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专题强化2　静电场中力的性质
[学习目标]　1.会利用几种特殊方法求解带电体的电场强度(重难点)。2.会分析电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题(重点)。3.会分析电场中的动力学问题(难点)。
一、非点电荷电场强度的求解
求解点电荷的电场强度时，一般可用公式E=、E=计算。但当一个带电体的体积较大时，已不能看作点电荷，求这个带电体在某处的电场强度时，常用微元法、对称法、补偿法等方法，化难为易。
1.微元法
把带电体分成很多小块，每小块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
例1　如图甲所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，A为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OA=L，静电力常量为k，求A点的电场强度大小时：
设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点电荷，其所带电荷量Q'=　　　　，任意小段带电体到A点的距离均为r=　　　　。由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在A点产生的电场强度大小E=　　　　　　　，如图乙所示，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而沿轴方向的分量Ex之和即为带电圆环在A点的电场强度EA，即EA=　　　　　　　。
答案　　　　
解析　任意小段带电体到A点的距离均为r=，每一小段带电体在A点产生的电场强度大小E==。EA=nEx=nkcos θ=。
2.对称法
带电体所带电荷或部分电荷对称分布，可应用对称性解决问题，使问题简单化。
例如：均匀带电的圆环有一个圆弧的缺口，判断O点的电场强度方向时，由于圆环上任何两个关于圆心中心对称的两点在O点产生的电场强度矢量和为零，故可以等效为弧BC在O点产生的电场强度，弧BC上关于OM对称的两点在O点产生的电场强度沿MO方向，故 O点的电场强度沿MO方向。
例2　(2025·徐州市高一期中)如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到竖直带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中B点的电场强度为0，静电力常量为k，则A点的电场强度(　　)
A.方向水平向右
B.大小为0
C.大小为
D.大小为
答案　C
解析　正点电荷在B点产生的电场强度大小为E=k，方向水平向左，由于题图中B点的电场强度为0，则带电薄板与正点电荷在B点产生的电场强度等大反向，故带电薄板在B点产生的电场强度大小为E'=E=k，方向水平向右，根据对称性可知，薄板在A点产生的电场强度方向水平向左，大小为E'=k，因此，A点的电场强度大小为EA=k+k=k，故选C。
3.补偿法
当带电体的形状不完整，如有缺口的带电圆环或球面，通常将它补全为完整的圆环或球面，根据作差法求解。
拓展学习　证明均匀带电球壳内部电场强度处处为零。
设均匀带电球壳单位面积所带电荷量为q0，现将该球壳分为n对直径分别为d1与d2的球冠，当n→∞时，d1→0，d2→0，则可把两个球冠看作平面圆盘，此时两圆盘可视为点电荷，如图所示，
则Q1=q0S1=q0·π
Q2=q0S2=q0·π
则两圆盘在P点的电场强度大小分别为
E1=k=k
E2=k=k
由相似关系可得=
则E1=E2，即两圆盘在P点合电场强度为0，
同理其他(n-1)对圆盘在P点的合电场强度为0，故均匀带电球壳内部任一点的合电场强度为0。
如图甲，半球球壳电荷量为+q，A、B两点关于半球壳球心O点对称，且半球壳在A点产生的电场强度大小为E。求半球壳在B点产生的电场强度大小时，可以将题目中半球壳补成一个均匀带电的完整球壳，如图乙，设右半球壳在A点产生的电场强度大小为E'。由于均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则E'和E大小相等。根据对称性可知，左半球壳在B点产生的电场强度大小也为E。
例3　如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的电场强度大小为E1，右半部分在A2点的电场强度的大小为E2，则有(　　)
A.E1=E2 B.E1C.E1>E2 D.大小无法确定
答案　C
解析　如图甲所示，分开后左部分球冠所带电荷在点A1产生的电场强度以E1表示，右部分球层面电荷在A2产生的电场强度以E2表示，由对称性可知E1的方向向右，E2的方向向左。
如图乙所示，设想在另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，球缺在A2点产生的电场强度E3大于E2，球缺和球冠构成一个完整球，由于均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，那么，E1与E3必然大小相等，方向相反，所以球冠面电荷在点A1产生的电场强度E1大于球层面电荷在A2产生的电场强度E2，故C正确，A、B、D错误。
二、电场线与带电粒子的运动轨迹结合的问题
若实线为电场线，虚线为带电粒子的运动轨迹，带电粒子只受静电力的作用从A点向B点运动。回答以下问题：
