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专题强化1　动量定理的应用
[学习目标]　1.会应用动量定理解决多过程问题(重点)。2.会应用动量定理处理多物体组成的系统的问题(重点)。3.会应用动量定理处理连续质量变化的问题(难点)。
一、用动量定理处理多过程问题
在水平恒力F=30 N的作用下，质量m=5 kg的物体由静止开始沿水平面运动。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，若F作用6 s后撤去，撤去F后物体还能向前运动多长时间才停止？应用动量定理分别从分阶段及全过程两个角度进行求解(g取10 m/s2)。
答案　方法一　用动量定理，分阶段求解。
选物体为研究对象，对于撤去F前物体做匀加速运动的过程，初状态速度为零，末状态速度为v。取水平力F的方向为正方向，根据动量定理有(F-μmg)t1=mv-0，
对于撤去F后物体做匀减速运动的过程，初状态速度为v，末状态速度为零。根据动量定理有-μmgt2=0-mv，
联立解得t2=t1=×6 s=12 s。
方法二　用动量定理，研究全过程。
选物体为研究对象，研究整个运动过程，这个过程的初、末状态物体的速度都等于零。
取水平力F的方向为正方向，根据动量定理得
Ft1-μmg(t1+t2)=0
解得t2=12 s。
如果物体在不同阶段受力不同，即合外力不恒定，此情况下应用动量定理时，一般采取以下两种方法：
(1)分段处理法：找出每一段合外力的冲量I1、I2、…In，这些冲量的矢量和即外力的合冲量I=I1+I2+…+In，根据动量定理I=p'-p求解，分段处理时，需注意各段冲量的正负。
(2)全过程处理法：在全过程中，第一个力的冲量I1，第二个力的冲量I2，…，第n个力的冲量In，这些冲量的矢量和即合冲量I，根据I=p'-p求解，用全过程法求解时，需注意每个力的作用时间及力的方向。
注意：若不需要求中间量，用全程法更为简便。
例1　质量m=70 kg的撑竿跳高运动员从h=5.0 m高处落到海绵垫上后，经Δt1=1 s速度为零，则该运动员受到海绵垫的平均冲力为多大？如果是落到普通沙坑中，经Δt2=0.1 s速度为零，则沙坑对运动员的平均冲力为多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
答案　1 400 N　7 700 N
解析　研究整个运动过程，运动员的初、末动量的数值都是0，所以运动员的动量变化量为零，根据动量定理，合力的冲量为零，运动员下落到海绵垫上所需要的时间是t==1 s，从开始下落到落到海绵垫上停止时，取向下为正方向，有mg(t+Δt1)-Δt1=0
代入数据解得=1 400 N
若下落到沙坑中，取向下为正方向，有
mg(t+Δt2)-'Δt2=0
代入数据解得'=7 700 N。
二、用动量定理解决多物体问题
例2　如图所示，质量M=2 kg的木板静止放在光滑水平面上，木板右端放着质量m=1 kg的物块，木板和物块间的动摩擦因数μ=0.2。木板在水平恒力F=8 N的外力作用下运动了2 s，木板足够长，求：
(1)此过程恒力F的冲量大小。
(2)此时木板和物块的总动量的大小。(重力加速度g取10 m/s2，用两种方法求解)
答案　(1)16 N·s　(2)16 kg·m/s
解析　(1)F的冲量大小IF=Ft=16 N·s
(2)物块与木板相对滑动，
方法一　选向右为正方向，此时对物块：μmgt=mv1，得p1=mv1=4 kg·m/s
对木板：Ft-μmgt=Mv2，
得p2=Mv2=12 kg·m/s
故总动量的大小p=p1+p2=16 kg·m/s。
方法二　对系统，p=IF=mv1+Mv2=Ft=16 kg·m/s。
对于两个物体组成的系统，它们间的相互作用力的冲量的矢量和总为零，所以动量定理也适用于多物体系统，冲量表达式为IF=(m1v1'+m2v2')-(m1v1+m2v2)，其中IF是系统外力冲量的矢量和。
三、连续变质量问题
1.连续流体类问题
(1)运动着的连续的气流、水流等流体，与其他物体的表面接触的过程中，会对接触面有冲击力。此类问题通常通过动量定理解决。
(2)解答质量连续变动的动量问题的基本思路
①确定研究对象：Δt时间内流体微元。
②建立“柱体”模型
