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八年级数学（人教版）下学期期末压轴题训练
第二十章 勾股定理
一、选择题
1．如图，在中，，，，通过尺规作图在边上确定一点P，则根据下列尺规作图的痕迹不能求出长度的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图是小红在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线，即），已知小红的眼睛D到鞋底A处的距离，，若，且，，则小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ）m．
A． B．2 C． D．4
3．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（ ）
A．3 B． C．5 D．7
4．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．10 D．
5．如图，在中，，，D，E为上的两点，，F为外一点，且，．有下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．
两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
8．如图，在中，．
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；
③作射线交于点D；
④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；
⑤作直线，分别交于点E，
依据以上作图，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在中，，，，点在上，点在上，且，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______．
12．如图，在等腰直角三角形中，，，点D是的中点，点M是的中点，点E在上运动（点E不与点B重合，可与点M重合），将沿所在直线翻折到的位置，交于点F．当为等腰三角形时，则__________．
13．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______．
14．如图，在中，，，，是线段上一动点，连接，以为边，在上方作等边，线段与线段交于点，则的长是__________，线段的最大值是__________．
15．如图，，，在的三边、、上，若、、把的周长成两条等长的折线，即，则、、三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为____ ．
16．如图：已知等边三角形的边长是2，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形得到第三个等边三角形；……如此下去，这样得到的第2026个等边三角形的面积为_______．
三、解答题
17．乘法原理：若，则或．
(1)试用所学知识尝试求解下列方程：
①；
②；
方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求．
18．如图，已知中，，请用尺规作图法，在线段上作一点，连接，使得的三边之比为．
19．如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理．
20．嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，．
(1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）；
(2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________；
(3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由．
21．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“和谐共存线”，把这个四边形叫做“和谐共存四边形”．
(1)【概念理解】如图1，四边形中，，，，，求证：四边形是“和谐共存四边形”．
(2)【模型构建】如图2，四边形与四边形都是“和谐共存四边形”，且，，，对角线，分别是这两个四边形的“和谐共存线”，试说明与的数量关系．
(3)【思维拓展】如图3，四边形是“和谐共存四边形”，对角线是“和谐共存线”．已知为等腰直角三角形，且，请直接写出的长．
22．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值．
(1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________；
(2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值．
(3)若，为正实数，且．求的最小值．
23．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
(1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______；
(3)如图4，在中，是边上的高，，求的长．
参考答案
1．B
解：A、由题意，故不符合题意；
B、不能求出的长度，符合题意；
C、，，，，
是直角三角形，
作于H，
由题意，平分，
，，
，设，
，
，
，
，
，故不符合题意；
D、连接，由题意得，设，
∵、，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意．
故A，C，D选项能确定，只有选项B符合题意．
2．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为．
3．B
解：∵在中，，
∴，
∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵正方形中，，，
∴．
4．D
解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
则的最小值为
5．C
解：①∵，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
②连接，
由①中证明，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，故②正确，
③如图，设与的交点为G，
∵，，
∴，，
∴，故③不正确，
④∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
∴其中正确的结论有个．
6．C
解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为，
∴正方形的面积为，正方形的面积为，
∵，，
∴，故①正确；
∵，
∴，，
∴，故②正确；
当时，则有，
∴，即，
∴，故③正确；
当点是的中点时，，即，
∴，即，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确结论的个数是3个．
7．D
解：在中，，，，
∴由勾股定理可得，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：；
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：；
第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：；
，
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
8．C
解：如图，连接
由作法得平分，垂直平分，连接，
平分，，
∴，
∴，即，
，
垂直平分，
，
在中，，
，
的面积
9．C
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点为中点，
∴，
设，则，
∵折叠，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
10．A
解：如图，连接，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，
在中，，，
，
即，
解得，
即线段的长为．
11．
解：如图，，，
连接，延长与交于点，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
12．或
解：∵是等腰三角形，
∴有，，三种情况．
①当时，则，
由折叠的性质，可得，
设，则．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴此情况不成立；
②当时，有．
由折叠的性质，可得，
设，则，
∴．
在中，，
∴．
如图1，过点E作于点G．
在中，，则，
在中，∵，
∴，，
∵点D是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，有，
由折叠的性质，可得，
设，则，
∴．
在中，．
∴．
∴．
连接，
∵是等腰直角三角形，点D是的中点，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴此时点E与点M重合，如图2．
∵是等腰直角三角形，，，
∴．
∵点M是的中点，
∴．
∴．
综上所述，的值为或．
13．
解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为，
∵圆柱的半径为，圆柱的高为，
∴在中，
，
．
14．
解：如图，过点作与交于点，
∵，
∴设，，
∵，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴根据勾股定理，，
即：，解得，（舍），
∴，，
∴，
∵，
又∵有最大值，
∴有最小值，即当时有最小值，
∵等边，
∴，
∵，
∴，即点与点重合，
如图，
∴，
∴，
∵在中，，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴线段的最大值是．
15．/
解：如图，过点A作于．
∵是等边三角形，
，，，
设，则，
，
由可知，
，得，
，得，
，
由，得，
∵，
∴，
在中，
，
，
化简得：，
再化简得：，
整理得：，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），，
．
16．
解：等边三角形的边长是2，是边上的高，
，
，
，
同理可得， ，
，
则，
，
同理可得， ，
，
则，
，
同理可得， ，
，
则，
依次类推，
．
17．（1）解：①
∴；
②，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
在中，，，
设，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得
,
∴（舍去），
∴
18．如图，点即为所求．
解：由题意可得，，
作，如图：
则，
设，
在中，，
∴，则，
由勾股定理可得，，
∴，
∴．
则点即为所求．
19．证明：如图．
由两个全等的直角三角形，得．
，
，
，
，
．
20．
（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为，
∴的速度为；
（2）解：根据题意，速度提高后，的速度为，
∵，
∴，，
由运动时间相等可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解；
（3）探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下：
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴探险者所用时间为，探险者所用时间为，
∵，
∴探险者与不能同时到达藏宝点处．
21．(1)证明：，，，
，
∴，
，，
，
是等腰直角三角形，
∴四边形是“和谐共存四边形”
(2)解：．理由：
由题意知，和都是等腰直角三角形，
，．
，
，
，
．
(3)解：由题意知，是等腰直角三角形，
当时，如图，以为腰向上作等腰直角三角形，连接，
由（2）同理得，
，
，是等腰直角三角形，
，．
，
．
由勾股定理，得，
；
当时，如图，以为腰向下作等腰直角三角形，连接．
同理可得，，，
，
．
综上所述，的长为或．
22．（1）解：连接，作，由题意，得，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为10；
（2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，．
连接，作，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，．
连接，作，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为．
23．（1）证明：∵，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设边上的高为x，
∵，
∴．
（3）解：在中，由勾股定理得：
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，解得：．

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