(1)画出粒子在A点的运动方向和加速度方向。
(2)判断粒子的电性。
(3)判断粒子从A到B过程中，加速度大小的变化情况。
(4)判断粒子从A到B过程中，速度大小的变化情况。
答案　(1)粒子在A点的运动方向沿轨迹切线方向；根据合力总是指向轨迹的凹侧，可判断所受合力(即静电力)的方向，即加速度方向(沿电场线标注)，如图所示。
(2)粒子受到的静电力方向为沿着电场线向左，此粒子带负电。
(3)电场线的疏密程度表示电场强度的大小，从A到B电场线越来越稀疏，说明电场强度越来越小，所受静电力越来越小，加速度也越来越小。
(4)由粒子运动情况知，速度方向与静电力方向夹角为钝角，静电力做负功，故从A到B粒子的速度越来越小。
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧。静电力与电场线或电场线的切线共线，粒子速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可判断静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系。
例4　(2026·北京市东城区高二检测)如图所示，a、b、c为点电荷Q产生的电场中的三条电场线，虚线MNP是带电粒子q只在静电力作用下的运动轨迹，则(　　)
A.粒子q在P点受到的静电力一定沿电场线方向向右
B.粒子q一定是从M到P做加速度增加的加速运动
C.粒子q在P点的速度不一定比在M点的速度大
D.若粒子q带负电，则点电荷Q为负电荷
答案　A
解析　静电力的方向指向轨迹的凹侧，因此粒子在P点受到的静电力的方向一定沿电场线方向向右，故A正确；电场线的疏密程度表示电场强度的大小，从M到P电场线变密，电场强度增大，加速度会增加，但粒子的运动方向不确定(可能从M到P，也可能从P到M)，且只有当静电力与速度方向夹角为锐角时才是加速运动，因此不能确定粒子一定从M到P做加速运动，故B错误；若粒子从M到P，静电力做正功，速度增大，若粒子从P到M，静电力做负功，速度减小，所以粒子q在P点的速度一定比在M点的速度大，故C错误；若粒子q带负电，其所受静电力方向与电场线方向相反，可知Q为正电荷，故D错误。
三、电场中的动力学问题
分析带电体在电场中的加速运动时，与力学问题分析方法完全相同，牛顿第二定律仍适用。
例5　(2025·山西省多校高二检测)如图所示，倾角为α=30°的足够长的光滑绝缘斜面固定在水平面上，两可视为质点的小球P、Q用绝缘细线连接，整个空间存在平行于斜面向上的匀强电场，两球放在斜面上时静止。已知P、Q的质量分别为m、2m，所带电荷量均为+q(q>0)，不计小球之间的静电力，重力加速度为g。某时刻细线突然断裂。求：
(1)该匀强电场的电场强度大小。
(2)细线断裂瞬间，小球P、Q的加速度。
答案　(1)　(2)g，方向向上　g，方向向下
解析　(1)两球放在斜面上时静止，对两球整体受力分析，根据平衡条件有3mgsin α=2qE，解得E=。
(2)细线断裂瞬间，对小球P、Q分析，根据牛顿第二定律有qE-mgsin α=maP，2mgsin α-qE=2maQ，解得aP=g，方向向上，aQ=g，方向向下。
专题强化练
[分值：52分]
[1~5题，每题4分]
1.一带负电的点电荷，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知点电荷的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)(　　)
答案　D
解析　点电荷做曲线运动，静电力方向与速度方向不在同一直线上，应指向轨迹凹侧，不可能沿轨迹的切线方向，则电场强度也不可能沿轨迹的切线方向，故A错误；负点电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反，题图B中静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，点电荷的速率增大，故B错误；题图C中电场强度方向指向轨迹的内侧，则静电力方向指向轨迹的外侧，点电荷的轨迹应向上弯曲，不可能沿题图所示的轨迹运动，故C错误；题图D中电场强度方向指向轨迹的外侧，则静电力方向指向轨迹的内侧，而且静电力方向与点电荷的速度方向成钝角，静电力做负功，点电荷的速率减小，故D正确。
2.如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受静电力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道(　　)
A.电场线方向向右
B.电场线方向向左
C.点电荷是负电荷
D.点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
答案　D
解析　合力的方向指向轨迹的凹侧，所以点电荷所受静电力方向向右，根据题意，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则静电力方向与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则静电力方向与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。
3.(2026·银川市高二检测)如图所示，带电粒子仅在静电力作用下，从电场中a点以初速度v0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点。从a到b过程中，下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电荷
