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八年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第二十一章 四边形
一、选择题
1．在中，平分交边于点，为边上一点，下列条件不能说明四边形为平行四边形的是（ ）．
A． B． C．平分 D．
2．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．如图，四边形是正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点D在上，且点坐标为，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．10 C．13 D．
4．四边形为正方形，延长至点，使得，连接，过点作于点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，已知是正方形的边上的中点，连接，将沿折叠至，延长交于点，连接．已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的边长为8，E是边上一点，且，交延长线于点F，平分交于点M，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（ ）
A． B． C． D．
8．如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（ ）
A．81 B．12 C． D．
9．如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C． D．8
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，①以原点为圆心，适当长为半径作弧，交轴负半轴于点，交直线于点；②分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，得到四边形；若点的横坐标为，则点的坐标为________．
12．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图，图均是小晨用同一副七巧板拼成的．若图拼成的正方形的边长为，则图拼成的“扬帆起航”图案中阴影部分的面积为________．

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____．
14．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为．求折痕的长为_________
15．在矩形中，，，E在上，，将沿直线折叠，得到，P为线段上一动点，则的最小值为______．
16．如图，射线，点，分别是射线，上的动点，以为边作等边，连接，若，则长度的最大值与最小值的和等于________．
三、解答题
17．定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形．
(1)连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分；
(2)在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数．
18．综合与探究
(1)求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小辉同学根据题意画出图形，并写出已知及求证．已知：如图1，在中，，为的斜边上的中线，求证：．他证明的思路是：延长至点E，使得，连接．先证明，再证明，∴．∵，∴．
小源同学的证明思路是：在小辉同学画辅助线的基础上，再连接，通过证明四边形是矩形，根据矩形的性质证得结论．请你根据小源同学的思路，完成证明过程．
【迁移探究】
(2)如图2，在四边形中，，，，于点E，连接，，求的长．
【拓展应用】
如图3，在中，M是边上一点，，，，平分交于点E，过点M作交于点P，过点P作于点N，Q为射线上一动点，连接，．若，请直接写出的值．
19．探究以下问题：
(1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？
(2)【问题探究】
如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论；
(3)【问题拓展】
如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长．
20．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)求的长；
(2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
21．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)求的度数；
(3)若，，求正方形的边长．
22．【问题探究】
(1)如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______；
(2)如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值；
【问题解决】
如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计）
23．解答下列问题：
【问题提出】
如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，．
(1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____；
(2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计）
参考答案
1．D
解：如解图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形ECDF为平行四边形，故选项正确，不符合题意；
如解图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项正确，不符合题意；
如解图②，设交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项正确，不符合题意；
如解图③，过点作交于点，在上取一点，使，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，但不能证明，
∴无法证明四边形是平行四边形，故选项错误，符合题意．
2．C
解：四边形为矩形，
，，，．
．
将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，
，．
．
．
，
．
．
．
如图，作于H，
则．
∴四边形为矩形．
，．
．
．
．
3．D
解：如图，连接，连接交于点，
∵四边形是正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，
∴点、点关于对称，，，
∴，
∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为，
∵点坐标为，
∴，
∴，
∴的最小值为．
4．A
解：设正方形的边长，
，
，
四边形是正方形，
，，，
在中，由勾股定理：
，
连接，
，
，
，即，
，
，
．
5．D
解：四边形是正方形，，
，，
是的中点，
，
由折叠的性质可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
6．B
解：如图，取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴．
7．D
解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，
∴
∴四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
∴，，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得：，
即：．
8．D
解：∵ 纸条的对边平行，
∴ ，
∴ 四边形是平行四边形，
设平行四边形的面积为， 边上的高为，边上的高为，
由题意可知，的值分别为2和6，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
9．D
解：由折叠可知：，，
∵点在延长线上，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，解得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
