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专题强化3　碰撞模型及拓展应用
[学习目标]　1.进一步掌握用动量守恒定律和能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。2.掌握两类碰撞问题的特点，提高建模能力(重难点)。
一、弹簧—小球(物块)模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)小球接触弹簧后最初一段时间，两小球各做什么运动，弹簧长度如何变化？
(2)弹簧的弹性势能什么时候最大？最大为多少？
(3)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
(4)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？
答案　(1)小球接触弹簧后最初一段时间内，在弹力作用下，A做减速运动，B做加速运动，弹簧变短，压缩量逐渐变大。
(2)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
由动量守恒定律得m1v0=(m1+m2)v
由能量守恒定律得
m1=(m1+m2)v2+Epmax
解得Epmax=
(3)如图所示，两球共速后，A继续减速，B继续加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(4)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大，
由动量守恒定律得m1v0=m1v1+m2v2
由能量守恒定律得m1=m1+m2
解得v2=。
1.模型概述
对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
2.模型特点——“两个状态”
(1)弹簧处于最长(最短)状态：此时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(2)弹簧恢复原长状态：弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
例1　(多选)(2025·宁波市高二期末)如图甲所示，一水平轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块A、B相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使物块A瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A.t1、t3时刻，弹簧都处于压缩状态，弹性势能最大
B.t4时刻，弹簧恢复到原长，两物块回到出发位置
C.两物块的质量之比为m1∶m2=1∶2
D.t3时刻，系统的动能与弹性势能大小之比为Ek∶Ep=1∶2
答案　CD
解析　由题图乙可知两物块的运动过程为开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，弹簧被压缩至最短，系统动能最小，弹性势能最大，然后弹簧逐渐恢复原长，B继续加速，A先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，所以弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，t3时刻，两物块速度相等，弹簧最长，系统动能最小，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，两物块没有回到出发位置，故A、B错误；根据系统动量守恒，从开始到t1时刻有m1v1=(m1+m2)v，其中v1=3 m/s，v=1 m/s，解得=，故C正确；t3时刻，系统的弹性势能为Ep=m1-(m1+m2)v2，系统的动能为Ek=(m1+m2)v2，结合C项可知Ek∶Ep=1∶2，故D正确。
拓展　请在图中分别画出例1中，两物块的质量满足m1∶m2=1∶1和m1∶m2=2∶1时速度随时间变化的规律的图像。
答案　
二、滑块—斜(曲)面模型
如图所示，小球A以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道B。已知小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球A和轨道B组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？
(3)什么时候轨道B的速度达到最大？
(4)小球离开轨道瞬间系统总动量、系统机械能与初始状态有怎样的关系？试列式说明。
答案　(1)整个过程中小球和轨道组成的系统的机械能守恒；系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。
(3)小球从左侧离开轨道时，轨道的速度最大。
(4)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，小球质量为m1，轨道质量为m2，则由动量守恒定律有：m1v0=m1v1+m2v2
根据机械能守恒定律有：
m1=m1+m2
1.模型概述
对滑块和光滑斜(曲)面组成的系统，若水平面光滑且滑块始终未脱离斜(曲)面，在相互作用的过程中，系统所受合外力不为零，但系统在水平方向所受合外力为零，则该系统在水平方向上满足动量守恒定律。
2.模型特点——“两个位置”
(1)当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块在竖直方向的速度vy=0。系统水平方向动量守恒，有mv0=(M+m)v共；系统机械能守恒，有m=(M+m)+mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