B.粒子的速度先增大后减小
C.粒子的加速度先增大后减小
D.粒子的机械能先减少后增加
答案　D
解析　根据粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力方向大致向右，与电场强度方向相同，可知粒子带正电荷，A错误；静电力先做负功后做正功，则粒子的速度先减小后增大，粒子的动能先减小后增加，即机械能先减少后增加，D正确，B错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，可知粒子所受静电力先减小后增加，则粒子的加速度先减小后增大，C错误。
4.(多选)真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线(与水平方向成θ角)由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则(　　)
A.微粒一定带负电
B.微粒一定做匀速直线运动
C.匀强电场的电场强度大小为
D.微粒运动的加速度大小为
答案　AD
解析　微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方向与速度方向在同一条直线上，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以微粒做匀减速直线运动，故B错误；根据上述分析可知qEtan θ=mg，则E=，故C错误；根据牛顿第二定律有=ma，可得a=，故D正确。
5.(多选)如图所示，半径为R的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的负电荷，总电荷量为Q，已知静电力常量为k，若在圆环上切去长度为l(l远小于R)的一小段AB，则圆心O处产生的电场方向和电场强度大小应为(　　)
A.方向指向AB
B.方向背离AB
C.电场强度大小为
D.电场强度大小为
答案　BD
解析　AB段的电荷量q=，则AB段在O点产生的电场强度大小为E==，方向指向AB，因为未切去AB段前，圆心O点处的电场强度为零，所以剩余部分在O点产生的电场强度大小等于，方向背离AB，故B、D正确，A、C错误。
[6~9题，每题6分]
6.如图所示，12个带电荷量均为+q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零，则O点的电场强度大小为(静电力常量为k)(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　P、Q两处的点电荷在O点产生的电场强度大小相等，均为E=，根据几何关系P、Q两处的点电荷在O点的合电场强度大小为E合=2Ecos 60°=，由于12个正点电荷在O点的合电场强度大小为0，则P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零时，O点的电场强度大小为E合'=E合=，故A正确。
7.(多选)(2026·福州市高二检测)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为+Q，其圆心为O点。有一电荷量为+q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，静电力常量为k，以下说法正确的是(　　)
A.P点的电场强度方向竖直向下
B.P点的电场强度大小为
C.P点的电场强度大小为k
D.P点的电场强度大小为k
答案　BD
解析　将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为q0=，每份在P点的电场强度大小为E0===，根据对称性可知，水平方向的合电场强度为零，P点的电场强度方向竖直向上，故A错误；P点的电场强度大小为E=nE0cos θ=，由平衡条件可得在P点mg=qE，解得P点的电场强度大小为E=，故B、D正确，C错误。
8.(多选)(2026·深圳市高二期中)水平直线上P、Q两点分别固定一个负点电荷，O点为直线上某一点，M、N两点是O点正上、下方距离O点均为d的两点，一电荷量为q的正点电荷置于O点时N点处的电场强度恰好为零，静电力常量为k，若将该正点电荷移动到N点，下列说法正确的是(　　)
A.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度大小为
B.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度大小为
C.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度方向向下
D.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度方向向上
答案　AC
解析　正点电荷q在N点产生的电场强度大小为E1=，又N点处的电场强度为零，则P、Q两点电荷在N点产生的合电场强度大小为E=，方向向上，根据对称性可知，P、Q两点电荷在M点产生的合电场强度大小为E=，方向向下，故将该正点电荷移到N点后，M点的电场强度为EM=E-=，方向向下，故选A、C。
9.(2025·郑州市高二检测)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R，静电力常量为k。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(　　)
A.-E B.
