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专题强化6　带电粒子在电场和重力场中的运动
[学习目标]　1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在电场和重力场中的运动问题(重难点)。2.会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题(重难点)。
一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动
例1　(1)如图甲，一带电液滴沿直线从b点运动到d点，bd与水平面成30°角，匀强电场方向竖直向下，液滴的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g，则液滴带　　　　电(填“正”或“负”)，电场强度E=，液滴做　　　　　　运动。
(2)如图乙，若其他条件不变，电场方向　　　　，电场强度为　　　　，液滴做　　　　运动，加速度大小a=　　　。
答案　(1)负　匀速直线　(2)向左　　匀加速直线　2g
　带电粒子在电场中做直线运动的条件
不可忽略重力的带电粒子(如油滴、小球等)在匀强电场中做直线运动时，重力与静电力的合力为恒力。
(1)若合力的方向与运动方向在同一条直线上，带电粒子做匀变速直线运动。
(2)合力为0，带电粒子做匀速直线运动，此种情况下，电场通常为竖直方向。
二、带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
例2　在水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB=BC，如图所示。重力加速度为g，由此可知小球带　　　　(填“正”或“负”)电，小球从A到B与从B到C的运动时间　　　　(填“相等”或“不相等”)，静电力大小为　　　　，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小　　　　(填“相等”或“不相等”)。
答案　负　相等　2mg　相等
解析　由题意可知，小球受到的静电力方向向上，与电场方向相反，所以小球带负电，两个运动过程水平方向的位移相等，所以运动时间也相等，在竖直方向有h=gt2，h=×t2，解得F=2mg，速度变化量等于加速度与时间的乘积，即Δv=at，结合以上的分析可得，AB过程Δv=gt，BC过程|Δv|=|·t|=gt，故速度变化量的大小相等。
　处理带电粒子在电场和重力场中“抛体”运动的方法
1.明确研究对象并对其进行受力分析。
2.将运动正交分解，分方向进行分析，把曲线运动转化为分方向的直线运动，利用牛顿运动定律、运动学公式求解。
3.涉及功和能量问题可利用功能关系和动能定理处理。
(1)功能关系：静电力做的功等于电势能的减少量，W电=Ep1-Ep2。
(2)动能定理：合力做的功等于动能的变化量，W=Ek2-Ek1。
三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
例3　将光滑绝缘圆轨道置于竖直面内，一带正电、质量为m的小球能在圆轨道内完成完整的圆周运动，圆轨道的圆心为O。重力加速度为g，轨道半径为R。
(1)在图甲中作图确定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
(2)若将此轨道置于竖直向上匀强电场中，电场强度大小为E=。
①小球受到重力与静电力的合力大小为　　　　，方向为　　　　。
②在图乙中作图确定小球速度最大时所处的位置C及小球速度最小时所处的位置D。
③若小球恰好完成圆周运动，则vD=　　　　，vC=　　　　。
(3)若将此轨道置于水平向右的电场中，电场强度大小为E=，tan 53°=。
①小球所受重力与静电力的合力大小为　　　　，方向为　　　　　。
②在图丙中作图确定小球速度最大时所处的位置M和速度最小时所处的位置N。
③若小球恰好完成圆周运动，则vN=　　　　，vM=　　　　。
答案　(1)见解析图(a)　(2)①mg　竖直向上
②见解析图(b)　③　　(3)①mg
与水平方向成53°角斜向右下方　②见解析图(c)　③　
解析　(1)
(2)①F合=Eq-mg=mg，方向竖直向上
②小球速度最大和最小时所处位置如图(b)
③在D点qE-mg=m，得vD=，
从D→C的过程中(qE-mg)·2R=m-m
得vC=。
(3)①如图(d)所示，重力与静电力的合力F合大小为mg，方向与水平方向成53°角斜向右下方。
②过圆心O作与F合方向一致的直线，交圆周于M、N两点，如图(c)。
③在N点F合=mg=m
得vN=
从N→M的过程中，F合·2R=m-m
得vM=。
　解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