对于流体，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面积为S的流体长度Δl=v·Δt，如图所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt。
③运用动量定理，即流体微元所受的合力的冲量等于流体微元动量的增量，即F合Δt=Δp。(Δt足够短时，流体重力可忽略不计)
例3　“水刀”威力巨大，几乎可以切割任何物体，它是公认的最科学、经济、环保的清洁工具之一。如图所示为“水刀”快速割断厚石板的场景。已知水刀出水口直径为d，水从枪口喷出时的速度为v，水的密度为ρ，求：
(1)单位时间从枪口喷出的水的质量。
(2)若水从枪口喷出时的速度大小v=500 m/s，近距离垂直喷射到物体表面，水枪出水口直径d=0.3 mm。忽略水从枪口喷出后的发散效应，水喷射到物体表面时速度在短时间内变为零。由于水柱前端的水与物体表面相互作用时间很短，因此在分析水对物体表面的作用力时可忽略这部分水所受的重力。已知水的密度ρ=1.0×103 kg/m3，重力加速度g取10 m/s2，估算“水刀”对物体表面产生的冲击力的大小(结果保留1位小数)。
答案　(1)　(2)17.7 N
解析　(1)根据题意可知Δt时间内喷出水的质量为m=ρvΔtS=
则单位时间内从枪口喷出水的质量为m0=
(2)根据题意，取很短的时间Δt1，
则喷射到物体表面的水的质量为Δm=
以这部分水为研究对象，设物体表面对其作用力大小为F，以水流从枪口喷出时速度方向为正方向，
由动量定理得-FΔt1=-Δm·v
解得F=
代入数据得F≈17.7 N。
由牛顿第三定律可知“水刀”对物体表面产生的冲击力的大小F'=F=17.7 N。
2.连续微粒类问题
(1)宇宙空间中分布的尘埃、空中下落的雨滴等，与其他物体接触时对接触面同样存在冲击力。
(2)解答该类问题的基本思路
①确定研究对象：极短时间Δt内的物体。
②结合具体情境，确定极短时间Δt内物体的质量Δm，如单位时间内的质量为m0，则Δm=Δt·m0；再如若速度为v、单位体积内粒子个数为N、单个粒子质量为m0，横截面积为S，则Δm=v·ΔtSNm0等等。
③同理，选定研究对象后，根据动量定理F合Δt=Δp进行相应计算。
例4　假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S=1 m2，以v=7×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量为m=2×10-5 g，飞船经过区域的微粒都附着在飞船上，若要使飞船速度保持不变，飞船的推力应增加(　　)
A.0.49 N B.0.98 N
C.490 N D.980 N
答案　B
解析　以在时间Δt内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量等于底面积为S、高为vΔt的圆柱体内微粒的质量，微粒质量M=mSvΔt，微粒的初动量为0，末动量为Mv，设飞船对微粒的作用力大小为F，对微粒，由动量定理得F·Δt=Mv-0，则F===mSv2，代入数据解得F=0.98 N，由牛顿第三定律可知，微粒对飞船的作用力大小为F'=F=0.98 N，要使飞船速度保持不变，飞船的推力应增加0.98 N。故选B。
1.无论是连续流体类问题还是连续微粒类问题，应将“无形”的流体变为“有形”的实物，确定好短时间内所对应研究对象的质量Δm是解决该类问题的关键。
2.因所取时间较短，质量为Δm的研究对象所受重力可忽略不计。
3.若求解变质量物体对接触物体的力，首先转换研究对象为极短时间内的流体或微粒，分析与其接触的物体对它的力，进一步结合牛顿第三定律进行解答。
专题强化练
[分值：70分]
[1~4题，每题4分]
1.水平面上一质量为m的物体，在水平推力F的作用下由静止开始运动。经时间2Δt撤去F，又经过3Δt，物体停止运动，重力加速度为g，则该物体与水平面之间的动摩擦因数为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　对整个过程研究，根据动量定理可得
F·2Δt-μmg·(2Δt+3Δt)=0，
解得μ=，故A、B、D错误，C正确。
