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专题强化4　静电场中的功能关系及图像问题
[学习目标]　1.能应用动能定理等分析静电场中的功能关系。2.理解v-t、φ-x、E-x和Ep-x等图像的意义并会应用图像解决电场问题。
一、静电场中的功能关系
1.静电力做功的计算
2.电场中常见的几种功能关系
(1)静电力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
(2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合=ΔEk，这里的W合指合外力做的功。
(3)只有静电力做功，则带电体的动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk=-ΔEp。
例1　(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　　)
A.金属块带正电荷
B.金属块的机械能减少12 J
C.金属块克服静电力做功8 J
D.金属块的电势能减少4 J
答案　AB
解析　在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得WG+W电+Wf=ΔEk，解得W电=-4 J，所以金属块克服静电力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，静电力做负功，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。
二、电场中的图像问题
1.v-t图像
(1)v-t图像的意义：描述电荷在电场中运动速度v随时间t变化的图像。
(2)根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
例2　(2025·汕头市高二检测)图甲中直线PQ表示电场中的一条电场线，质量为m、电荷量为-q(q > 0)的带电粒子仅在静电力作用下沿电场线向右运动，经过P点时速度为v0，到达Q点时速度减为零，粒子运动的v-t图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A.Q点电势高于P点电势
B.P点电场强度小于Q点电场强度
C.P、Q两点间的电势差为
D.粒子在P点的电势能大于在Q点的电势能
答案　C
解析　由题图乙可知，带负电的粒子向右运动的速度减小，故受到向左的静电力，故电场线方向向右，P点电势一定高于Q点电势，故A错误；由题图乙可知，P处的加速度大于Q处的加速度，由qE=ma可知P处的电场强度大于Q处的电场强度，故B错误；带电粒子从P点运动到Q点的过程中，由动能定理得-qUPQ=0-m，解得P、Q两点间的电势差为UPQ=，故C正确；负电荷在电势高的地方电势能小，故粒子在P点的电势能一定小于在Q点的电势能，故D错误。
2.φ-x图像
(1)φ-x图像的意义：反映了电势φ随位置x变化的规律。在φ-x图像中根据纵坐标值可以直接判断各点电势的高低。
(2)φ-x图线的斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的大小；电场强度为零处，其切线的斜率为零。
(3)设电场强度的方向与x轴平行，图像中沿x轴，电势降低的方向即为电场强度方向。图中A点电势高于B点电势，故A、B间电场方向沿x轴正方向，C点电势低于D点电势，故C、D间电场方向沿x轴负方向。
例3　(2025·广州市高二检测)如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，一个带电粒子仅受静电力作用在x=0处由静止释放沿x轴正方向运动，且以一定的速度通过x=x3处，其中x2处电势最高。则下列说法正确的是(　　)
A.x2处电场强度最大
B.粒子从x1处运动到x3处静电力做功为零
C.x1到x3电场强度先变大后变小
D.x1和x3两处电场强度方向相同
答案　B
解析　因为φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，可知x2处电场强度为零，选项A错误；粒子从x1处运动到x3处，x1、x3处两点间电势差为零，可知静电力做功为零，选项B正确；因为φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，可知 x1到x3电场强度先变小后变大，x1和x3两处电场强度方向相反，选项C、D错误。
针对训练　如图甲所示，直线AB是电场中的一条电场线，沿与直线AB成 θ=37°的方向建立一维坐标轴Ox，令原点O处电势为零，则沿Ox坐标轴上各点的电势φ与x坐标的关系如图乙所示，P点坐标已标注在图中。下列说法正确的是(cos 37°=0.8)(　　)
A.电场方向由B 指向A
B.电场方向沿x 轴正方向
C.原点O处的电场强度大小为2×102 V/m
D.原点O处的电场强度大小为1.6×102 V/m
答案　C
解析　由于φ-x图线的切线斜率绝对值表示电场强度大小，斜率不变则电场强度不变，故该电场为匀强电场，由题图乙中沿着x轴正方向电势逐渐降低可知，电场方向由A指向B，故A、B错误；由题图乙可知该电场的电场强度大小为E== V/m=2×102 V/m，故C正确，D错误。
3.E-x图像
(1)E-x图像的意义：反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。
(2)设x轴正方向为电场强度的正方向，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场强度沿x轴负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