②物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
1.(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子(　　)
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
答案　BD
解析　根据题意可知，粒子做直线运动，则静电力与重力的合力与速度方向反向，如图所示，粒子做匀减速直线运动，A错误，D正确；由A选项分析可知，静电力做负功，则电势能增加，动能减小，C错误，B正确。
2.(2025·上海市青浦高级中学高二检测)如图所示，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电的小球，从P点以相同的初速度垂直电场方向进入匀强电场E中，它们分别落到A、B、C三点，则可判断(　　)
A.三个小球到达正极板时的动能关系是EkA>EkB>EkC
B.三个小球在电场中运动的时间tA=tB=tC
C.三个小球在电场中运动的加速度关系是aC>aB>aA
D.落到A点的小球带负电，落到B点的小球不带电
答案　C
解析　在平行金属板间不带电小球、带正电小球和带负电小球的受力如图所示。由图可知不带电小球做平抛运动，a1=g，带正电小球做类平抛运动，a2=g，则a3>a1>a2，由于竖直方向位移相等，且初速度相同，则aC>aB>aA，所以落到A点的是带正电小球；落到B点的是不带电小球，落到C点的是带负电小球，tA>tB>tC，选项C正确，B、D错误；根据动能定理，三小球到达正极板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功，由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G+F，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G-F，做功最少，动能最小，即EkA3.(2025·青岛市高二期中)在竖直面内有一水平向右的匀强电场，电场强度为E=，g为重力加速度，电场内有一半径为R的绝缘光滑圆形轨道，一质量为m、带电荷量为+q的圆环套在轨道上，在A点以v0的速度运动时，恰好能做一个完整的圆周运动，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是(　　)
A.运动到C点时的速度为
B.圆环在B点时机械能最小
C.v0=
D.若将圆环无初速度放在圆环和圆心连线与竖直方向成53°角的位置，则圆环可以静止在此处
答案　C
解析　圆环受到的静电力F=，重力与静电力的合力大小F合==mg，方向沿ON，如图所示，tan θ=，θ=37°，若将圆环无初速度放在图中M、N点位置时，所受合力为0，能处于静止状态， 此时圆环和圆心连线与竖直方向成37°，D错误；“圆环套在轨道上”属于有支撑的模型，当圆环从A点以v0的速度运动时，恰好能做一个完整的圆周运动，即圆环到达等效最高点M时，vM=0，从A运动到M的过程中，根据动能定理可得-mgR(1+cos θ)-FRsin θ=0-m，从A运动到C的过程中，根据动能定理可得 -2mgR=m-m，解得 v0==，vC==，A错误，C正确；圆环运动到D点时，静电力做负功最多，机械能最小，B错误。
4.如图所示，光滑绝缘水平地面与一竖直固定、半径为R的光滑半圆弧绝缘轨道相切于B点，整个区域存在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场。从地面上与B点距离为L的A点，由静止释放一电荷量为q、质量为m的带正电小球。已知重力加速度大小为g，在小球沿轨道运动的过程中，求：
(1)小球到达B点时对轨道的压力大小FN。
(2)小球速度最大时的位置到B点的水平距离x。
答案　(1)+mg　(2)
解析　(1)小球由静止开始从A点运动到B点的过程中，根据动能定理有qEL=m，小球在B点开始做圆周运动，在竖直方向上，根据牛顿第二定律有F-mg=m，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为FN=F，联立解得FN=+mg。
(2)设小球在轨道上速度最大时，小球与轨道圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，小球受到的重力和静电力的合力为等效重力场中的“等效重力”，则小球在等效最低点时，速度最大，则tan θ=，此时x=Rsin θ，联立解得x=。
专题强化练　带电粒子在交变电场中和复合场中的运动
[分值：52分]
　[1、2题，每题4分]
1.(多选)如图所示，某一空间为真空，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有初速度为v0的带电微粒，恰能沿图示虚线由A点向B点做直线运动。下列说法正确的是(　　)