2.物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，如图(a)所示，A的质量为m，B的质量为M，当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，如图(b)所示，在这段时间内，弹簧的弹力对物体A的冲量为(　　)
A.mv B.mu
C.mv+Mu D.mv+mu
答案　D
解析　对物体B由动量定理得：Mgt=Mu-0，设弹簧对物体A的冲量为I，对物体A由动量定理得：I-mgt=mv-0，联立解得：I=mv+mu，故A、B、C错误，D正确。
3.(2026·邢台市高二检测)2025年6月，贵州榕江遭遇特大洪水期间，无人机突破交通受阻的困境，参与救助受困群众，为受困群众搭建“生命桥”。一架无人机质量为m0，螺旋桨转动能使面积为S的空气以速度v向下运动。已知空气密度为ρ，重力加速度为g，则该无人机能携带货物的最大质量为(　　)
A.+m0 B.-m0
C.+m0 D.-m0
答案　D
解析　设时间t内，螺旋桨使质量m=ρSvt的空气竖直向下运动，由动量定理，有Ft=mv，根据牛顿第三定律可知，空气对无人机的作用力大小F'=F==ρSv2，该无人机能携带货物的最大质量为Mmax=-m0=-m0，故选D。
4.(多选)如图所示为某位小选手在蹦床比赛中上升到最高点的情景。已知小选手质量为m，小选手从最高点下落高度h至最低点所用时间为t，空气阻力不计，重力加速度为g，小选手可看作质点，下列说法正确的是(　　)
A.小选手从最高点下落至最低点的过程中，重力的冲量大小为mg
B.小选手从最高点下落至最低点的过程中，弹性网弹力的冲量大小为mgt
C.小选手从最高点下落至最低点的过程中，弹性网弹性势能的增量为mgh
D.小选手从最高点下落至最低点的过程中，合力的冲量为零，合力做功也为零
答案　BCD
解析　依题意，可得小选手从最高点下落至最低点的过程中，重力的冲量大小为IG=mgt，若选手一直自由下落h，则所用时间为t'=，而选手实际所用时间不等于t'，所以整个过程中小选手重力的冲量不等于mg，故A错误；小选手从最高点下落至最低点的过程中，根据动量定理有IG-IF=0，可知弹性网弹力的冲量大小IF等于重力的冲量大小，即为mgt，但方向与重力的冲量方向相反，故B正确；小选手从最高点下落至最低点的过程中，根据小选手与弹性网组成的系统机械能守恒，可得弹性网弹性势能的增量等于小选手重力势能的减少量，即为mgh，故C正确；小选手从最高点下落至最低点的过程中，初、末速度均为零，根据动量定理可知小选手所受合力的冲量等于其动量的改变量，所以为零，根据动能定理可知，合力做功也为零，故D正确。
5.(9分)质量m=2 kg的物体自由下落0.5 s，掉到沙面上后，经过0.1 s停在了沙坑中，不考虑空气阻力作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)(4分)物体在空中下落过程中重力的冲量大小。
(2)(5分)物体陷入沙坑过程，沙对物体的平均作用力的大小。
答案　(1)10 N·s　(2)120 N
解析　(1)根据冲量的定义得，物体在空中下落过程，重力的冲量大小为IG=mgt1=10 N·s
(2)整个过程所用的时间t=t1+t2=0.6 s
由动量定理mgt-t2=0
解得沙对物体的平均作用力大小为
==120 N。
[6、7题，每题6分]
6.(多选)(2025·长沙市明德中学高二期末)水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力F1 、F2分别作用在物体a、b上。一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下。两物体的v-t图像如图所示，图中AB∥CD，整个过程中两个物体的运动时间分别为t1、t2，水平推力的冲量分别为I1、I2。下列选项正确的是(　　)
A.= B.=
C.> D.=
答案　AC
解析　根据动量定理有I1-μmgt1=0，I2-μmgt2=0，解得=，故A正确；根据动量定理有F1tA-μmgt1=0，F2tC-μmgt2=0，解得=，根据图像可知tA，故C正确，B、D错误。
7.(2026·南京市期中)用高压水枪清洗汽车，在冲洗时一半的水在汽车表面顺流而下，还有一半的水以原速率返回。设水枪喷出水柱圆形截面的面积为S，水流速度为v，水的密度为ρ，水柱垂直汽车表面。则(　　)
A.人手握住水枪的力等于ρSv2