10．C
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
，
由折叠知，，
，
E是的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，．
11．
根据题目作图步骤作出示意图，连接、，
已知点在直线上，且横坐标为，将代入直线解析式得：，
故点的坐标为，由勾股定理得，
由作图步骤②可知，
四边形为菱形，
∴，即轴，
故点的坐标为，即点．
12．
解：由题意可知，图拼成的正方形边长为，
该正方形的面积为，
七巧板是由个等腰直角三角形、个正方形和个平行四边形组成，
其中两个小等腰直角三角形的面积均占大正方形面积的，
观察图可知，阴影部分为七巧板中的一个小等腰直角三角形，且其直角边长与下方小正方形的边长相等，
阴影部分的面积为．
13．3
解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形，
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，
∴．
在中，，
∴,
∴D点坐标为，E点纵坐标为10，
由折叠性质可知．
则，
设，则，．
在中，根据勾股定理得：，
即．
解得．
∵，
∴点E的横坐标为3．
14．
解：四边形是长方形，点坐标为，
，
由折叠的性质可知，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
同理，设，则，
由折叠可知，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得．
15．
解：∵，，
∴，
取中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
过点P作，如图所示：
∴，
∴，
如图，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值，
过点E作，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
16．
解：如图，取的中点，连接，，则，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即长度的最大值为，最小值为，
长度的最大值与最小值的和为．
17．(1)证明：，
∴点在的垂直平分线上；
，
∴点在的垂直平分线上，
垂直平分．
（2）共有四种可能的情形，
①当点在线段的延长线上，如图，
此时 ，
故 ；
②当点在线段的延长线上，如图，
此时
③当点在线段上，如图，
此时 ,平分，
④当点在线段上，如图，
此时 ，
故.
18．(1)证明：如图1，连接．
∵是斜边上的中线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
（2）解；如图2，过点C作于点G．
∵，，，，
∴，，，，
∴E为的中点，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
在中，，，
在中， ，
∴．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图3，当点Q在线段上时，过点Q作于点G．连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴Q为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵Q为的中点，
∴在中，．
在中，，，
∴．
在中，，
∴；
②如图4，当点Q在线段的延长线上时，过点Q作于点G．
同①可得，，
作于点，则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
作于点，则，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的值为或1．
19．(1)（1）解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
(2)，证明如下：
如图2，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
过点F作于P，连接交于点N，交于点M，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
由翻折知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，．
20．（1）解：∵，
∴，
如图所示，过点作于点G，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，；
（2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，
∴点P的运动时间为秒，
，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，
∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒，
∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合，
设点的运动时间为秒，
当时，，，则，
若时，由得到此时的四边形是矩形，
∴，
解得；
当时，，，，
若时，由得到此时的四边形是矩形，
∴，
解得；
综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或；
（3）解：由（1）可知，，若时，
∴当时，，，，如图所示，过点作于点H，
同理可得，四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
当时，如图所示，则四边形是矩形，，
同理可得，，则，
∴，
又，
∴，
解得，此时点B，Q重合；
综上所示，的值为或；
（4）解：点是边上的一点，且，
如图所示，当四边形是菱形时，
∴；
如图所示，四边形是菱形时，设交于点F，
则，，
同理可得，四边形是矩形，
∴，
∴；
如图所示，四边形是菱形时，，
在中，，
∴，
在中，；
综上所示，的值为5或或．
21．(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，
∴，
∴．
，
，
，
平分；
（2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点．
在和中，
，
，．
在和中，
，
，
．
（3）解：设正方形的边长为．
则，，．
在中，
，
，
解得，（舍去），
∴正方形边长为6．
22．（1）解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接、，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，，
在中，，
，
∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为；
（3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用．
如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
，，
，
，
，
，，是的中位线，
，
关于对称，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
，
，
，
．
，
的最小值为，
故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元．
23．（1）解：四边形是正方形，，
，，
，
，，
在中，，
为的中点，
；
（2）证明：如图，过点作于点，
平分，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，，
，
，
即；
（3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，
由（2）同理得，，
由题意得，四边形是正方形，且边长为，
∴，
，
是直角三角形，
将沿翻折得，
是直角三角形，
是的中点，
，
当时，的面积最大，
是等腰直角三角形，
则也是等腰直角三角形，
，
此时如图所示，则点与重合，
，
三点共线时，取得最小值，则点与重合，
∴取得最小值，
∴，
∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，
∴修建水渠和小路的最低总费用为：
（万元）．

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