A.微粒只能带负电荷
B.微粒可能做匀加速直线运动
C.仅改变初速度的方向(与原速度不共线)，微粒将做曲线运动
D.运动过程中微粒电势能减小
答案　AC
解析　由题意可知，重力方向竖直向下，静电力方向只能水平向左，故微粒只有带负电荷才能做直线运动且一定做匀减速直线运动，故A正确，B错误；合力方向一定，仅改变初速度方向(与原速度不共线)，则初速度方向和合力方向不共线，将做曲线运动，故C正确；静电力方向与运动方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电势能变大，故D错误。
2.(多选)(2026·新乡市高二检测)如图所示，用绝缘细线连接一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　　)
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
答案　AC
解析　当重力大小等于静电力大小时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa=qφa可知，当小球运动到最高点a时，带负电小球的电势能一定最小，故C正确。
3.(12分)(2026·龙岩市高二期中)如图所示，ABC是位于竖直平面内、半径R=0.5 m的半圆弧的光滑绝缘轨道，CA为其竖直直径，B为半圆轨道的中点，A与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度大小E=5×103 N/C。有一质量为m=0.1 kg、带电荷量为q=+8×10-5 C的小滑块(可视为点电荷)，若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)(3分)若小滑块从水平轨道某位置由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点C，则到达C处的速度是多大？
(2)(4分)按第(1)问中位置释放，则滑块通过B点时对轨道的压力是多大？
(3)(5分)若小滑块从半圆轨道内侧B点由静止释放，小滑块在水平轨道上的总路程为多少？
答案　(1) m/s　(2)4.2 N　(3)2 m
解析　(1)恰能运动到半圆轨道的最高点C，在C处轨道与滑块间没有弹力，根据牛顿第二定律有mg=，可得vC= m/s。
(2)小滑块从B运动到C，根据动能定理可得 -mgR-qER=m-m
滑块通过B点时，静电力F=qE，轨道对滑块的支持力为FN，根据牛顿第二定律有FN-F=m
联立可得FN=4.2 N，由牛顿第三定律可知滑块通过B点时对轨道的压力大小为FN'=4.2 N。
(3)如图所示，设滑块在水平轨道上所受摩擦力大小为Ff=μmg=0.15 N，
F=qE>Ff，在水平轨道上无法静止，最终将以等效最低点D为中心，在A与A'间往复运动， vA=0，滑块最终在圆弧轨道的AA'部分上做往复运动，则mgR-FR=μmg·s，解得s=2 m。
[4、5题，每题6分]
4.(多选)(2026·安徽省部分学校高二检测)如图所示，半径为R的光滑绝缘半圆形轨道固定在竖直平面内，下端与光滑绝缘水平面相切于B点，整个空间存在水平向右的匀强电场。质量为m的带正电小球从A点以某一初速度向左运动，沿轨道运动并从C点飞出，经过P点时恰好对轨道无压力。已知轨道上M点与圆心O等高，OBC共线，OP与竖直方向的夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.小球所受静电力大小为mg
B.小球经过P点的速度大小为
C.小球经过轨道上C点时的加速度大小为g
D.小球在M点受到的弹力大小为3(-1)mg
答案　AD
解析　因小球经过P点时恰好对轨道无压力，故此时小球所需的向心力恰好由重力和静电力的合力提供，即重力与静电力的合力沿PO方向，因OP与竖直方向的夹角为45°，故小球所受静电力大小等于重力mg，故A正确；小球所受重力和静电力的合力大小为=mg，小球经过P点时有mg=m，解得vP=，故B错误；P点是小球圆周运动的等效最高点，小球经过C点时轨道对小球一定有支持力，故小球经过C点时所受合力一定大于mg，其加速度一定大于g，故C错误；小球由M点运动到P点的过程，由动能定理得-mgR=m-m，小球经过M点时有FN+F静=m，联立解得FN=3(-1)mg，故D正确。
5.(多选)(2025·梅州市高二检测)如图所示，MPQO为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，ACB为光滑固定的半圆形轨道，轨道半径为R，A、B为水平直径的两个端点，AC为圆弧。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，从A点正上方高为H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，重力加速度为g，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A.小球不一定能从B点离开轨道