B.人手握住水枪的力等于ρS2v
C.水柱对汽车的平均冲击力等于ρSv2
D.水柱对汽车的平均冲击力等于ρS2v
答案　C
解析　高压水枪极短时间Δt内喷出的水的质量Δm=ρSvΔt，由动量定理可得F1Δt=Δm·v，解得喷水枪对水的作用力大小F1=ρv2S，
人对喷水枪的力为F1的反作用力与喷水枪重力的合力，所以应大于ρSv2，故A、B错误；以汽车对水柱的作用力方向为正，由动量定理得F2Δt=[0-(-v)]+[v-(-v)]，把Δm=ρSvΔt代入得汽车对水柱的平均冲击力大小为F2=ρSv2，由牛顿第三定律得水柱对汽车的平均冲击力大小为F2'=ρSv2，故C正确，D错误。
8.(12分)如图所示，质量m=2 kg的物体，在水平力F=8 N的作用下由静止开始沿水平面向右运动，已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，若F作用了t1=6 s后撤去，撤去F后又经t2=2 s 物体与竖直墙壁相碰，若物体与墙壁作用时间t3=0.1 s，碰墙后反向弹回的速度大小v'=6 m/s，求墙壁对物体的平均作用力大小。(g取10 m/s2)
答案　280 N
解析　选物体为研究对象，在t1时间内其受力情况如图甲所示。
选F的方向为正方向，根据动量定理得(F-μmg)t1=mv1-0
解得v1=12 m/s
撤去F后，物体受力如图乙所示
由动量定理得-μmgt2=mv2-mv1
解得v2=8 m/s
物体与墙壁作用后速度方向变为向左，根据动量定理得t3=-mv'-mv2
解得=-280 N，故墙壁对物体的平均作用力大小为280 N。
9.(13分)(2026·江苏省前黄高级中学高二检测)如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在光滑的水平面上，两物体的质量分别为mA=4 kg、mB=6 kg。从t=0时刻开始，推力FA和拉力FB分别作用在A、B上，FA和FB随时间的变化规律为：FA=(8-2t) N、FB=(2+2t) N，求：
(1)(7分)在A、B分开前的过程中，A、B整体的动量变化量大小。
(2)(6分)从t=0时刻到A、B刚分开的过程中，它们之间的弹力对A的冲量。
答案　(1)20 kg·m/s　(2)4 N·s，方向水平向左
解析　(1)在A、B分开前，对A、B整体分析，有FA+FB=(mA+mB)a
解得a=1 m/s2
设经过时间t，A、B刚要分开，此时A、B之间弹力为0，对A，有FA=(8-2t) N=mAa
解得t=2 s
此时A、B整体的速度为v=at=2 m/s
则在A、B分开前的过程中，A、B整体的动量变化量大小为Δp=(mA+mB)v-0=20 kg·m/s
(2)在A、B分开前，FA的冲量大小为IFA=×2 N·s=12 N·s
对A，根据动量定理可得IFA+IT=mAv-0
解得IT=-4 N·s
可知A、B之间的弹力对A的冲量大小为4 N·s，方向水平向左。
　[8分]
10.(2026·湖北省楚天协作体高二检测)如图所示，从距秤盘0.8 m高处把1 000粒质量为0.2 g的相同小钢珠由静止连续均匀地倒在秤盘上，不计空气阻力的影响，持续作用时间为0.5 s，钢珠沿竖直方向反向弹起，并且速度大小变为碰前的0.75。若每个钢珠与秤盘的碰撞时间极短(在碰撞极短时间内，碰撞力远大于钢珠受到的重力)，重力加速度g取10 m/s2。则在所有小钢珠和秤盘发生第一次碰撞的过程中秤盘受到的压力大小约为(　　)
A.0.4 N B.1.6 N C.2.8 N D.3.2 N
答案　C
解析　设小钢珠从0.8 m高处下落到秤盘上时的速度大小为v1，有=2gh，则v1== m/s=4 m/s，碰撞后钢珠反弹，竖直向上的速度大小为v2=4×0.75 m/s=3 m/s，根据竖直上抛运动的规律可知钢珠再次回到秤盘上的时间为0.6 s，故在所有小钢珠和秤盘发生第一次碰撞的过程中，每粒钢珠和秤盘只碰一次。设竖直向上为正方向，所有钢珠与秤盘第一次碰撞过程中，根据动量定理有Ft=mv2-mv1，则F== N=2.8 N，根据牛顿第三定律可知，在碰撞过程中秤盘受到的压力大小为2.8 N。故选C。(共48张PPT)
动量定理的应用
专题强化1
第
一
章
1.会应用动量定理解决多过程问题(重点)。
2.会应用动量定理处理多物体组成的系统的问题(重点)。