例4　(2025·淮安市高一期末)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E-x关系图像如图所示，已知NA=AO=OB=BP。取O点的电势为零，则(　　)
A.A点电势低于B点电势
B.电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小
C.电子由N运动到P的过程静电力先减小后增大
D.N、A两点之间的电势差小于A、O两点之间的电势差
答案　D
解析　电场强度E的方向沿x轴正方向，题图中电场强度都为正值，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，所以A点电势高于B点电势，故A错误；从N到P电势一直降低，根据电势能的定义可知，电子从N移到P的过程中，电势能一直增大，故B错误；由题图可知，电场强度先增大后减小，所以电子由N运动到P的过程静电力先增大后减小，故C错误；由题图可知N、A两点之间的平均电场强度小于A、O两点之间的平均电场强度，由U=Ed可知，N、A两点之间的电势差小于A、O两点之间的电势差，故D正确。
4.Ep-x图像
(1)Ep-x图像的物理意义：反映了电势能Ep随x变化的规律。
(2)图像切线的斜率绝对值表示静电力大小。图像切线斜率为零时静电力为零，该点的电场强度的大小也为零。
例5　(2026·武威市高二检测)一带负电的粒子仅在静电力的作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系图像如图所示，图线刚好是半个周期正弦曲线，下列说法正确的是(　　)
A.运动过程中粒子机械能守恒
B.x1、x3处的电场强度相同
C.粒子在x1处的动能小于在x2处的动能
D.x2处的电势小于x3处的电势
答案　D
解析　静电力对粒子做功，粒子机械能不守恒，故A错误；Ep-x图像的切线斜率绝对值表示静电力大小，结合对称性可知，粒子在x1、x3处受到的静电力大小相等，方向相反，由F=qE知x1、x3处的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；根据能量守恒可知，粒子的电势能与动能之和不变，由Ep-x图像可知粒子在x2处电势能比在x1处大，故粒子在x1处的动能大于在x2处的动能，故C错误；由Ep-x图像可知，粒子在x2处的电势能大于在x3处的电势能，根据φ=，由于粒子带负电，则x2处的电势小于x3处的电势，故D正确。
1.(2026·柳州市高二检测)某电场中，电场强度E沿x轴变化的关系图像如图所示，其中A、B两点电场强度大小为0。若取O点为零电势点，则从A点到B点，电势沿x轴变化的关系图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　根据E=可知，φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度E的大小，所以从A→B过程φ-x图像的切线斜率绝对值先增大后减小。故选C。
2.(2026·重庆西南大学附属中学高二检测)一种半导体材料的内部电场中从N点到P点连线上的电势φ随位置x变化的图像如图所示。已知N、P间各点的电场强度方向均平行于x轴，以x轴正方向为电场强度的正方向，则N、P连线上各点的电场强度E与位置x的图像可能为(　　)
答案　A
解析　由φ-x图像可知，从N到O点电势逐渐降低，因此电场方向沿x轴正方向，在φ-x图像中，其切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，结合图像可知，从N到O点，电场强度沿x轴正方向逐渐增大；同理，从O到P点，电势逐渐升高，则电场方向沿x轴负方向，且φ-x图像的斜率逐渐减小，说明电场强度逐渐减小，故选A。
3.(2026·上海中学高二期中)某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在静电力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中(　　)
A.电势先增大后减小
B.电场强度大小先减小后增大
C.粒子电势能先减小后增大
D.电场强度先向左后向右
答案　B
解析　带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，故A、D错误；由题图可知，Ek-x图线切线斜率的绝对值表示静电力大小，斜率的绝对值先减小后增大，则电场强度先减小后增大，故B正确；动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，故C错误。
4.(2026·赤峰市高二检测)如图所示，两点电荷分别固定在O、O'两点，沿x轴方向各点的电势随位置坐标的变化规律如图所示，a、c两点的纵坐标值相同，在b点图像有最低点。下列说法正确的是(　　)
A.a、c间电场的方向沿x轴正方向
B.a点的电场强度大于c点的电场强度
C.两点电荷为同种电荷
D.O、O'两点的点电荷所带电荷量大小相等
答案　B
解析　沿电场线方向电势逐渐降低，由a到c电势先降低后升高，可知a、c间电场的方向先沿x轴正方向，后沿x轴负方向，A错误；因φ-x图像的切线斜率绝对值表示电场强度大小，可知a点的电场强度大于c点的电场强度，B正确；因b点对应图像切线斜率为零，可知b点电场强度为零，根据=可知，O'点的点电荷所带电荷量大小大于O点的点电荷所带电荷量大小，D错误；若两点电荷为同种电荷，则b点处的电场强度不能为零，所以两点电荷为异种电荷，C错误。
专题强化练　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题
等分法的应用　静电场中的功能关系及图像问题