B.小球到达C点的速度可能为零
C.若Eq=mg，且H大于R时，小球能从B点离开且上升的高度为H-
D.小球在AC部分可能做匀速圆周运动
答案　ACD
解析　小球进入半圆轨道后，受到竖直向下的重力、竖直向上的静电力和沿半径方向的轨道的弹力。静电力做负功，重力做正功，由于题中没有给出H与R、E、m的关系，所以小球不一定能从B点离开轨道，故A正确；若小球到达C点的速度为零，则静电力必定大于重力，则小球不可能沿半圆轨道运动，所以小球到达C点的速度不可能为零，故B错误；若Eq=mg，且H大于R时，设小球从B点离开上升的高度为h，对小球整个运动过程，由动能定理得mg(H-h)-qER=0，解得h=H-，故C正确；若重力大小等于静电力大小，小球进入轨道，靠弹力提供向心力，小球在AC部分可能做匀速圆周运动，故D正确。
6.(12分)(2025·青岛第二中学高一期末)如图甲，两平行金属板相距为d=0.1 m，加上如图乙的方波形电压，电压的最大值为U=1 000 V，周期为T=10-3 s。现有一离子束，其中每个离子的质量为m=10-12 kg，电荷量为q=1.6×10-12 C，从与两板等距处的O点沿着与板平行的中央线OO'连续地射入两板间的电场中，O'点为中央线与荧光屏的交点。设离子通过平行金属板所需的时间恰为T=10-3 s(与电压变化周期相同)，且所有离子都能通过两板间的空间打在平行金属板右端的荧光屏上，金属板与荧光屏间隙忽略不计。试求：离子击中荧光屏上的位置距离O'的最大距离和最小距离。不计离子重力及离子间相互作用力。
答案　6 mm　2 mm
解析　由题意可知电场强度大小E==104 V/m，静电力大小F=Eq=1.6×10-8 N，离子加速度大小a==1.6×104 m/s2
若离子从t=0时刻射入平行金属板间，0~时间内的偏转位移y1=a=2 mm，t=时刻垂直金属板方向速度大小vy=a·=8 m/s，~T时间内的偏转位移y2=vy·=4 mm，故最大偏转位移大小ymax=y1+y2=6 mm，最小偏转位移大小ymin=y1=2 mm。
[8分]
7.(多选)如图甲所示，质量为m、带电荷量为+q的小球(可视为质点)用绝缘轻绳悬挂于O点，现在该空间加上一水平向右的匀强电场，小球从静止开始运动，从此刻开始的一段时间内，绳子拉力大小FT随绳子相对初始位置转过的角度θ变化的关系曲线如图乙所示。重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球运动到最高点时机械能最大
C.θ的最大值为
D.小球运动过程中，轻绳拉力的最大值为4mg
答案　ACD
解析　由题图乙可知，当θ=60°时绳子拉力最大，此时小球速度最大，可知此时小球到达等效最低点，可得如图所示的受力分析，由此可得qE=mgtan 60°，即E=，故A正确；小球运动具有对称性，可知小球运动过程中的最高点为图中位置c，可知θ的最大值为120°，运动过程中小球的电势能和机械能相互转化，当小球运动到绳子水平时其电势能最小，此位置处小球机械能最大，故B错误，C正确；由受力分析可知小球重力与静电力的合力大小恒为F合=2mg
方向始终平行于Ob方向，设绳长为L，从a到b，根据动能定理可得2mgL(1-cos 60°)=mv2
在b点时有Fm-2mg=m
解得Fm=4mg，故D正确。(共52张PPT)
带电粒子在电场和重力场中的运动
＜专题强化6＞
学习目标
1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在电场和重力场中的运动问题(重难点)。
2.会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题(重难点)。
内容索引
一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动
二、带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
专题强化练
随堂演练
一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动
(1)如图甲，一带电液滴沿直线从b点运动到d点，bd与水平面成30°角，匀强电场方向竖直向下，液滴的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g，则液滴带　 　电(填“正”或“负”)，电场强度E=，液滴做
　　　 　运动。
例1
负
匀速直线
(2)如图乙，若其他条件不变，电场方向　　 ，电场强度为　　　，液滴做　　　 　运动，加速度大小a=　　　。
向左
　
匀加速直线
2g
带电粒子在电场中做直线运动的条件
不可忽略重力的带电粒子(如油滴、小球等)在匀强电场中做直线运动时，重力与静电力的合力为恒力。