C.-2E D.-E
答案　A
解析　在半球面AB右侧填补一个与AB完全相同的半球面，则这个球壳在M、N两点产生的电场强度大小相等，均为E0=k=，由于半球面AB在M点的电场强度大小为E，则右侧填补的半球面在M点产生的电场强度为E1=E0-E=-E，根据对称性可知，半球面AB在N点的电场强度大小与右侧填补的半球面在M点产生的电场强度大小相等，即N点的电场强度大小为E2=E1=-E，故选A。
[8分]
10.(2025·蚌埠市高二期中)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B的距离为R、B和A间的距离为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V=πr3，则=(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意知，半径为R的均匀带电球体在A、B点产生的电场强度为E1=k=，E2=k，挖去的球体在A、B点产生的电场强度为E3=k=，E4=k=。Q'=，所以E3=，E4=，所以==，故选A。(共46张PPT)
静电场中力的性质
＜专题强化2＞
学习目标
1.会利用几种特殊方法求解带电体的电场强度(重难点)。
2.会分析电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题(重点)。
3.会分析电场中的动力学问题(难点)。
内容索引
专题强化练
一、非点电荷电场强度的求解
二、电场线与带电粒子的运动轨迹结合的问题
三、电场中的动力学问题
求解点电荷的电场强度时，一般可用公式E=、E=计算。但当一个带电体的体积较大时，已不能看作点电荷，求这个带电体在某处的电场强度时，常用微元法、对称法、补偿法等方法，化难为易。
1.微元法
把带电体分成很多小块，每小块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
一、非点电荷电场强度的求解
如图甲所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，A为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OA=L，静电力常量为k，求A点的电场强度大小时：
设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点
电荷，其所带电荷量Q'=　　，任意小段带电体到A点的距离均为r=　　　　。由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在A点产生的电场强度大小E=　　　　，如
图乙所示，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而沿轴方向的分量Ex之和即为带电圆
环在A点的电场强度EA，即EA=　　　　　。
例1
　
　
　
　
任意小段带电体到A点的距离均为r=，每一小段带电体在A点产生的电场强度大小E==。EA=nEx=nkcos θ=。
2.对称法
带电体所带电荷或部分电荷对称分布，可应用对称性解决问题，使问题简单化。
例如：均匀带电的圆环有一个圆弧的缺口，判断O点的电场强度方向时，由于圆环上任何两个关于圆心中心对称的两点在O点产生的电场强度矢量和为零，故可以等效为弧BC在O点产生的电场强度，弧BC上关于OM对称的两点在O点产生的电场强度沿MO方向，故 O点的电场强度沿MO方向。
(2025·徐州市高一期中)如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到竖直带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中B点的电场强度为0，静电力常量为k，则A点的电场强度
A.方向水平向右
B.大小为0
C.大小为
D.大小为
√
例2
正点电荷在B点产生的电场强度大小为E=k，方向水平向左，由于题图中B点的电场强度为0，则带电薄板与正点电荷在B点产生的电场强度等大反向，故带电薄板在B点产生的电场强度大小为E'=E=k，方向水平向右，根据对称性可知，薄板在A点产生的电场强度方向水平向左，大小为E'=k，因此，A点的电场强度大小为EA=k+k=k，故选C。
3.补偿法
当带电体的形状不完整，如有缺口的带电圆环或球面，通常将它补全为完整的圆环或球面，根据作差法求解。
拓展学习　证明均匀带电球壳内部电场强度处处为零。
设均匀带电球壳单位面积所带电荷量为q0，现将该球壳分为n对直径分别为d1与d2的球冠，当n→∞时，d1→0，d2→0，则可把两个球冠看作平面圆盘，此时两圆盘可视为点电荷，如图所示，
则Q1=q0S1=q0·π
Q2=q0S2=q0·π
则两圆盘在P点的电场强度大小分别为
E1=k=k
E2=k=k
由相似关系可得=
则E1=E2，即两圆盘在P点合电场强度为0，
同理其他(n-1)对圆盘在P点的合电场强度为0，故均匀带电球壳内部任一点的合电场强度为0。
如图甲，半球球壳电荷量为+q，A、B两点关于半球壳球心O点对称，且半球壳在A点产生的电场强度大小为E。求半球壳在B点产生的电场强度大小时，可以将题目中半球壳补成一个均匀带电的完整球壳，如图乙，设右半球壳在A点产生的电场强度大小为E'。由于均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则E'和E大小相等。根据对称性可知，左半球壳在B点产生的电场强度大小也为E。