(2)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有mv0=mv1+Mv2；系统机械能守恒，有m=m+M(相当于完成了弹性碰撞)。
例2　如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M=3 kg，小车静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量m=1 kg的小球以水平初速度v0=4 m/s从圆弧下端滑上小车，重力加速度g取10 m/s2。下列说法错误的是(　　)
A.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒
B.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为1 m/s
D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6 m
答案　B
解析　在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，选项A正确；在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，选项B错误；小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为h，两者共同速度大小为v，由mv0=(M+m)v，解得v== m/s=1 m/s，小球与小车组成的系统机械能守恒，有m=(M+m)v2+mgh，解得h=0.6 m，选项C、D正确。
拓展1　小车什么时候速度最大？最大速度是多少？
答案　当小球与小车分离时，小车获得最大速度。取水平向左为正方向，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有mv0=mv1+Mv2，
小球与小车组成的系统机械能守恒，有m=m+M，解得v2=2 m/s。
拓展2　小球离开小车后做什么运动？如果小球和小车的质量相等，小球离开小车后又会做什么运动？
答案　由拓展1解得，小球离开小车时的速度v1=-2 m/s，方向水平向右，小球将做平抛运动。若两者质量相等，小球和小车分离瞬间小球的速度为零，小球将做自由落体运动。
拓展3　如图所示，若小球从离圆弧下端0.6 m高处沿圆弧轨道由静止滚下，当小球与小车分离时二者的速度大小各是多少？
答案　以圆弧下端所在水平面为零势能面，小球沿圆弧轨道下滑过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。
取水平向右为正方向，则有
0=mv1'-Mv2' ①
mgH=mv1'2+Mv2'2 ②
联立①②解得v1'=3 m/s，v2'=1 m/s
即二者分离时，小球的速度是3 m/s，水平向右，小车的速度是1 m/s，水平向左。
专题强化练
[分值：60分]
[1~4题，每题4分]
1.(多选)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，左端有一轻弹簧，如图所示，当A撞上弹簧，弹簧被压缩最短时(　　)
A.A、B系统总动量仍然为mv
B.A的动量变为零
C.B的动量达到最大值
D.A、B的速度相等
答案　AD
解析　A、B组成的系统所受的合外力为零，动量守恒，初始时总动量为mv，弹簧被压缩到最短时，A、B系统总动量仍为mv，故A正确；A在压缩弹簧的过程中，B做加速运动，A做减速运动，两者速度相等时，弹簧压缩量最大，然后B继续加速，A继续减速，所以弹簧压缩最短时，B的动量未达到最大值。弹簧被压缩到最短时，A、B的速度相等，A的动量不为零，故B、C错误，D正确。
2.如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，小球不会从上槽口冲出，不计一切摩擦，则(　　)
A.在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B.小球离开车后，对地将向右做平抛运动
C.小球离开车后，对地做自由落体运动
D.小球离开车后，小车的速度有可能大于v0
答案　C
解析　整个过程中小车和小球组成的系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，总动量不守恒，故A错误；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，设v0的方向为正方向，整个过程中水平方向动量守恒：mv0=mv1+mv2，规定小车下槽口切线所在水平面为零势能面，由机械能守恒定律得：m=m+m，联立解得v1=0，v2=v0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球与小车分离后对地做自由落体运动，故B、D错误，C正确。
3.(多选)(2025·榆林市高二期末)如图甲所示，在光滑水平面上，水平轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动并压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x；现将弹簧一端连接另一质量为m的物体B，静止于光滑水平面上(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右运动并压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，A、B运动始终在一条直线上，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是(　　)
A.A物体的质量为3m
B.A物体的质量为2m
C.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m