(1)若合力的方向与运动方向在同一条直线上，带电粒子做匀变速直线运动。
(2)合力为0，带电粒子做匀速直线运动，此种情况下，电场通常为竖直方向。
总结提升
返回
二、带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
在水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB=BC，如图所示。重力加速度为g，由此可知小球带　 (填“正”或“负”)电，小球从A到B与从B到C的运动时间　　(填“相等”或“不相等”)，静电力大小为　　，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小　　(填“相等”或“不相等”)。
例2
负
相等
2mg
相等
由题意可知，小球受到的静电力方向向上，与电场方向相反，所以小球带负电，两个运动过程水平方向的位移相等，所以运动时间也相等，在竖直方向有h=gt2，h=×t2，解得F=2mg，速度变化量等于加速度与时间的乘积，即Δv=at，结合以上的分析可得，AB过程Δv=gt，BC过程|Δv|=|·t|=gt，故速度变化量的大小相等。
处理带电粒子在电场和重力场中“抛体”运动的方法
1.明确研究对象并对其进行受力分析。
2.将运动正交分解，分方向进行分析，把曲线运动转化为分方向的直线运动，利用牛顿运动定律、运动学公式求解。
3.涉及功和能量问题可利用功能关系和动能定理处理。
(1)功能关系：静电力做的功等于电势能的减少量，W电=Ep1-Ep2。
(2)动能定理：合力做的功等于动能的变化量，W=Ek2-Ek1。
总结提升
返回
三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
将光滑绝缘圆轨道置于竖直面内，一带正电、质量为m的小球能在圆轨道内完成完整的圆周运动，圆轨道的圆心为O。重力加速度为g，轨道半径为R。
(1)在图甲中作图确定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
例3
答案　见解析图(a)
(2)若将此轨道置于竖直向上匀强电场中，电场强度大小为E=。
①小球受到重力与静电力的合力大小为　　　，方向为　　　　。
F合=Eq-mg=mg，方向竖直向上
mg
竖直向上
②在图乙中作图确定小球速度最大时所处的位置C及小球速度最小时所处的位置D。
答案　见解析图(b)
小球速度最大和最小时所处位置如图(b)
③若小球恰好完成圆周运动，则vD=　　　　，vC=　　　　。
在D点qE-mg=m，得vD=，
从D→C的过程中(qE-mg)·2R=m-m
得vC=。
　
　
(3)若将此轨道置于水平向右的电场中，电场强度大小为E=，tan 53°
=。
①小球所受重力与静电力的合力大小为　　　，方向为_______________
　　　　 　。
mg
与水平方向成
53°角斜向右下方
如图(d)所示，重力与静电力的合力F合大小为mg，方向与水平方向成53°角斜向右下方。
②在图丙中作图确定小球速度最大时所处的位置M和速度最小时所处的位置N。
答案　见解析图(c)
过圆心O作与F合方向一致的直线，交圆周于M、N两点，如图(c)。
③若小球恰好完成圆周运动，则vN=　　　，vM=　　 　。
在N点F合=mg=m
得vN=
从N→M的过程中，F合·2R=m-m
得vM=。
　
解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
总结提升
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
总结提升
返回
②物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
随堂演练
1.(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
√
√
根据题意可知，粒子做直线运动，则静电力与重力的合力与速度方向反向，如图所示，粒子做匀减速直线运动，A错误，D正确；
由A选项分析可知，静电力做负功，则电势能增加，动能减小，C错误，B正确。
2.(2025·上海市青浦高级中学高二检测)如图所示，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电的小球，从P点以相同的初速度垂直电场方向进入匀强电场E中，它们分别落到A、B、C三点，则可判断
A.三个小球到达正极板时的动能关系是EkA>EkB>EkC
B.三个小球在电场中运动的时间tA=tB=tC
C.三个小球在电场中运动的加速度关系是aC>aB>aA
D.落到A点的小球带负电，落到B点的小球不带电
√
在平行金属板间不带电小球、带正电小球和带负电小球的受力如图所示。由图可知不带电小球做平抛运动，a1=g，带正电小球做类平抛运动，a2=g，