3.会应用动量定理处理连续质量变化的问题(难点)。
学习目标
内容索引
专题强化练
一、用动量定理处理多过程问题
二、用动量定理解决多物体问题
三、连续变质量问题
< 一 >
用动量定理处理多过程问题
在水平恒力F=30 N的作用下，质量m=5 kg的物体由静止开始沿水平面运动。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，若F作用6 s后撤去，撤去F后物体还能向前运动多长时间才停止？应用动量定理分别从分阶段及全过程两个角度进行求解(g取10 m/s2)。
答案　方法一　用动量定理，分阶段求解。
选物体为研究对象，对于撤去F前物体做匀加速运动的过程，初状态速度为零，末状态速度为v。取水平力F的方向为正方向，根据动量定理有(F-μmg)t1=mv-0，
对于撤去F后物体做匀减速运动的过程，初状态速度为v，末状态速度为零。根据动量定理有-μmgt2=0-mv，
联立解得t2=t1=×6 s=12 s。
方法二　用动量定理，研究全过程。
选物体为研究对象，研究整个运动过程，这个过程的初、末状态物体的速度都等于零。
取水平力F的方向为正方向，根据动量定理得
Ft1-μmg(t1+t2)=0
解得t2=12 s。
如果物体在不同阶段受力不同，即合外力不恒定，此情况下应用动量定理时，一般采取以下两种方法：
(1)分段处理法：找出每一段合外力的冲量I1、I2、…In，这些冲量的矢量和即外力的合冲量I=I1+I2+…+In，根据动量定理I=p'-p求解，分段处理时，需注意各段冲量的正负。
(2)全过程处理法：在全过程中，第一个力的冲量I1，第二个力的冲量I2，…，第n个力的冲量In，这些冲量的矢量和即合冲量I，根据I=p'-p求解，用全过程法求解时，需注意每个力的作用时间及力的方向。
注意：若不需要求中间量，用全程法更为简便。
质量m=70 kg的撑竿跳高运动员从h=5.0 m高处落到海绵垫上后，经Δt1=1 s速度为零，则该运动员受到海绵垫的平均冲力为多大？如果是落到普通沙坑中，经Δt2=0.1 s速度为零，则沙坑对运动员的平均冲力为多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
例1
答案　1 400 N　7 700 N
研究整个运动过程，运动员的初、末动量的数值都是0，所以运动员的动量变化量为零，根据动量定理，合力的冲量为零，运动员下落到海绵
垫上所需要的时间是t==1 s，从开始下落到落到海绵垫上停止时，
取向下为正方向，有mg(t+Δt1)-Δt1=0
代入数据解得=1 400 N
若下落到沙坑中，取向下为正方向，有
mg(t+Δt2)-'Δt2=0
代入数据解得'=7 700 N。
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< 二 >
用动量定理解决多物体问题
如图所示，质量M=2 kg的木板静止放在光滑水平面上，木板右端放着质量m=1 kg的物块，木板和物块间的动摩擦因数μ=0.2。木板在水平恒力F=8 N的外力作用下运动了2 s，木板足够长，求：
(1)此过程恒力F的冲量大小。
例2
答案　16 N·s
F的冲量大小IF=Ft=16 N·s
(2)此时木板和物块的总动量的大小。(重力加速度g取10 m/s2，用两种方法求解)
答案　16 kg·m/s
物块与木板相对滑动，
方法一　选向右为正方向，此时对物块：μmgt=mv1，得p1=mv1=4 kg·m/s
对木板：Ft-μmgt=Mv2，
得p2=Mv2=12 kg·m/s
故总动量的大小p=p1+p2=16 kg·m/s。
方法二　对系统，p=IF=mv1+Mv2=Ft=16 kg·m/s。
总结提升
对于两个物体组成的系统，它们间的相互作用力的冲量的矢量和总为零，所以动量定理也适用于多物体系统，冲量表达式为IF=(m1v1'+
m2v2')-(m1v1+m2v2)，其中IF是系统外力冲量的矢量和。
返回
< 三 >
连续变质量问题
1.连续流体类问题
(1)运动着的连续的气流、水流等流体，与其他物体的表面接触的过程中，会对接触面有冲击力。此类问题通常通过动量定理解决。
(2)解答质量连续变动的动量问题的基本思路
①确定研究对象：Δt时间内流体微元。
②建立“柱体”模型