D.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m
答案　AC
解析　当弹簧固定时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，A的动能转化为弹簧的弹性势能，设A的质量为mA，最大的弹性势能为Epm，根据系统的机械能守恒Epm=mA，当弹簧一端连接另一质量为m的物体B时，A、B速度相等时弹簧的弹性势能最大，设此时A、B速度为v，由动量守恒定律得mA×2v0=(m+mA)v，由机械能守恒定律得ΔEpm=mA(2v0)2-(m+mA)v2=Epm，联立解得mA=3m，Epm=m，选项A、C正确，B、D错误。
4.如图所示，静止在光滑水平面上的小车，上面是由两个对称的光滑曲面组成，整个小车的质量为m。现有一个质量也为m且可看作质点的小球，以水平速度v0从小车的左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又沿右侧曲面滑下，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.此过程中小球和小车组成的系统动量守恒
B.小球滑离小车时，小车的速度不可能减为0
C.小车上的曲面的高度等于
D.小车上的曲面的高度等于
答案　C
解析　小球和小车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，A错误；小球从冲上小车到滑离小车的过程中，曲面与水平面光滑，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，则有mv0 = mv1+mv2
m=m+m
解得结果一为小球速度为v0，小车的速度为0，或结果二为小球速度为0，小车速度为v0，因小球沿曲面下滑时，小球的速度大于小车的速度，故结果二不合理，B错误；小球恰好到达小车的最高点时小球与小车的速度相等，设共同速度为v，小球运动到最高点过程中，小球和小车在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=(m+m)v，曲面与地面光滑，整个运动过程小球与小车组成的系统能量守恒，由能量守恒定律得m=(m+m)v2+mgh，解得h=，C正确，D错误。
5.(9分)(2025·山西省榆次第一中学校高二检测)如图，光滑水平面上有带有光滑圆弧轨道(轨道左端与水平面相切)的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速度v0沿水平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，重力加速度为g，则：
(1)(4分)小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？
(2)(5分)滑块能达到的最大速度为多大？
答案　(1)　(2)v0
解析　(1)小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，当小球从轨道上端飞出时，小球与滑块水平速度相等，根据动量守恒，则有mv0=3mv，
解得v=，
根据能量守恒，有m=×3mv2+mgH
解得小球能上升的最大高度为H=
(2)小球从轨道左端离开滑块时，滑块的速度最大，根据水平方向动量守恒，则有mv0=mv1+2mv2
根据机械能守恒，则有m=m+×2m
联立可得v2=v0
滑块能达到的最大速度为v0。
[6、7题，每题6分]
6.(多选)(2025·石家庄市高一期末)如图甲所示，物块A、B静止在光滑水平地面上，中间用一水平轻质弹簧连接，初始时弹簧处于原长，现给A一水平向右的瞬时速度v0，之后两物块的速度随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧始终处于弹性限度内，t1时刻弹簧的弹性势能为Ep0，下列说法正确的是(　　)
A.物块A、B的质量之比为1∶3
B.t2时刻物块B的速度大小为
C.t2时刻物块B的动能为Ep0
D.t2时刻弹簧的弹性势能为Ep0
答案　BD
解析　结合题图乙，根据动量守恒定律可得mAv0=(mA+mB)，解得mA∶mB=1∶2，故A错误；设t2时刻物块B的速度大小为vB，由题图乙可知，此时物块A的速度为0，根据动量守恒定律可得mAv0=mBvB，结合mA∶mB=1∶2，解得vB=v0，故B正确；设物块A的质量为m，则物块B的质量为2m，根据能量守恒可知，t1时刻有m=(m+2m)+Ep0，解得Ep0=m，t2时刻物块B的动能EkB=×2m×=m=Ep0，故C错误；根据能量守恒定律可知，t2时刻弹簧的弹性势能为Ep2=m-EkB=m=Ep0，故D正确。
7.(多选)如图甲所示，光滑水平面上放置P、Q两物体，Q静止且左端接有一水平轻弹簧，P以初速度v0向右运动，当P撞上弹簧后，Q能获得的最大速度大小为v2。保持P的质量m1不变，改变Q的质量m2，可得与m2的大小关系如图乙。下列说法正确的是(　　)
A.P、Q组成的系统动量守恒
B.P的初速度v0=20 m/s
C.P的质量m1=2 kg
D.若m2=3 kg，弹簧被压缩到最短时的弹性势能为37.5 J
答案　AD
解析　水平面光滑，P、Q两物体组成的系统受合外力为0，动量守恒，故A正确；设碰后P的速度为v1，P、Q两物体碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有m1v0=m1v1+m2v2，m1=m1+m2，解得v2=v0，变形得=m2+，由-m2图像有=0.05 s/m，==0.05 s/kg·m，解得m1=1 kg，v0=10 m/s，故B、C错误；若m2=3 kg，弹簧压缩最短时，P、Q共速，由动量守恒定律有m1v0=(m1+m2)v共，弹簧弹性势能为Ep=m1-(m1+m2)，得Ep=37.5 J，故D正确。
8.(11分)如图所示，质量为3m、半径为R的光滑圆弧形轨道槽C静止在光滑水平地面上，槽底端与水平面相切，质量为m的小球A与水平轻弹簧相连接并静止于水平地面上，现有一个质量也为m的小球B(可视为质点)从圆弧轨道最高点由静止下滑。则：
