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20.2.1 二次根式的乘法与积的算术平方根
第21章 二次根式
1. 利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算;
2. 会进行简单的二次根式的乘法运算.
问题1 什么叫二次根式？
问题2 两个基本性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
=
=∣a ∣
= a
(a≥ 0)
计算:
(1)×与
=2×5
=10
(2)×与
=4×3
=12
=
=10
=
=12
观察计算的结果，你能发现什么
发现：×=；×=
·= (a≥0，b≥0).
二次根式的乘法法则
证明：
一方面，() =() () (积的乘方法则)
=ab(算术平方根的意义).
另一方面，≥0.
根据算术平方根的意义，可得是ab的算术平方根，即
)=
例1 计算:
(1)×
(2)×
=
=
=
=
=4
解：（1）
（2）
1.计算:
（1） ； （2） ； （3）
（3）
上面得到的等式·= (a≥0，b≥0).也可以写成
=· (a≥0，b≥0).
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
积的算术平方根的性质
例2 化简，使被开方数不含完全平方的因数。
=
=×
=2
这里，被开方数 12 = 2 ×3，含有完全平方的因数，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用=a(a≥0)，将这个因数“开方”出来。
1. 把被开方数分解因式(或因数) ；
2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
(a≥0) 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
计算下列各式，并将所得的结果化简：
=
=×
=3
·
=
=
=×
=5
1.算术平方根的积和积的算术平方根.
2.化简二次根式的步骤：
（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数.
（3）将平方项应用 化简.
(a≥0)
（2）应用=· (a≥0，b≥0).
·= (a≥0，b≥0).
=· (a≥0，b≥0).
1.计算：
（1） ；（2） ；（3）
解:（1）
（2）
（3）
2.化简：
（1） ； （2）
解:（1）
（2）
易错提醒： 中，a,b必须是非负数.

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