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20.1 认识二次根式
1. 了解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件.
3. 理解二次根式的性质，能运用其进行化简计算.
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
上面得到的式子 ， ， ，
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
在第 10 章我们学方根和算术平方根的意义，引进了一个记号 .
一、二次根式的定义及有意义的条件
当a是正数时， 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
当a是0时， 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
当a是负数时， 没有意义.
一般地，我们把形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. a 叫做被开方数.
(1)被开方数a≥0；
(2) 表示一个数的算术平方根，可知 ≥0.
即：
被开方数a为非负数，即a≥0
二次根式的值非负，即 ≥0
二次根式 的双重非负性
由 表示的意义，可知( )2 =a(a ≥0).
这是二次根式的一个性质
例1 当 x 是怎样的实数时，二次根式 有意义
解：由 x - 1 ≥ 0，得
x ≥ 1.
当 x ≥ 1 时，二次根式 有意义.
被开方数必须是非负数
1. x 取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；
解：由 -2x - 6 ≥ 0，得
x ≤ -3
当 x ≤ -3 时， 有意义.
(2) ；
解：由 ，得
当x > 时， 有意义.
x > .
1.被开方数必须是非负数
2.分母不能为0
例2 计算：
= = = = =
= = = = =
= = = = =
0.5
0
0.5
二、二次根式的性质及应用
-( -3 )
3
3
-(-0.5)
=
你发现了什么？
a ( a ≥ 0 )
-a ( a < 0 )
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的性质 2：
与 是一样的吗？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a ≥ 0
a 取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
2. 计算
(1)
(2)
用到了(ab)2 = a2b2
(3)
(4)
解： (1) =
(2) = -7.
(3) = = 3a2；
(4) ( )2 = 22 × ( )2 = 4 × 5 = 20
性质
定义
二
次
根
式
( )2 = a ( a ≥ 0 ).
a ( a ≥ 0 )
-a ( a < 0 )
形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫做二次根式.
1.要使二次根式 有意义，请写出一个字母x可以取的值_____(答案不唯一)
2
2.若二次根式 有意义，则x的取值范围是________．
x＞7
-1
0
1
2
a
3. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .
1
4. 若 ，则 a - b + c = _____ .
3
5.计算
(1)
(2)
(3)
解： (1)
(2)
(3)
谢谢

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