如图所示，将表面均匀带正电的半球壳，沿线轴分成厚度相等的两部分，然后将这两部分移开到很远的距离，设分开后球表面仍均匀带电，左半部分在A1点的电场强度大小为E1，右半部分在A2点的电场强度的大小为E2，则有
A.E1=E2 B.E1C.E1>E2 D.大小无法确定
√
例3
如图甲所示，分开后左部分球冠所带电荷在点A1产生的电场强度以E1表示，右部分球层面电荷在A2产生的电场强度以E2表示，由对称性可知E1的方向向右，E2的方向向左。
如图乙所示，设想在另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，球缺在A2点产生的电场强度E3大于E2，球缺和球冠构成一个完整球，由于均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，那么，E1与E3必然
大小相等，方向相反，所以球冠面电荷在点A1产生的电场强度E1大于球层面电荷在A2产生的电场强度E2，故C正确，A、B、D错误。
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若实线为电场线，虚线为带电粒子的运动轨迹，带电粒子只受静电力的作用从A点向B点运动。回答以下问题：
(1)画出粒子在A点的运动方向和加速度方向。
二、电场线与带电粒子的运动轨迹结合的问题
答案　粒子在A点的运动方向沿轨迹切线方向；根据合力总是指向轨迹的凹侧，可判断所受合力(即静电力)的方向，即加速度方向(沿电场线标注)，如图所示。
(2)判断粒子的电性。
答案　粒子受到的静电力方向为沿着电场线向左，此粒子带负电。
(3)判断粒子从A到B过程中，加速度大小的变化情况。
答案　电场线的疏密程度表示电场强度的大小，从A到B电场线越来越稀疏，说明电场强度越来越小，所受静电力越来越小，加速度也越来越小。
(4)判断粒子从A到B过程中，速度大小的变化情况。
答案　由粒子运动情况知，速度方向与静电力方向夹角为钝角，静电力做负功，故从A到B粒子的速度越来越小。
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧。静电力与电场线或电场线的切线共线，粒子速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可判断静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系。
提炼·总结
(2026·北京市东城区高二检测)如图所示，a、b、c为点电荷Q产生的电场中的三条电场线，虚线MNP是带电粒子q只在静电力作用下的运动轨迹，则
A.粒子q在P点受到的静电力一定沿电场线方向向右
B.粒子q一定是从M到P做加速度增加的加速运动
C.粒子q在P点的速度不一定比在M点的速度大
D.若粒子q带负电，则点电荷Q为负电荷
√
例4
静电力的方向指向轨迹的凹侧，因此粒子在P点受到的静电力的方向一定沿电场线方向向右，故A正确；
电场线的疏密程度表示电场强度的大小，从M到P电场线变密，电场强度增大，加速度会增加，但粒子的运动方向不确定(可能从M到P，也可能从P到M)，且只有当静电力与速度方向夹角为锐角时才是加速运动，因此不能确定粒子一定从M到P做加速运动，故B错误；
若粒子从M到P，静电力做正功，速度增大，若粒子从P到M，静电力做负功，速度减小，所以粒子q在P点的速度一定比在M点的速度大，故C错误；
若粒子q带负电，其所受静电力方向与电场线方向相反，可知Q为正电荷，故D错误。
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分析带电体在电场中的加速运动时，与力学问题分析方法完全相同，牛顿第二定律仍适用。
三、电场中的动力学问题
(2025·山西省多校高二检测)如图所示，倾角为α=30°的足够长的光滑绝缘斜面固定在水平面上，两可视为质点的小球P、Q用绝缘细线连接，整个空间存在平行于斜面向上的匀强电场，两球放在斜面上时静止。已知P、Q的质量分别为m、2m，所带电荷量均为+q(q>0)，不计小球之间的静电力，重力加速度为g。某时刻细线突然断裂。求：
例5
(1)该匀强电场的电场强度大小。
答案　
两球放在斜面上时静止，对两球整体受力分析，根据平衡条件有3mgsin α
=2qE，解得E=。
(2)细线断裂瞬间，小球P、Q的加速度。
答案　g，方向向上　g，方向向下
细线断裂瞬间，对小球P、Q分析，根据牛顿第二定律有qE-mgsin α=maP，2mgsin α-qE=2maQ，解得aP=g，方向向上，aQ=g，方向向下。
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专题强化练
答案
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对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D AD BD A BD AC
题号 9 10 答案 A A 1.一带负电的点电荷，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知点电荷的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)
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基础强化练
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答案