则a3>a1>a2，由于竖直方向位移相等，且初速度相同，则aC>aB>aA，所以落到A点的是带正电小球；落到B点的是不带电小球，落到C点的是带负电小球，tA>tB>tC，选项C正确，B、D错误；
根据动能定理，三小球到达正极板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功，由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G+F，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G-F，做功最少，动能最小，即EkA3.(2025·青岛市高二期中)在竖直面内有一水平向右的匀强电场，电场强度为E=，g为重力加速度，电场内有一半径为R的绝缘光滑圆形轨道，一质量为m、带电荷量为+q的圆环套在轨道上，在A点以v0的速度运动时，恰好能做一个完整的圆周运动，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是
A.运动到C点时的速度为
B.圆环在B点时机械能最小
C.v0=
D.若将圆环无初速度放在圆环和圆心连线与竖直方
　向成53°角的位置，则圆环可以静止在此处
√
圆环受到的静电力F=，重力与静电力的合力大
小F合==mg，方向沿ON，如图所示，
tan θ=，θ=37°，若将圆环无初速度放在图中M、
N点位置时，所受合力为0，能处于静止状态， 此
时圆环和圆心连线与竖直方向成37°，D错误；
“圆环套在轨道上”属于有支撑的模型，当圆环从A点以v0的速度运动时，恰好能做一个完整的圆周运动，即圆环到达等效最高点M时，vM=0，从A运动到M的过程中，根据动能定理可得-mgR(1+cos θ)　
-FRsin θ=0-m，从A运动到C的过程中，根据动
能定理可得-2mgR=m-m，解得 v0==，vC==
，A错误，C正确；
圆环运动到D点时，静电力做负功最多，机械能最小，B错误。
4.如图所示，光滑绝缘水平地面与一竖直固定、半径为R的光滑半圆弧绝缘轨道相切于B点，整个区域存在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场。从地面上与B点距离为L的A点，由静止释放一电荷量为q、质量为m的带正电小球。已知重力加速度大小为g，在小球沿轨道运动的过程中，求：
(1)小球到达B点时对轨道的压力大小FN。
答案　+mg
小球由静止开始从A点运动到B点的过程中，根据动能定理有qEL=　m，小球在B点开始做圆周运动，在竖直方向上，根据牛顿第二定律有F-mg=m，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为FN=F，联立解得FN=+mg。
(2)小球速度最大时的位置到B点的水平距离x。
答案　
设小球在轨道上速度最大时，小球与轨道圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，小球受到的重力和静电力的合力为等效重力场中的“等效重力”，
则小球在等效最低点时，速度最大，则tan θ=，此时x=Rsin θ，联立解得x=。
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<专题强化练>
带电粒子在交变电场中和复合场中的运动
答案
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对一对
题号 1 2 3 4
答案 AC AC AD
题号 5 6 7 答案 ACD 6 mm　2 mm ACD 1.(多选)如图所示，某一空间为真空，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有初速度为v0的带电微粒，恰能沿图示虚线由A点向B点做直线运动。下列说法正确的是
A.微粒只能带负电荷
B.微粒可能做匀加速直线运动
C.仅改变初速度的方向(与原速度不共线)，微粒将做曲线运动
D.运动过程中微粒电势能减小
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答案
基础强化练
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答案
由题意可知，重力方向竖直向下，静电力方向只能水平向左，故微粒只有带负电荷才能做直线运动且一定做匀减速直线运动，故A正确，B错误；
合力方向一定，仅改变初速度方向(与原速度不共线)，则初速度方向和合力方向不共线，将做曲线运动，故C正确；
静电力方向与运动方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电势能变大，故D错误。
2.(多选)(2026·新乡市高二检测)如图所示，用绝缘细线连接一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