[分值：58分]
　[1~5题，每题4分]
1.若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　)
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
答案　D
解析　微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·德阳市高二检测)空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质子运动轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上的两个点，不计质子的重力，下列说法正确的是(　　)
A.a点的电场强度比b点大
B.a、b两点电场强度的方向相同
C.质子从a点运动到b点，静电力做正功
D.质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较小
答案　C
解析　等差等势面越密集的地方电场强度越大，故a点的电场强度比b点小，故A错误；电场线与等势面垂直，且由高等势面指向低等势面，如图为a、b两点电场强度的方向，可知a、b两点电场强度的方向不同，故B错误；质子做曲线运动的受力方向指向曲线轨迹的凹侧，受力与电场强度方向相同，质子从a点运动到b点，受力方向与速度方向的夹角一直为锐角，所以静电力做正功，故C正确；根据Ep=qφ，质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较大，故D错误。
3.(2025·海口市高二期末)如图，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F做功40 J，金属块克服静电力做功10 J，金属块克服摩擦力做功20 J，重力势能改变了30 J，则(　　)
A.电场方向水平向左
B.电场方向水平向右
C.在此过程中金属块电势能减少20 J
D.在此过程中金属块机械能增加10 J
答案　D
解析　因为不知道带电金属块的电性，所以无法判断电场方向，故A、B错误；克服静电力做功为10 J，则电势能增加10 J，故C错误；机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功，故ΔE=40 J-10 J-20 J=10 J，故D正确。
4.(2026·抚顺市高二检测)如图，一匀强电场的电场线(未画出)平行于矩形ABCD所在的平面，LAB=LCD=3L、LAD=LBC=4L，先后将电荷量为+q(q>0)、-q和+2q的点电荷单独放在B点、C点和D点时，电势能均为Ep(Ep>0)，则该匀强电场的电场强度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　根据题意可知，B点、C点和D点的电势分别为φB=，φC=-，φD=，如图所示，BC边中点M的电势为φM==0，设N点为DC的三等分点，N点电势为0，连接MN，MN为一条等势线，过C点作MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向指向右下方且与BC边成45°角，电场强度的大小为E==，故选B。
5.(2026·福州市高二检测)空间存在一沿x轴方向的静电场，电场强度E随x变化的关系图像如图所示，图线关于坐标原点对称，A、B是x轴上关于原点对称的两点，以向右为电场强度的正方向。下列说法中正确的是(　　)
A.电子在A、B两点的电势能不相等
B.取无穷远处电势为零，则O点处电势为零
C.电子从A点由静止释放后的运动轨迹可能是曲线
D.电子在A、B两点的加速度方向相反
答案　D
解析　由题意可知，x<0区域，电场强度方向向左，x>0区域，电场强度方向向右，电子从A移动到B过程，受到的静电力先向右后向左，即静电力先做正功后做负功，结合对称性可知，静电力所做总功为零，故电子在A、B两点的电势能相等，在A、B两点的加速度方向相反，A错误，D正确；x<0区域，电场强度向左，x>0区域，电场强度向右，沿电场线方向电势降低，取无穷远处电势为零，故O点电势高于零，故B错误；由于静电力方向与x轴平行，故电子速度与合力始终共线，电子一定做直线运动，故C错误。
[6~10题，每题6分]
6.(多选)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有(　　)
A.如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度
B.如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势
C.如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势
D.如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小
答案　BCD
解析　如果虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。
7.(2025·宿州市高二期中)如图所示，有一平行于abc平面的匀强电场(图中未画出)，其中a、b、c三点电势分别为2 V、12 V、6 V，=5 cm，=2 cm，ac和ab的夹角为45°。下列说法正确的是(　　)
A.电子从a点移动到b点的过程中，静电力做负功
B.电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
C.电场强度的方向从c点指向a点
D.电场强度的大小为200 V/m
答案　D