对于流体，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面积为S的流体长度Δl=v·Δt，如图所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt。
③运用动量定理，即流体微元所受的合力的冲量等于流体微元动量的增量，即F合Δt=Δp。(Δt足够短时，流体重力可忽略不计)
“水刀”威力巨大，几乎可以切割任何物体，它是公认的最科学、经济、环保的清洁工具之一。如图所示为“水刀”快速割断厚石板的场景。已知水刀出水口直径为d，水从枪口喷出时的速度为v，水的密度为ρ，求：
(1)单位时间从枪口喷出的水的质量。
例3
答案　
根据题意可知Δt时间内喷出水的质量为m=ρvΔtS=
则单位时间内从枪口喷出水的质量为m0=
(2)若水从枪口喷出时的速度大小v=500 m/s，近距离垂直喷射到物体表面，水枪出水口直径d=0.3 mm。忽略水从枪口喷出后的发散效应，水喷射到物体表
面时速度在短时间内变为零。由于水柱前端的水与物体表面相互作用时间很短，因此在分析水对物体表面的作用力时可忽略这部分水所受的重力。已知水的密度ρ=1.0×103 kg/m3，重力加速度g取10 m/s2，估算“水刀”对物体表面产生的冲击力的大小(结果保留1位小数)。
答案　17.7 N
根据题意，取很短的时间Δt1，
则喷射到物体表面的水的质量为Δm=
以这部分水为研究对象，设物体表面对其作用力大小为F，以水流从枪口喷出时速度方向为正方向，
由动量定理得-FΔt1=-Δm·v
解得F=
代入数据得F≈17.7 N。
由牛顿第三定律可知“水刀”对物体表面产生的冲击力的大小F'=F= 17.7 N。
2.连续微粒类问题
(1)宇宙空间中分布的尘埃、空中下落的雨滴等，与其他物体接触时对接触面同样存在冲击力。
(2)解答该类问题的基本思路
①确定研究对象：极短时间Δt内的物体。
②结合具体情境，确定极短时间Δt内物体的质量Δm，如单位时间内的质量为m0，则Δm=Δt·m0；再如若速度为v、单位体积内粒子个数为N、单个粒子质量为m0，横截面积为S，则Δm=v·ΔtSNm0等等。
③同理，选定研究对象后，根据动量定理F合Δt=Δp进行相应计算。
假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S=1 m2，以v=7×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量为m=2×10-5 g，飞船经过区域的微粒都附着在飞船上，若要使飞船速度保持不变，飞船的推力应增加
A.0.49 N B.0.98 N
C.490 N D.980 N
例4
√
以在时间Δt内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量等于底面积为S、高为vΔt的圆柱体内微粒的质量，微粒质量M=mSvΔt，微粒的初动量为0，末动量为Mv，设飞船对微粒的作用力大小为F，对微粒，由动量定理得
F·Δt=Mv-0，则F===mSv2，代入数据解得F=0.98 N，由牛顿第三
定律可知，微粒对飞船的作用力大小为F'=F=0.98 N，要使飞船速度保持不变，飞船的推力应增加0.98 N。故选B。
总结提升
1.无论是连续流体类问题还是连续微粒类问题，应将“无形”的流体变为“有形”的实物，确定好短时间内所对应研究对象的质量Δm是解决该类问题的关键。
2.因所取时间较短，质量为Δm的研究对象所受重力可忽略不计。
3.若求解变质量物体对接触物体的力，首先转换研究对象为极短时间内的流体或微粒，分析与其接触的物体对它的力，进一步结合牛顿第三定律进行解答。
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< 四 >
专题强化练
题号 1 2 3 4 5
答案 C D D BCD (1)10 N·s　(2)120 N
题号 6 7 8 9 10
答案 AC C 280 N (1)20 kg·m/s (2)4 N·s，方向水平向左 C
对一对
答案
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1.水平面上一质量为m的物体，在水平推力F的作用下由静止开始运动。经时间2Δt撤去F，又经过3Δt，物体停止运动，重力加速度为g，则该物体与水平面之间的动摩擦因数为