(1)(3分)B滑到水平面与C刚分离时，B和C的速度大小分别是多少？
(2)(4分)弹簧的最大弹性势能Ep。
(3)(4分)判断最后小球B是否还能滑上C，说明理由。
答案　(1)　　(2)　(3)见解析
解析　(1)小球B沿圆弧轨道滑至底端的过程中与圆弧轨道C组成的系统水平方向动量守恒，取水平向左的方向为正方向，则有mvB=3mvC
由能量守恒定律得mgR=m+×3m
解得vB=，vC=
(2)B与弹簧碰撞过程中，A、B的动量守恒，弹簧压缩到最短时A、B共速，弹簧弹性势能最大，设为Ep，则有mvB=2mv
A、B和弹簧组成的系统能量守恒，则有m=×2mv2+Ep
联立解得Ep=
(3)在小球B先压缩弹簧然后弹簧再恢复形变过程中，B、A组成的系统动量守恒，机械能守恒，
则有mvB=mvB1+mvA1，m=m+m
解得vB1=0，vA1=vB=
即弹簧恢复形变时，B停止，A以大小为的速度向左匀速直线运动，故B不能再滑上C。
9.(12分)(2025·山东卷)如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量m= kg的小球自Q点正上方h=2 m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15 N时，b解除锁定开始运动。已知a的质量ma=1 kg，b的质量mb= kg，方形物体的质量M= kg，重力加速度大小g=10 m/s2，弹簧的劲度系数k=50 N/m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，所有过程不计空气阻力。求：
(1)(4分)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2。
(2)(8分)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。
答案　(1)6 m/s　 m/s　(2) m/s　2.5 J
解析　(1)根据题意可知，小球从开始下落到P处过程中，水平方向上动量守恒，则有mv1=Mv2
由能量守恒定律有mgh=m+M
联立解得v1=6 m/s，v2= m/s
即小球速度为6 m/s，方向水平向左，方形物体速度为 m/s，方向水平向右。
(2)由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块a水平方向上动量守恒，则有mv1=(m+ma)v3
解得v3=2 m/s
设当弹簧形变量为x1时物块b的固定解除，此时小球和物块a的速度为v4，根据胡克定律F=kx1
系统机械能守恒(m+ma)=(m+ma)+k
联立解得v4=1 m/s，x1=0.3 m
固定解除之后，小球、物块a和物块b组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有(m+ma)v4=(m+ma+mb)vb
解得vb= m/s，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为Epm=(m+ma)+k-(m+ma+mb)=2.5 J。(共54张PPT)
第
一
章
碰撞模型及拓展应用
专题强化3
1.进一步掌握用动量守恒定律和能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。
2.掌握两类碰撞问题的特点，提高建模能力(重难点)。
学习目标
内容索引
专题强化练
一、弹簧—小球(物块)模型
二、滑块—斜(曲)面模型
< 一 >
弹簧—小球(物块)模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)小球接触弹簧后最初一段时间，两小球各做什么运动，弹簧长度如何变化？
答案　小球接触弹簧后最初一段时间内，在弹力作用下，A做减速运动，B做加速运动，弹簧变短，压缩量逐渐变大。
(2)弹簧的弹性势能什么时候最大？最大为多少？
答案　当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
由动量守恒定律得m1v0=(m1+m2)v
由能量守恒定律得
m1=(m1+m2)v2+Epmax
解得Epmax=
(3)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
答案　如图所示，两球共速后，A继续减速，B继续加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(4)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？
答案　当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大，
由动量守恒定律得m1v0=m1v1+m2v2
由能量守恒定律得m1=m1+m2
解得v2=。
模型构建
1.模型概述
对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
2.模型特点——“两个状态”
(1)弹簧处于最长(最短)状态：此时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(2)弹簧恢复原长状态：弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
(多选)(2025·宁波市高二期末)如图甲所示，一水平轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块A、B相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使物块A瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得