解析　电子从a点移动到b点的过程中，静电力做功为Wab=-eUab>0，静电力做正功，故A错误；电子从a点移动到c点的过程中，静电力做功为Wac=-eUac>0，静电力做正功，电势能减小，故B错误；将ab段均分成5等份，如图所示，由图可得d点与c点电势相同，则cd为一条等势线，电场方向垂直于等势线，沿电场方向电势逐渐降低，又由几何关系可知cd⊥ab，因此电场方向从b点指向a点，故C错误；由题知Uba=φb-φa=10 V，电场强度大小为E==200 V/m，故D正确。
8.(2026·西安市高二检测)如图甲所示，空间内存在平行纸面的匀强电场(图中未画出)，圆上各点和圆心的连线与O1a的夹角记为θ，圆上各点的电势φ与θ的关系图像如图乙所示，已知圆的半径R=1 m，φ1=5 V，φ2=2 V，则该匀强电场的电场强度大小为(　　)
A.1 V/m B.1.5 V/m
C.3 V/m D.2.5 V/m
答案　B
解析　根据沿着电场线方向电势降低最快，结合题图乙可知电场线方向沿aO1方向，该匀强电场的电场强度大小E== V/m=1.5 V/m，故选B。
9.(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系图像如图所示，其中O~x1段是曲线，x1~x2段是平行于x轴的直线，x2~x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是(　　)
A.O~x1电势逐渐升高
B.O~x1段微粒做加速度逐渐增大的减速运动
C.x1~x2段的电场为匀强电场
D.x2~x3段的电势沿x轴正方向均匀降低
答案　AD
解析　电势能Ep=φq，由于微粒带正电，O~x1段电势能变大，所以电势升高，故A正确；Ep-x图像切线斜率绝对值表示静电力大小，当电荷量一定时，可以反映电场强度大小，O~x1段图像切线斜率变小，电场强度变小，静电力减小，加速度逐渐变小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度逐渐减小的减速运动，故B错误；x1~x2段斜率为0，电场强度为零，故C错误；从x2到x3，电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴正方向均匀降低，故D正确。
10.(2026·石家庄市高二检测)如图甲所示，一匀强电场的方向平行于xOy平面，已知O点的电势为12 V。用仪器沿x轴和y轴方向探测各点的电势，得到电势与x轴、y轴坐标的函数关系如图乙所示。平面内M点的坐标为(6 cm，4.5 cm)，N点的坐标为(4.5 cm，6 cm)，下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为7 V/cm，沿OM方向
B.电场强度大小为5 V/cm，沿OM方向
C.电场强度大小为7 V/cm，沿ON方向
D.电场强度大小为5 V/cm，沿ON方向
答案　D
解析　由题图乙可得，匀强电场沿x轴正方向的电场强度大小为Ex= V/cm=3 V/cm，沿y轴正方向的电场强度大小为Ey= V/cm=4 V/cm，所以匀强电场的电场强度大小为E==5 V/cm，设电场强度方向与x轴正方向的夹角为θ，则tan θ==，所以匀强电场的电场强度沿ON方向，故选D。
[8分]
11.(多选)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是(　　)
答案　BD
解析　带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则静电力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；静电力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek-x图像斜率绝对值表示静电力大小，斜率正负代表静电力方向，由题图可知，电场强度先减小后增大，方向一直为正方向，静电力F=qE先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由于仅受静电力作用，E0=Ek+Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。(共55张PPT)
静电场中的功能关系及图像问题
＜专题强化4＞
学习目标
1.能应用动能定理等分析静电场中的功能关系。
2.理解v-t、φ-x、E-x和Ep-x等图像的意义并会应用图像解决电场问题。
内容索引
专题强化练
一、静电场中的功能关系
二、电场中的图像问题
随堂演练
1.静电力做功的计算
一、静电场中的功能关系
2.电场中常见的几种功能关系
(1)静电力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
(2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合=ΔEk，这里的W合指合外力做的功。
(3)只有静电力做功，则带电体的动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk=-ΔEp。
(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是
A.金属块带正电荷
B.金属块的机械能减少12 J
C.金属块克服静电力做功8 J
D.金属块的电势能减少4 J
√
例1
√
在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得WG+W电+Wf=ΔEk，解得W电=-4 J，所以金属块克服静电力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，静电力做负功，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；