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答案
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答案
当重力大小等于静电力大小时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；
当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；
根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa=qφa可知，当小球运动到最高点a时，带负电小球的电势能一定最小，故C正确。
3.(2026·龙岩市高二期中)如图所示，ABC是位于竖直平面内、半径R=0.5 m的半圆弧的光滑绝缘轨道，CA为其竖直直径，B为半圆轨道的中点，A与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度大小E=5×103 N/C。有一质量为m=0.1 kg、带电荷量为q=+8×10-5 C的小滑块(可视为点电荷)，若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g取10 m/s2。
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答案
(1)若小滑块从水平轨道某位置由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点C，则到达C处的速度是多大？
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答案
答案　 m/s
恰能运动到半圆轨道的最高点C，在C处轨道与滑块间没有弹力，根据牛顿第二定律有mg=，可得vC= m/s。
(2)按第(1)问中位置释放，则滑块通过B点时对轨道的压力是多大？
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答案
答案　4.2 N
小滑块从B运动到C，根据动能定理可得 -mgR-qER=m-m
滑块通过B点时，静电力F=qE，轨道对滑块的支持力为FN，根据牛顿第二定律有FN-F=m
联立可得FN=4.2 N，由牛顿第三定律可知滑块通过B点时对轨道的压力大小为FN'=4.2 N。
(3)若小滑块从半圆轨道内侧B点由静止释放，小滑块在水平轨道上的总路程为多少？
答案　2 m
如图所示，设滑块在水平轨道上所受摩擦力大小为Ff=μmg=0.15 N，
F=qE>Ff，在水平轨道上无法静止，最终将以等效最低点D为中心，在A与A'间往复运动，
vA=0，滑块最终在圆弧轨道的AA'部分上做往复运动，则mgR-FR= μmg·s，解得s=2 m。
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答案
4.(多选)(2026·安徽省部分学校高二检测)如图所示，半径为R的光滑绝缘半圆形轨道固定在竖直平面内，下端与光滑绝缘水平面相切于B点，整个空间存在水平向右的匀强电场。质量为m的带正电小球从A点以某一初速度向左运动，沿轨道运动并从C点飞出，经过P点时恰好对轨道无压力。已知轨道上M点与圆心O等高，OBC共线，OP与竖直方向的夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.小球所受静电力大小为mg
B.小球经过P点的速度大小为
C.小球经过轨道上C点时的加速度大小为g
D.小球在M点受到的弹力大小为3(-1)mg
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答案
能力综合练
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答案
因小球经过P点时恰好对轨道无压力，故此时小球所需的向心力恰好由重力和静电力的合力提供，即重力与静电力的合力沿PO方向，因OP与竖直方向的夹角为45°，故小球所受静电力大小等于重力mg，故A正确；
小球所受重力和静电力的合力大小为=mg，小球经过P点时有mg=m，解得vP=，故B错误；
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答案
P点是小球圆周运动的等效最高点，小球经过C点时轨道对小球一定有支持力，故小球经过C点时所受合力一定大于mg，其加速度一定大于g，故C错误；
小球由M点运动到P点的过程，由动能定理得-mgR=
m-m，小球经过M点时有FN+F静=m，联立解得FN=3(-1)mg，故D正确。