A.t1、t3时刻，弹簧都处于压缩状态，
弹性势能最大
B.t4时刻，弹簧恢复到原长，两物块
回到出发位置
C.两物块的质量之比为m1∶m2=1∶2
D.t3时刻，系统的动能与弹性势能大小之比为Ek∶Ep=1∶2
例1
√
√
由题图乙可知两物块的运动过程为开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，弹簧被压缩至最短，系统动能最小，弹性势能最大，然后弹簧逐渐恢复原长，B继续加速，A先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，所以弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，t3时刻，两物块速度相等，弹簧最长，系统动能最小，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，两物块没有回到出发位置，故A、B错误；
根据系统动量守恒，从开始到t1时刻有m1v1=(m1+m2)v，其中v1=3 m/s，
v=1 m/s，解得=，故C正确；
t3时刻，系统的弹性势能为Ep=m1-(m1+m2)v2，系统的动能为Ek=(m1+m2)v2，结合C项可知Ek∶Ep=1∶2，故D正确。
拓展　请在图中分别画出例1中，两物块的质量满足m1∶m2=1∶1和m1∶m2=2∶1时速度随时间变化的规律的图像。
答案　
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< 二 >
滑块—斜(曲)面模型
如图所示，小球A以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道B。已知小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球A和轨道B组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
答案　整个过程中小球和轨道组成的系统的机械能守恒；系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？
答案　当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。
(3)什么时候轨道B的速度达到最大？
答案　小球从左侧离开轨道时，轨道的速度最大。
(4)小球离开轨道瞬间系统总动量、系统机械能与初始状态有怎样的关系？试列式说明。
答案　设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，小球质量为m1，轨道质量为m2，则由动量守恒定律有：m1v0=m1v1+m2v2
根据机械能守恒定律有：
m1=m1+m2
模型构建
1.模型概述
对滑块和光滑斜(曲)面组成的系统，若水平面光滑且滑块始终未脱离斜(曲)面，在相互作用的过程中，系统所受合外力不为零，但系统在水平方向所受合外力为零，则该系统在水平方向上满足动量守恒定律。
2.模型特点——“两个位置”
(1)当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块在竖直方向的速度vy=0。系统水平方向动量守恒，有mv0=(M+m)v共；
系统机械能守恒，有m=(M+m)+mgh，其中h为滑块上升的最大
高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
(2)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有
mv0=mv1+Mv2；系统机械能守恒，有m=m+M(相当于完成了
弹性碰撞)。
如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M=3 kg，小车静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量m=1 kg的小球以水平初速度v0=4 m/s从圆弧下端滑上小车，重力加速度g取10 m/s2。下列说法错误的是
A.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统
机械能守恒
B.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统
动量守恒
C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为1 m/s
D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6 m
例2
√
在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，选项A正确；
在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，选项B错误；
小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大
高度为h，两者共同速度大小为v，由mv0=(M+m)v，解得v== m/s=
1 m/s，小球与小车组成的系统机械能守恒，有m=(M+m)v2+mgh，
解得h=0.6 m，选项C、D正确。
拓展1　小车什么时候速度最大？最大速度是多少？
答案　当小球与小车分离时，小车获得最大速度。取水平向左为正方向，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有mv0=mv1+Mv2，
小球与小车组成的系统机械能守恒，有m=m+M，解得v2=
2 m/s。
拓展2　小球离开小车后做什么运动？如果小球和小车的质量相等，小球离开小车后又会做什么运动？