在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。
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1.v-t图像
(1)v-t图像的意义：描述电荷在电场中运动速度v随时间t变化的图像。
(2)根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
二、电场中的图像问题
(2025·汕头市高二检测)图甲中直线PQ表示电场中的一条电场线，质量为m、电荷量为-q(q > 0)的带电粒子仅在静电力作用下沿电场线向右运动，经过P点时速度为v0，到达Q点时速度减为零，粒子运动的v-t图像如图乙所示。下列判断正确的是
A.Q点电势高于P点电势
B.P点电场强度小于Q点电场强度
C.P、Q两点间的电势差为
D.粒子在P点的电势能大于在Q点的电势能
√
例2
由题图乙可知，带负电的粒子向右运动的速度减小，故受到向左的静电力，故电场线方向向右，P点电势一定高于Q点电势，故A错误；
由题图乙可知，P处的加速度大于Q处的加速度，由qE=ma可知P处的电场强度大于Q处的电场强度，故B错误；
带电粒子从P点运动到Q点的过程中，由动能定理得-qUPQ=0-m，解得P、Q两点间的电势差为UPQ=，故C正确；
负电荷在电势高的地方电势能小，故粒子在P点的电势能一定小于在Q点的电势能，故D错误。
2.φ-x图像
(1)φ-x图像的意义：反映了电势φ随位置x变化的规律。在φ-x图像中根据纵坐标值可以直接判断各点电势的高低。
(2)φ-x图线的斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的大小；电场强度为零处，其切线的斜率为零。
(3)设电场强度的方向与x轴平行，图像中沿x轴，电势降低的方向即为电场强度方向。图中A点电势高于B点电势，故A、B间电场方向沿x轴正方向，C点电势低于D点电势，故C、D间电场方向沿x轴负方向。
(2025·广州市高二检测)如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，一个带电粒子仅受静电力作用在x=0处由静止释放沿x轴正方向运动，且以一定的速度通过x=x3处，其中x2处电势最高。则下列说法正确的是
A.x2处电场强度最大
B.粒子从x1处运动到x3处静电力做功为零
C.x1到x3电场强度先变大后变小
D.x1和x3两处电场强度方向相同
√
例3
因为φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，可知x2处电场强度为零，选项A错误；
粒子从x1处运动到x3处，x1、x3处两点间电势差为零，可知静电力做功为零，选项B正确；
因为φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，可知 x1到x3电场强度先变小后变大，x1和x3两处电场强度方向相反，选项C、D错误。
如图甲所示，直线AB是电场中的一条电场线，沿与直线AB成 θ=37°的方向建立一维坐标轴Ox，令原点O处电势为零，则沿Ox坐标轴上各点的电势φ与x坐标的关系如图乙所示，P点坐标已标注在图中。下列说法正确的是(cos 37°=0.8)
A.电场方向由B 指向A
B.电场方向沿x 轴正方向
C.原点O处的电场强度大小为2×102 V/m
D.原点O处的电场强度大小为1.6×102 V/m
针对训练
√
由于φ-x图线的切线斜率绝对值表示电场强度大小，斜率不变则电场强度不变，故该电场为匀强电场，由题图乙中沿着x轴正方向电势逐渐降低可知，电场方向由A指向B，故A、B错误；
由题图乙可知该电场的电场强度大小为E== V/m=2×102 V/m，故C正确，D错误。
3.E-x图像
(1)E-x图像的意义：反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。
(2)设x轴正方向为电场强度的正方向，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场强度沿x轴负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
(2025·淮安市高一期末)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E-x关系图像如图所示，已知NA=AO=OB=BP。取O点的电势为零，则
A.A点电势低于B点电势
B.电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小
C.电子由N运动到P的过程静电力先减小后增大
D.N、A两点之间的电势差小于A、O两点之间的电势差
√
例4
电场强度E的方向沿x轴正方向，题图中电场强度都为正值，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，所以A点电势高于B点电势，故A错误；
从N到P电势一直降低，根据电势能的定义可知，电子从N移到P的过程中，电势能一直增大，故B错误；
由题图可知，电场强度先增大后减小，所以电子由N运动到P的过程静电力先增大后减小，故C错误；
由题图可知N、A两点之间的平均电场强度小于A、O两点之间的平均电场强度，由U=Ed可知，N、A两点之间的电势差小于A、O两点之间的电势差，故D正确。
4.Ep-x图像
(1)Ep-x图像的物理意义：反映了电势能Ep随x变化的规律。
(2)图像切线的斜率绝对值表示静电力大小。图像切线斜率为零时静电力为零，该点的电场强度的大小也为零。