A.　　　B.　　　C.　　　D.
基础强化练
√
对整个过程研究，根据动量定理可得
F·2Δt-μmg·(2Δt+3Δt)=0，
解得μ=，故A、B、D错误，C正确。
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答案
2.物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，如图(a)所示，A的质量为m，B的质量为M，当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，如图(b)所示，在这段时间内，弹簧的弹力对物体A的冲量为
A.mv B.mu
C.mv+Mu D.mv+mu
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答案
对物体B由动量定理得：Mgt=Mu-0，设弹簧对物体A的冲量为I，对物体A由动量定理得：I-mgt=mv-0，联立解得：I=mv+mu，故A、B、C错误，D正确。
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答案
3.(2026·邢台市高二检测)2025年6月，贵州榕江遭遇特大洪水期间，无人机突破交通受阻的困境，参与救助受困群众，为受困群众搭建“生命桥”。一架无人机质量为m0，螺旋桨转动能使面积为S的空气以速度v向下运动。已知空气密度为ρ，重力加速度为g，则该无人机能携带货物的最大质量为
A.+m0 B.-m0
C.+m0 D.-m0
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答案
设时间t内，螺旋桨使质量m=ρSvt的空气竖直向下运动，由动量定理，有Ft=mv，根据牛顿第三定律可知，空气对无人机的作用力大小F'=F=　
=ρSv2，该无人机能携带货物的最大质量为Mmax=-m0=-m0，故
选D。
4.(多选)如图所示为某位小选手在蹦床比赛中上升到最高点的情景。已知小选手质量为m，小选手从最高点下落高度h至最低点所用时间为t，空气阻力不计，重力加速度为g，小选手可看作质点，下列说法正确的是
A.小选手从最高点下落至最低点的过程中，重力的冲量大小
　为mg
B.小选手从最高点下落至最低点的过程中，弹性网弹力的
　冲量大小为mgt
C.小选手从最高点下落至最低点的过程中，弹性网弹性势能的增量为mgh
D.小选手从最高点下落至最低点的过程中，合力的冲量为零，合力做功
　也为零
√
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答案
√
√
依题意，可得小选手从最高点下落至最低点的过程中，重力的冲量大小
为IG=mgt，若选手一直自由下落h，则所用时间为t'=，而选手实际
所用时间不等于t'，所以整个过程中小选手重力的冲量不等于mg，
故A错误；
小选手从最高点下落至最低点的过程中，根据动量定理有IG-IF=0，可知弹性网弹力的冲量大小IF等于重力的冲量大小，即为mgt，但方向与重力的冲量方向相反，故B正确；
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小选手从最高点下落至最低点的过程中，根据小选手与弹性网组成的系统机械能守恒，可得弹性网弹性势能的增量等于小选手重力势能的减少量，即为mgh，故C正确；
小选手从最高点下落至最低点的过程中，初、末速度均为零，根据动量定理可知小选手所受合力的冲量等于其动量的改变量，所以为零，根据动能定理可知，合力做功也为零，故D正确。
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5.质量m=2 kg的物体自由下落0.5 s，掉到沙面上后，经过0.1 s停在了沙坑中，不考虑空气阻力作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物体在空中下落过程中重力的冲量大小。
答案　10 N·s
根据冲量的定义得，物体在空中下落过程，重力的冲量大小为IG=mgt1= 10 N·s
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(2)物体陷入沙坑过程，沙对物体的平均作用力的大小。
答案　120 N
整个过程所用的时间t=t1+t2=0.6 s
由动量定理mgt-t2=0
解得沙对物体的平均作用力大小为
==120 N。
6.(多选)(2025·长沙市明德中学高二期末)水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力F1 、F2分别作用在物体a、b上。一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下。两物体的v-t图像如图所示，图中AB∥CD，整个过程中两个物体的运动时间分别为t1、t2，水平推力的冲量分别为I1、I2。下列选项正确的是
A.= B.=
C.> D.=
√
能力综合练
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答案
根据动量定理有I1-μmgt1=0，I2-μmgt2=0，解得=，故A正确；
根据动量定理有F1tA-μmgt1=0，F2tC-μmgt2=0，解得=，根据图像可知
tA，故C正确，B、D错误。