答案　由拓展1解得，小球离开小车时的速度v1=-2 m/s，方向水平向右，小球将做平抛运动。若两者质量相等，小球和小车分离瞬间小球的速度为零，小球将做自由落体运动。
拓展3　如图所示，若小球从离圆弧下端0.6 m高处沿圆弧轨道由静止滚下，当小球与小车分离时二者的速度大小各是多少？
答案　以圆弧下端所在水平面为零势能面，小球沿圆弧轨道下滑过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。
取水平向右为正方向，则有
0=mv1'-Mv2' ①
mgH=mv1'2+Mv2'2 ②
联立①②解得v1'=3 m/s，v2'=1 m/s
即二者分离时，小球的速度是3 m/s，水平向右，小车的速度是1 m/s，水平向左。
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< 三 >
专题强化练
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 AD C AC C (1)　(2)v0 BD AD
题号 8 9
答案 (1)　　(2)　(3)见解析 (1)6 m/s　 m/s (2) m/s　2.5 J
对一对
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
1.(多选)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，左端有一轻弹簧，如图所示，当A撞上弹簧，弹簧被压缩最短时
A.A、B系统总动量仍然为mv
B.A的动量变为零
C.B的动量达到最大值
D.A、B的速度相等
基础强化练
√
1
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答案
√
1
2
3
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答案
A、B组成的系统所受的合外力为零，动量守恒，初始时总动量为mv，弹簧被压缩到最短时，A、B系统总动量仍为mv，故A正确；
A在压缩弹簧的过程中，B做加速运动，A做减速运动，两者速度相等时，弹簧压缩量最大，然后B继续加速，A继续减速，所以弹簧压缩最短时，B的动量未达到最大值。弹簧被压缩到最短时，A、B的速度相等，A的动量不为零，故B、C错误，D正确。
2.如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，小球不会从上槽口冲出，不计一切摩擦，则
A.在相互作用的过程中，小车和小球组成的
系统总动量守恒
B.小球离开车后，对地将向右做平抛运动
C.小球离开车后，对地做自由落体运动
D.小球离开车后，小车的速度有可能大于v0
√
1
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5
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9
答案
整个过程中小车和小球组成的系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，总动量不守恒，故A错误；
设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，设v0的方向为正方向，整个过程中水平方向动量守恒：mv0=mv1+mv2，规定小车下槽口
切线所在水平面为零势能面，由机械能守恒定律得：m=m+m，
联立解得v1=0，v2=v0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球与小车分离后对地做自由落体运动，故B、D错误，C正确。
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答案
3.(多选)(2025·榆林市高二期末)如图甲所示，在光滑水平面上，水平轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动并压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x；现将弹簧一端连接另一质量为m的物体B，静止于光滑水平面上(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右运动并压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，A、B运动始终在一条直线上，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是
A.A物体的质量为3m
B.A物体的质量为2m
C.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m
D.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m
√
√
1
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答案
1
2
3
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6
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9
答案
当弹簧固定时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，A的动能转化为弹簧的弹性势能，设A的质量为mA，最大的弹性势能为Epm，根据系统的机
械能守恒Epm=mA，当弹簧一端连接另一质量为m的物体B时，A、
B速度相等时弹簧的弹性势能最大，设此时A、B速度为v，由动量守恒
定律得mA×2v0=(m+mA)v，由机械能守恒定律得ΔEpm=mA(2v0)2-(m+mA)v2=
Epm，联立解得mA=3m，Epm=m，选项A、C正确，B、D错误。