(2026·武威市高二检测)一带负电的粒子仅在静电力的作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系图像如图所示，图线刚好是半个周期正弦曲线，下列说法正确的是
A.运动过程中粒子机械能守恒
B.x1、x3处的电场强度相同
C.粒子在x1处的动能小于在x2处的动能
D.x2处的电势小于x3处的电势
√
例5
静电力对粒子做功，粒子机械能不守恒，故A错误；
Ep-x图像的切线斜率绝对值表示静电力大小，结合对称性可知，粒子在x1、x3处受到的静电力大小相等，方向相反，由F=qE知x1、x3处的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；
根据能量守恒可知，粒子的电势能与动能之和不变，由Ep-x图像可知粒子在x2处电势能比在x1处大，故粒子在x1处的动能大于在x2处的动能，故C错误；
由Ep-x图像可知，粒子在x2处的电势能大于在x3处的电势能，根据φ=，由于粒子带负电，则x2处的电势小于x3处的电势，故D正确。
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随堂演练
1.(2026·柳州市高二检测)某电场中，电场强度E沿x轴变化的关系图像如图所示，其中A、B两点电场强度大小为0。若取O点为零电势点，则从A点到B点，电势沿x轴变化的关系图像可能正确的是
√
根据E=可知，φ-x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度E的大小，所以从A→B过程φ-x图像的切线斜率绝对值先增大后减小。故选C。
2.(2026·重庆西南大学附属中学高二检测)一种半导体材料的内部电场中从N点到P点连线上的电势φ随位置x变化的图像如图所示。已知N、P间各点的电场强度方向均平行于x轴，以x轴正方向为电场强度的正方向，则N、P连线上各点的电场强度E与位置x的图像可能为
√
由φ-x图像可知，从N到O点电势逐渐降低，因此电场方向沿x轴正方向，在φ-x图像中，其切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，结合图像可知，从N到O点，电场强度沿x轴正方向逐渐增大；同理，从O到P点，电势逐渐升高，则电场方向沿x轴负方向，且φ-x图像的斜率逐渐减小，说明电场强度逐渐减小，故选A。
3.(2026·上海中学高二期中)某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在静电力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中
A.电势先增大后减小
B.电场强度大小先减小后增大
C.粒子电势能先减小后增大
D.电场强度先向左后向右
√
带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，故A、D错误；
由题图可知，Ek-x图线切线斜率的绝对值表示静电力大小，斜率的绝对值先减小后增大，则电场强度先减小后增大，故B正确；
动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，故C错误。
4.(2026·赤峰市高二检测)如图所示，两点电荷分别固定在O、O'两点，沿x轴方向各点的电势随位置坐标的变化规律如图所示，a、c两点的纵坐标值相同，在b点图像有最低点。下列说法正确的是
A.a、c间电场的方向沿x轴正方向
B.a点的电场强度大于c点的电场强度
C.两点电荷为同种电荷
D.O、O'两点的点电荷所带电荷量大小相等
√
沿电场线方向电势逐渐降低，由a到c电势先降低后升高，可知a、c间电场的方向先沿x轴正方向，后沿x轴负方向，A错误；
因φ-x图像的切线斜率绝对值表示电场强度大小，可知a点的电场强度大于c点的电场强度，B正确；
因b点对应图像切线斜率为零，可知b点电场强度为零，根据=
可知，O'点的点电荷所带电荷量大小大于O点的点电荷所带电荷量大小，D错误；
若两点电荷为同种电荷，则b点处的电场强度不能为零，所以两点电荷为异种电荷，C错误。
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<专题强化练>
电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题　等分法的应用　静电场中的功能关系及图像问题
答案
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对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B D BCD D B
题号 9 10 11
答案 AD D BD
1.若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
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答案
基础强化练
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答案
微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·德阳市高二检测)空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质子运动轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上的两个点，不计质子的重力，下列说法正确的是
A.a点的电场强度比b点大
B.a、b两点电场强度的方向相同
C.质子从a点运动到b点，静电力做正功