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7.(2026·南京市期中)用高压水枪清洗汽车，在冲洗时一半的水在汽车表面顺流而下，还有一半的水以原速率返回。设水枪喷出水柱圆形截面的面积为S，水流速度为v，水的密度为ρ，水柱垂直汽车表面。则
A.人手握住水枪的力等于ρSv2
B.人手握住水枪的力等于ρS2v
C.水柱对汽车的平均冲击力等于ρSv2
D.水柱对汽车的平均冲击力等于ρS2v
√
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答案
高压水枪极短时间Δt内喷出的水的质量Δm=ρSvΔt，由动量定理可得F1Δt=Δm·v，解得喷水枪对水的作用力大小F1=ρv2S，人对喷水枪的力为F1的反作用力与喷水枪重力的合力，所以应大于ρSv2，故A、B错误；
以汽车对水柱的作用力方向为正，由动量定理得F2Δt=[0-(-v)]+[v-(-v)]，把Δm=ρSvΔt代入得汽车对水柱的平均冲击力大小为F2=ρSv2，由牛顿第三定律得水柱对汽车的平均冲击力大小为F2'=ρSv2，故C正确，D错误。
8.如图所示，质量m=2 kg的物体，在水平力F=8 N的作用下由静止开始沿水平面向右运动，已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，若F作用了t1=6 s后撤去，撤去F后又经t2=2 s 物体与竖直墙壁相碰，若物体与墙壁作用时间t3=0.1 s，碰墙后反向弹回的速度大小v'=6 m/s，求墙壁对物体的平均作用力大小。(g取10 m/s2)
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答案
答案　280 N
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答案
选物体为研究对象，在t1时间内其受力情况如图甲所示。
选F的方向为正方向，根据动量定理得(F-μmg)t1=mv1-0
解得v1=12 m/s
撤去F后，物体受力如图乙所示
由动量定理得-μmgt2=mv2-mv1
解得v2=8 m/s
物体与墙壁作用后速度方向变为向左，根据动量定理得t3=-mv'-mv2
解得=-280 N，故墙壁对物体的平均作用力大小为280 N。
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9.(2026·江苏省前黄高级中学高二检测)如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在光滑的水平面上，两物体的质量分别为mA=4 kg、mB=6 kg。从t=0时刻开始，推力FA和拉力FB分别作用在A、B上，FA和FB随时间的变化规律为：FA=(8-2t) N、FB=(2+2t) N，求：
(1)在A、B分开前的过程中，A、B整体的动量变化量大小。
答案　20 kg·m/s
在A、B分开前，对A、B整体分析，有FA+FB=(mA+mB)a
解得a=1 m/s2
设经过时间t，A、B刚要分开，此时A、B之间弹力为0，对A，有FA= (8-2t) N=mAa
解得t=2 s
此时A、B整体的速度为v=at=2 m/s
则在A、B分开前的过程中，A、B整体的动量变化量大小为Δp=(mA+mB)v
-0=20 kg·m/s
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(2)从t=0时刻到A、B刚分开的过程中，它们之间的弹力对A的冲量。
答案　4 N·s，方向水平向左
在A、B分开前，FA的冲量大小为IFA=×2 N·s=12 N·s
对A，根据动量定理可得IFA+IT=mAv-0
解得IT=-4 N·s
可知A、B之间的弹力对A的冲量大小为4 N·s，方向水平向左。
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10.(2026·湖北省楚天协作体高二检测)如图所示，从距秤盘0.8 m高处把1 000粒质量为0.2 g的相同小钢珠由静止连续均匀地倒在秤盘上，不计空气阻力的影响，持续作用时间为0.5 s，钢珠沿竖直方向反向弹起，并且速度大小变为碰前的0.75。若每个钢珠与秤盘的碰撞时间极短(在碰撞极短时间内，碰撞力远大于钢珠受到的重力)，重力加速度g取10 m/s2。则在所有小钢珠和秤盘发生第一次碰撞的过程中秤盘受到的压力大小约为
A.0.4 N　　　B.1.6 N　　　C.2.8 N　　　D.3.2 N
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答案
设小钢珠从0.8 m高处下落到秤盘上时的速度大小为v1，有=2gh，则
v1== m/s=4 m/s，碰撞后钢珠反弹，竖直向上的速度
大小为v2=4×0.75 m/s=3 m/s，根据竖直上抛运动的规律可知钢珠再次回到秤盘上的时间为0.6 s，故在所有小钢珠和秤盘发生第一次碰撞的过程中，每粒钢珠和秤盘只碰一次。设竖直向上为正方向，所有钢珠
与秤盘第一次碰撞过程中，根据动量定理有Ft=mv2-mv1，则F=
= N=2.8 N，根据牛顿第三定律可知，在碰撞过程中秤盘
受到的压力大小为2.8 N。故选C。
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第
一
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