点电荷做曲线运动，静电力方向与速度方向不在同一直线上，应指向轨迹凹侧，不可能沿轨迹的切线方向，则电场强度也不可能沿轨迹的切线方向，故A错误；
负点电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反，题图B中静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，点电荷的速率增大，故B错误；
题图C中电场强度方向指向轨迹的内侧，则静电力方向指向轨迹的外侧，点电荷的轨迹应向上弯曲，不可能沿题图所示的轨迹运动，故C错误；
题图D中电场强度方向指向轨迹的外侧，则静电力方向指向轨迹的内侧，而且静电力方向与点电荷的速度方向成钝角，静电力做负功，点电荷的速率减小，故D正确。
2.如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受静电力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道
A.电场线方向向右
B.电场线方向向左
C.点电荷是负电荷
D.点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
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答案
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合力的方向指向轨迹的凹侧，所以点电荷所受静电力方向向右，根据题意，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；
若点电荷从A点向B点运动，则静电力方向与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则静电力方向与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。
3.(2026·银川市高二检测)如图所示，带电粒子仅在静电力作用下，从电场中a点以初速度v0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点。从a到b过程中，下列说法正确的是
A.粒子带负电荷
B.粒子的速度先增大后减小
C.粒子的加速度先增大后减小
D.粒子的机械能先减少后增加
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根据粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力方向大致向右，与电场强度方向相同，可知粒子带正电荷，A错误；
静电力先做负功后做正功，则粒子的速度先减小后增大，粒子的动能先减小后增加，即机械能先减少后增加，D正确，B错误；
电场线的疏密程度反映电场强度的大小，可知粒子所受静电力先减小后增加，则粒子的加速度先减小后增大，C错误。
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答案
4.(多选)真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线(与水平方向成θ角)由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则
A.微粒一定带负电
B.微粒一定做匀速直线运动
C.匀强电场的电场强度大小为
D.微粒运动的加速度大小为
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答案
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答案
微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方向与速度方向在同一条直线上，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；
微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以微粒做匀减速直线运动，故B错误；
根据上述分析可知qEtan θ=mg，则E=，故C错误；
根据牛顿第二定律有=ma，可得a=，故D正确。
5.(多选)如图所示，半径为R的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的负电荷，总电荷量为Q，已知静电力常量为k，若在圆环上切去长度为l(l远小于R)的一小段AB，则圆心O处产生的电场方向和电场强度大小应为
A.方向指向AB
B.方向背离AB
C.电场强度大小为
D.电场强度大小为
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答案
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答案
AB段的电荷量q=，则AB段在O点产生的电场强度大小为E==，方向指向AB，因为未切去AB段前，圆心O点处的电场强度为零，所以剩余部分在O点产生的电场强度大小等于，方向背离AB，故B、D正确，A、C错误。
6.如图所示，12个带电荷量均为+q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零，则O点的电场强度大小为(静电力常量为k)
