粒子源位于磁场左侧，磁场区域的直径MN为线状粒子源的垂直平分线，线状粒子源沿平行于直径MN的方向发射质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子。所有粒子的速率均为v=，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是
A.粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1
B.粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C.磁场中有粒子经过的区域的面积为πR2
D.粒子动量变化量的最大值与最小值之比为2∶1
√
√
　　　根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r==R，粒子运动的周期为T==，所以平行MN入射的粒子都将会聚于O点
正下方圆形磁场边界上的P点，如图所示，从A点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，其转过的圆心角为θ=，运动时间为t1=T=，根据几何关系可得位移大小为x1=2Rcos 30°=R，速度变化量为Δv1=2vcos 30°=v，从B点入射的粒子在磁场中运动的时间最短，其转过的圆心角为α=，运动时间为t2=T=，位移大小为x2=R，速度变化量为Δv2=v，粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为∶1，故A正确；
　　　粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为Δt=t1-t2=，故B错误；
磁场中有粒子经过的区域如图中阴影部分所示，其面积等于扇形ABP的面积，为S=πR2，故C正确；
粒子动量变化量的最大值与最小值之比为∶1，故D错误。
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磁发散
考点二
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
(多选)(2025·山东东营市检测)如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
√
√
　　　由题意，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv=m，r=R，解得v=，A正确；
由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；
如图甲，由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，
根据周期公式T==，可得t=T=，C正确；
　　　若能打在光屏下端，如图乙，由几何关系可得θ1=60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2=
120°，则60°≤θ≤120°，D错误。
　　　 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π-2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
√
√
　　　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，由qB0v=m解得B0=，要使会聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度
变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径为2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v=
m，解得B1==B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；
由图可知，磁场区域的最小面积为Smin=2[-(2r0)2]=2(π-2)，C正确，D错误。
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跟踪训练
1.(多选)(2025·贵州贵阳市检测)如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0，不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则
A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B.磁感应强度大小为
C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
√
√
　　　由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径且粒子离开磁场时速度方向均与AB平行，由左手定则知带正电的粒子从C点射入磁场中均平行于AB向上射出，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，所以B=，故B正确；
若粒子经过圆心O，则其圆心角等于120°，则t1=T，T=，所以粒子在磁场中运动的时间为t1=，故C正确；
若粒子沿着CO方向射入磁场，其圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为t2=T=，故D错误。
2.(多选)(2025·河北石家庄市三模)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部会聚于C点，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是
A.带电粒子带负电
B.带电粒子的入射速度大小为kBR
C.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
D.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
√
√
√
　　　带电粒子向下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确；
所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，应满足粒子在磁
场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有qvB=m，解得v==kBR，故B正确；
当粒子流按如图所示的方式入射时，在磁场中能到达的区域面积最小，Smin=2×(-R·)=R2，故C错误，D正确。
3.(多选)(2025·河南省模拟)如图所示，在xOy坐标系的第三、四象限有一半径为L的圆形区域，圆心O'位于y轴上的y=-L处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，在y=L处有一足够大的接收屏垂直y轴放置，在x轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。在-2LA.圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向外
B.电子的速度大小均为v=
C.接收屏上有电子击中的长度为L
D.能打在接收屏上的电子占入射电子总数的
√
√
　　　所有的电子都能经过坐标原点O，根据左手定则可知，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向外，A正确；
根据“磁聚焦”模型可知，电子在圆形区域磁场内
运动的半径为r=L，根据电子在磁场中运动的轨迹半径
公式r=，解得v=kBL，B错误；
两个磁场的磁感应强度相同，电子在两个磁场做圆周运动的半径相同，都等于L，在y=-L处射入的电子的运动轨迹恰好与接收屏相切，只有在-2L　　　根据三角函数得L+Lsin θ=L，L+Lcos α=L，解得θ=30°，α=60°，接收屏上有电子击中的长度为x=Lsin 60°+Lcos 30°=L，C正确。
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本课结束
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第十一章

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