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2
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9
答案
4.如图所示，静止在光滑水平面上的小车，上面是由两个对称的光滑曲面组成，整个小车的质量为m。现有一个质量也为m且可看作质点的小球，以水平速度v0从小车的左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又沿右侧曲面滑下，重力加速度为g。下列说法正确的是
A.此过程中小球和小车组成的系统动量守恒
B.小球滑离小车时，小车的速度不可能减为0
C.小车上的曲面的高度等于
D.小车上的曲面的高度等于
√
小球和小车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，A错误；
小球从冲上小车到滑离小车的过程中，曲面与水平面光滑，小球与小车
组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，则有mv0 = mv1+mv2
m=m+m
解得结果一为小球速度为v0，小车的速度为0，或结果二为小球速度为0，小车速度为v0，因小球沿曲面下滑时，小球的速度大于小车的速度，故结果二不合理，B错误；
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答案
小球恰好到达小车的最高点时小球与小车的速度相等，设共同速度为v，小球运动到最高点过程中，小球和小车在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=(m+m)v，曲面与地面光滑，整个运动过程小球与小车组成的系统
能量守恒，由能量守恒定律得m=(m+m)v2+mgh，解得h=，C正确，
D错误。
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答案
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答案
5.(2025·山西省榆次第一中学校高二检测)如图，光滑水平面上有带有光滑圆弧轨道(轨道左端与水平面相切)的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速度v0沿水平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，重力加速度为g，则：
(1)小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？
答案　
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8
9
答案
小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，当小球从轨道上端飞出时，小球与滑块水平速度相等，根据动量守恒，则有mv0=3mv，
解得v=，
根据能量守恒，有m=×3mv2+mgH
解得小球能上升的最大高度为H=
(2)滑块能达到的最大速度为多大？
答案　v0
小球从轨道左端离开滑块时，滑块的速度最大，根据水平方向动量守恒，则有mv0=mv1+2mv2
根据机械能守恒，则有m=m+×2m
联立可得v2=v0
滑块能达到的最大速度为v0。
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答案
能力综合练
6.(多选)(2025·石家庄市高一期末)如图甲所示，物块A、B静止在光滑水平地面上，中间用一水平轻质弹簧连接，初始时弹簧处于原长，现给A一水平向右的瞬时速度v0，之后两物块的速度随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧始终处于弹性限度内，t1时刻弹簧的弹性势能为Ep0，下列说法正确的是
A.物块A、B的质量之比为1∶3
B.t2时刻物块B的速度大小为
C.t2时刻物块B的动能为Ep0
D.t2时刻弹簧的弹性势能为Ep0
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9
答案
√
√
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答案
结合题图乙，根据动量守恒定律可得mAv0=(mA+mB)，解得mA∶mB=
1∶2，故A错误；
设t2时刻物块B的速度大小为vB，由题图乙可知，此时物块A的速度为0，根据动量守恒定律可得mAv0=mBvB，结合mA∶mB=1∶2，解得vB=v0，故B正确；
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答案
设物块A的质量为m，则物块B的质量为2m，根据能量守恒可知，t1时刻有m=(m+2m)+Ep0，解得Ep0=m，t2时刻物块B的动能EkB=×2m×=m=Ep0，故C错误；
根据能量守恒定律可知，t2时刻弹簧的弹性势能为Ep2=m-EkB=m=
Ep0，故D正确。
7.(多选)如图甲所示，光滑水平面上放置P、Q两物体，Q静止且左端接有一水平轻弹簧，P以初速度v0向右运动，当P撞上弹簧后，Q能获得的最大
速度大小为v2。保持P的质量m1不变，改变Q的质量m2，可得与m2的大小
关系如图乙。下列说法正确的是
A.P、Q组成的系统动量守恒
B.P的初速度v0=20 m/s
C.P的质量m1=2 kg
D.若m2=3 kg，弹簧被压缩到最短时的弹性势能为37.5 J
√
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9
答案
√
水平面光滑，P、Q两物体组成的系统受合外力为0，动量守恒，故A正确；
设碰后P的速度为v1，P、Q两物体碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律