A. B.
C. D.
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答案
能力综合练
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答案
P、Q两处的点电荷在O点产生的电场强度大小相等，均为E=，根据几何关系P、Q两处的点电荷在O点的合电场强度大小为E合=2Ecos 60°=，由于12个正点电荷在O点的合电场强度大小为0，则P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零时，O点的电场强度大小为E合'=E合=，故A正确。
7.(多选)(2026·福州市高二检测)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为+Q，其圆心为O点。有一电荷量为+q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，静电力常量为k，以下说法正确的是
A.P点的电场强度方向竖直向下
B.P点的电场强度大小为
C.P点的电场强度大小为k
D.P点的电场强度大小为k
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答案
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答案
将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电
荷量为q0=，每份在P点的电场强度大小为E0===，根
据对称性可知，水平方向的合电场强度为零，P点的电场强度方向竖直向上，故A错误；
P点的电场强度大小为E=nE0cos θ=，由平衡条件可得在P点mg=qE，解得P点的电场强度大小为E=，故B、D正确，C错误。
8.(多选)(2026·深圳市高二期中)水平直线上P、Q两点分别固定一个负点电荷，O点为直线上某一点，M、N两点是O点正上、下方距离O点均为d的两点，一电荷量为q的正点电荷置于O点时N点处的电场强度恰好为零，静电力常量为k，若将该正点电荷移动到N点，下列说法正确的是
A.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度大小
为
B.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度大小为
C.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度方向向下
D.将该正点电荷移动到N点后，M点的电场强度方向向上
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正点电荷q在N点产生的电场强度大小为E1=，又N点处的电场强度为零，则P、Q两点电荷在N点产生的合电场强度大小为E=，方向向上，根据对称性可知，P、Q两点电荷在M点产生的合电场强度大小为E=，方向向下，故将该正点电荷移到N点后，M点的电场强度为EM=E-=，方向向下，故选A、C。
9.(2025·郑州市高二检测)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R，静电力常量为k。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为
A.-E B.
C.-2E D.-E
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在半球面AB右侧填补一个与AB完全相同的半球面，则这个球壳在M、N两点产生的电场强度大小相等，均为E0=k=，由于半球面AB在M点的电场强度大小为E，则右侧填补的半球面在M点产生的电场强度为E1=E0-E=-E，根据对称性可知，半球面AB在N点的电场强度大小与右侧填补的半球面在M点产生的电场强度大小相等，即N点的电场强度大小为E2=E1=-E，故选A。
10.(2025·蚌埠市高二期中)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B的距离为R、B和A间的距离为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V=πr3，则=
A. B.
C. D.
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尖子生选练
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由题意知，半径为R的均匀带电球体在A、B点产生的电场强度为E1=k=，E2=k，挖去的球体在A、B点产生的电场强度为E3= k=，E4=k=。Q'=，所以E3=，E4=，所以= =，故选A。
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