5.(多选)(2025·梅州市高二检测)如图所示，MPQO为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，ACB为光滑固定的半圆形轨道，轨道半径为R，A、B为水平直径的两个端点，AC为圆弧。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，从A点正上方高为H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，重力加速度为g，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是
A.小球不一定能从B点离开轨道
B.小球到达C点的速度可能为零
C.若Eq=mg，且H大于R时，小球能从
　B点离开且上升的高度为H-
D.小球在AC部分可能做匀速圆周运动
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小球进入半圆轨道后，受到竖直向下的重力、竖直向上的静电力和沿半径方向的轨道的弹力。静电力做负功，重力做正功，由于题中没有给出H与R、E、m的关系，所以小球不一定能从B点离开轨道，故A正确；
若小球到达C点的速度为零，则静电力必定大于重力，则小球不可能沿半圆轨道运动，所以小球到达C点的速度不可能为零，故B错误；
若Eq=mg，且H大于R时，设小球从B点离开上升的高度为h，对小球整个运动过程，由动能定理得mg(H-h)-qER=0，解得h=H-，故C正确；
若重力大小等于静电力大小，小球进入轨道，靠弹力提供向心力，小球在AC部分可能做匀速圆周运动，故D正确。
6.(2025·青岛第二中学高一期末)如图甲，两平行金属板相距为d=0.1 m，加上如图乙的方波形电压，电压的最大值为U=
1 000 V，周期为T=10-3 s。现有一离子束，其中每个离子的质量为m=10-12 kg，电荷
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答案　6 mm　2 mm
量为q=1.6×10-12 C，从与两板等距处的O点沿着与板平行的中央线OO'连续地射入两板间的电场中，O'点为中央线与荧光屏的交点。设离子通过平行金属板所需的时间恰为T=10-3 s(与电压变化周期相同)，且所有离子都能通过两板间的空间打在平行金属板右端的荧光屏上，金属板与荧光屏间隙忽略不计。试求：离子击中荧光屏上的位置距离O'的最大距离和最小距离。不计离子重力及离子间相互作用力。
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答案
由题意可知电场强度大小E==104 V/m，静电力大小F=Eq=1.6×10-8 N，离子加速度大小a==1.6×104 m/s2
若离子从t=0时刻射入平行金属板间，0~时间内的偏转位移y1=a=
2 mm，t=时刻垂直金属板方向速度大小vy=a·=8 m/s，~T时间内的偏转位移y2=vy·=4 mm，故最大偏转位移大小ymax=y1+y2=6 mm，最小偏转位移大小ymin=y1=2 mm。
7.(多选)如图甲所示，质量为m、带电荷量为+q的小球(可视为质点)用绝缘轻绳悬挂于O点，现在该空间加上一水平向右的匀强电场，小球从静止开始运动，从此刻开始的一段时间内，绳子拉力大小FT随绳子相对初始位置转过的角度θ变化的关系曲线如图乙所示。重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球运动到最高点时机械能最大
C.θ的最大值为
D.小球运动过程中，轻绳拉力的最大值为4mg
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尖子生选练
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答案
由题图乙可知，当θ=60°时绳子拉力最大，此时小球速度最大，可知此时小球到达等效最低点，可得如图所示的受力分析，由此可得qE=mgtan 60°，即
E=，故A正确；
小球运动具有对称性，可知小球运动过程中的最高点为图中位置c，可知θ的最大值为120°，运动过程中小球的电势能和机械能相互转化，当小球运动到绳子水平时其电势能最小，此位置处小球机械能最大，故B错误，C正确；
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答案
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由受力分析可知小球重力与静电力的合力大小恒为F合=2mg
方向始终平行于Ob方向，设绳长为L，从a到b，根据动能定理可得2mgL(1-cos 60°)=mv2
在b点时有Fm-2mg=m
解得Fm=4mg，故D正确。
本课结束
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