有m1v0=m1v1+m2v2，m1=m1+m2，解得v2=v0，变形得
=m2+，由-m2图像有=0.05 s/m，==0.05 s/kg·m，
解得m1=1 kg，v0=10 m/s，故B、C错误；
若m2=3 kg，弹簧压缩最短时，P、Q共速，由动量守恒定律有m1v0=
(m1+m2)v共，弹簧弹性势能为Ep=m1-(m1+m2)，得Ep=37.5 J，
故D正确。
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答案
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答案
8.如图所示，质量为3m、半径为R的光滑圆弧形轨道槽C静止在光滑水平地面上，槽底端与水平面相切，质量为m的小球A与水平轻弹簧相连接并静止于水平地面上，现有一个质量也为m的小球B(可视为质点)从圆弧轨道最高点由静止下滑。则：
(1)B滑到水平面与C刚分离时，B和C的速度
大小分别是多少？
答案　　
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9
答案
小球B沿圆弧轨道滑至底端的过程中与圆弧轨道C组成的系统水平方向动量守恒，取水平向左的方向为正方向，则有mvB=3mvC
由能量守恒定律得mgR=m+×3m
解得vB=，vC=
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答案
(2)弹簧的最大弹性势能Ep。
答案　
B与弹簧碰撞过程中，A、B的动量守恒，弹簧压缩到最短时A、B共速，弹簧弹性势能最大，设为Ep，则有mvB=2mv
A、B和弹簧组成的系统能量守恒，则有m=×2mv2+Ep
联立解得Ep=
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答案
(3)判断最后小球B是否还能滑上C，说明理由。
答案　见解析
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答案
在小球B先压缩弹簧然后弹簧再恢复形变过程中，B、A组成的系统动量守恒，机械能守恒，
则有mvB=mvB1+mvA1，m=m+m
解得vB1=0，vA1=vB=
即弹簧恢复形变时，B停止，A以大小为的速度向左匀速直线运动，
故B不能再滑上C。
尖子生选练
9.(2025·山东卷)如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道
的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量
m= kg的小球自Q点正上方h=2 m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点
水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15 N时，b解除
锁定开始运动。已知a的质量ma=1 kg，b的质量mb= kg，方形物体的质量M= kg，
重力加速度大小g=10 m/s2，弹簧的劲度系数k=50 N/m，整个过程弹簧均在弹性
限度内，弹性势能表达式Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，所有过程不计空气阻力。求：
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答案
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答案
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v1、v2。
答案　6 m/s　 m/s
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答案
根据题意可知，小球从开始下落到P处过程中，水平方向上动量守恒，则有mv1=Mv2
由能量守恒定律有mgh=m+M
联立解得v1=6 m/s，v2= m/s
即小球速度为6 m/s，方向水平向左，方形物体速度为 m/s，方向水平
向右。
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答案
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小vb及弹性势能的最大值Epm。
答案　 m/s　2.5 J
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答案
由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块a水平方向上动量守恒，则有mv1=(m+ma)v3
解得v3=2 m/s
设当弹簧形变量为x1时物块b的固定解除，此时小球和物块a的速度为v4，根据胡克定律F=kx1
系统机械能守恒(m+ma)=(m+ma)+k
联立解得v4=1 m/s，x1=0.3 m
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答案
固定解除之后，小球、物块a和物块b组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有(m+ma)v4=(m+ma+mb)vb
解得vb= m/s，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为Epm=(m+ma)+k-(m+ma+mb)=2.5 J。
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本课结束
第
一
章

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