D.质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较小
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答案
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答案
等差等势面越密集的地方电场强度越大，故a点的电场强度比b点小，故A错误；
电场线与等势面垂直，且由高等势面指向低等势面，如图为a、b两点电场强度的方向，可知
a、b两点电场强度的方向不同，故B错误；
质子做曲线运动的受力方向指向曲线轨迹的凹侧，受力与电场强度方向相同，质子从a点运动到b点，受力方向与速度方向的夹角一直为锐角，所以静电力做正功，故C正确；
根据Ep=qφ，质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较大，故D错误。
3.(2025·海口市高二期末)如图，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F做功40 J，金属块克服静电力做功10 J，金属块克服摩擦力做功20 J，重力势能改变了30 J，则
A.电场方向水平向左
B.电场方向水平向右
C.在此过程中金属块电势能减少20 J
D.在此过程中金属块机械能增加10 J
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答案
因为不知道带电金属块的电性，所以无法判断电场方向，故A、B错误；克服静电力做功为10 J，则电势能增加10 J，故C错误；
机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功，故ΔE=40 J-10 J-20 J=10 J，故D正确。
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答案
4.(2026·抚顺市高二检测)如图，一匀强电场的电场线(未画出)平行于矩形ABCD所在的平面，LAB=LCD=3L、LAD=LBC=4L，先后将电荷量为+q(q>0)、-q和+2q的点电荷单独放在B点、C点和D点时，电势能均为Ep(Ep>0)，则该匀强电场的电场强度大小为
A. B.
C. D.
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答案
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答案
根据题意可知，B点、C点和D点的电势分别为φB=，φC=-，φD=，如图所示，BC边中点M的电势为φM==0，设N点为DC的三等分点，N点电势为0，连接MN，MN为一条等势线，过C点作MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向指向右下方且与BC边成45°角，电场强度的大小为E==，故选B。
5.(2026·福州市高二检测)空间存在一沿x轴方向的静电场，电场强度E随x变化的关系图像如图所示，图线关于坐标原点对称，A、B是x轴上关于原点对称的两点，以向右为电场强度的正方向。下列说法中正确的是
A.电子在A、B两点的电势能不相等
B.取无穷远处电势为零，则O点处电势为零
C.电子从A点由静止释放后的运动轨迹可能是曲线
D.电子在A、B两点的加速度方向相反
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答案
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由题意可知，x<0区域，电场强度方向向左，x>0区域，电场强度方向向右，电子从A移动到B过程，受到的静电力先向右后向左，即静电力先做正功后做负功，结合对称性可知，静电力所做总功为零，故电子在A、B两点的电势能相等，在A、B两点的加速度方向相反，A错误，D正确；
x<0区域，电场强度向左，x>0区域，电场强度向右，沿电场线方向电势降低，取无穷远处电势为零，故O点电势高于零，故B错误；
由于静电力方向与x轴平行，故电子速度与合力始终共线，电子一定做直线运动，故C错误。
6.(多选)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有
A.如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的
　电场强度
B.如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势
C.如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势
D.如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小
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能力综合练
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答案
如果虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；
如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；
如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；
如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。
7.(2025·宿州市高二期中)如图所示，有一平行于abc平面的匀强电场(图中未画出)，其中a、b、c三点电势分别为2 V、12 V、6 V，=5 cm，=2 cm，ac和ab的夹角为45°。下列说法正确的是
A.电子从a点移动到b点的过程中，静电力做负功
B.电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
C.电场强度的方向从c点指向a点
D.电场强度的大小为200 V/m
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答案
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电子从a点移动到b点的过程中，静电力做功为Wab=-eUab
>0，静电力做正功，故A错误；
电子从a点移动到c点的过程中，静电力做功为Wac=-eUac
>0，静电力做正功，电势能减小，故B错误；
将ab段均分成5等份，如图所示，由图可得d点与c点电
势相同，则cd为一条等势线，电场方向垂直于等势线，沿电场方向电势逐渐降低，又由几何关系可知cd⊥ab，因此电场方向从b点指向a点，故C错误；
由题知Uba=φb-φa=10 V，电场强度大小为E==200 V/m，故D正确。
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8.(2026·西安市高二检测)如图甲所示，空间内存在平行纸面的匀强电场(图中未画出)，圆上各点和圆心的连线与O1a的夹角记为θ，圆上各点的电势φ与θ的关系图像如图乙所示，已知圆的半径R=1 m，φ1=5 V，φ2=2 V，则该匀强电场的电场强度大小为
A.1 V/m
B.1.5 V/m
C.3 V/m
D.2.5 V/m
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根据沿着电场线方向电势降低最快，结合题图乙可知电场线方向沿aO1方向，该匀强电场的电场强度大小E== V/m=1.5 V/m，故选B。
9.(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系图像如图所示，其中O~x1段是曲线，x1~x2段是平行于x轴的直线，x2~x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是
A.O~x1电势逐渐升高
B.O~x1段微粒做加速度逐渐增大的减速运动
C.x1~x2段的电场为匀强电场
D.x2~x3段的电势沿x轴正方向均匀降低
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电势能Ep=φq，由于微粒带正电，O~x1段电势能变大，所以电势升高，故A正确；
Ep-x图像切线斜率绝对值表示静电力大小，当电荷量一定时，可以反映电场强度大小，O~x1段图像切线斜率变小，电场强度变小，静电力减小，加速度逐渐变小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度逐渐减小的减速运动，故B错误；
x1~x2段斜率为0，电场强度为零，故C错误；
从x2到x3，电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴正方向均匀降低，故D正确。
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答案
10.(2026·石家庄市高二检测)如图甲所示，一匀强电场的方向平行于xOy平面，已知O点的电势为12 V。用仪器沿x轴和y轴方向探测各点的电势，得到电势与x轴、y轴坐标的函数关系如图乙所示。平面内M点的坐标为(6 cm，4.5 cm)，N点的坐标为(4.5 cm，6 cm)，下列说法正确的是
A.电场强度大小为7 V/cm，沿OM方向
B.电场强度大小为5 V/cm，沿OM方向
C.电场强度大小为7 V/cm，沿ON方向
D.电场强度大小为5 V/cm，沿ON方向
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由题图乙可得，匀强电场沿x轴正方向的电场强度大小为Ex= V/cm=　3 V/cm，沿y轴正方向的电场强度大小为Ey= V/cm=4 V/cm，所以匀强电场的电场强度大小为E==5 V/cm，设电场强度方向与x轴正方向的夹角为θ，则tan θ==，所以匀强电场的电场强度沿ON方向，故选D。
11.(多选)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是
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尖子生选练
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带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则静电力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；
静电力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；
由Ek-x图像斜率绝对值表示静电力大小，斜率正负代表静电力方向，由题图可知，电场强度先减小后增大，方向一直为正方向，静电力F=qE先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；
由于仅受静电力作用，E0=Ek+Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。
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