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专题强化6　力学规律综合应用
[学习目标]　1.了解处理力学问题的三个基本观点和选用原则(难点)。2.掌握处理力学问题的系统化思维和方法选择(难点)。3.学会选用动力学、动量和能量观点解决问题(重点)。
一、力的三个基本观点和选用原则
1.力的三个作用效果及五个规律
(1)力的三个作用效果
作用效果 对应规律 表达式 列式角度
力的瞬时 作用效果 牛顿第 二定律 F合=ma 动力学
力在空间 上的积累 效果 动能定理 W合=ΔEk即W合=m-m 功和能 的关系
力在时间 上的积累 效果 动量定理 I合=Δp即FΔt=mv'-mv 冲量与动 量的关系
(2)两个守恒定律
名称 表达式 列式角度
能量守恒定律(包括机械能守恒定律) E1=E2 能量转化(转移)
动量守恒定律 p1=p2 动量关系
2.力学规律的选用原则
(1)如果物体受到恒力作用，涉及运动细节可用动力学观点去解决。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时优先考虑利用能量守恒定律求解，根据系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量(即转化为系统内能的量)列方程。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般隐含系统机械能与其他形式能量之间的转化，由于作用时间极短，因此常用动量守恒定律。
例1　如图，光滑的水平地面上静止放置一辆小车A，质量mA=5 kg，上表面光滑，可视为质点的物块B置于A的最右端，B的质量mB=3 kg。现对A施加一个水平向右的恒力F=10 N，A运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A、B粘合在一起，共同在恒力F的作用下继续运动，碰撞后经时间t=0.8 s，二者的速度达到vt=2 m/s。求：
(1)A开始运动时加速度a的大小。
(2)A、B碰撞后瞬间的共同速度v的大小。
(3)A的上表面的长度l。
答案　(1)2 m/s2　(2)1 m/s　(3)0.64 m
解析　(1)以A为研究对象，由牛顿第二定律有F=mAa
代入数据解得a=2 m/s2
(2)A、B碰撞后一起在恒力F的作用下运动时间t的过程中，由动量定理得
Ft=(mA+mB)vt-(mA+mB)v
代入数据解得v=1 m/s
(3)设A、B发生碰撞前，A的速度为vA，
对A、B发生碰撞的过程，由动量守恒定律有
mAvA=(mA+mB)v
A从开始运动到与B发生碰撞前，由动能定理有
Fl=mA
代入数据可得l=0.64 m。
例2　(2025·吉安市高二期末)如图所示，半径为R的半圆弧轨道AB竖直固定在水平面上，AB是竖直直径。劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，左端固定。小球乙(视为质点)静止放置在水平面上，现控制小球甲(视为质点)向左压缩弹簧，当弹簧的压缩量为R时，甲由静止释放，当弹簧恢复原长后，甲与乙发生弹性碰撞，碰后乙恰好能运动到B点。已知乙的质量是甲的3倍，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为Ep=kx2，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力。
(1)求碰撞刚结束时乙的速度大小，以及甲、乙刚要碰撞时甲的速度大小。
(2)求乙的质量以及乙从B点落到水平面的过程中重力的冲量大小。
(3)求乙从A运动到B合力冲量的大小。
答案　(1)　2
(2)　　(3)
解析　(1)设乙的质量为m，
则甲的质量为，乙刚好能到达B点，
则有mg=，解得vB=
乙从A到B，由动能定理可得
-mg×2R=m-m
解得碰撞刚结束时乙的速度大小为vA=
甲、乙发生弹性碰撞，设甲、乙刚要碰撞时甲的速度大小为v0，
则有v0=v甲+mvA，×=×+m
联立解得刚要碰撞时甲的速度大小为v0=2vA=2
(2)弹簧在恢复原长的过程中，由能量守恒可得×=kR2
解得乙的质量为m=
乙从B到水平面做平抛运动，则有2R=gt2
重力的冲量大小为IG=mgt
解得IG=
(3)规定水平向左为正方向，乙从A到B，
速度变化量的大小Δv=vB-(-vA)
由动量定理可得I合=mΔv
联立解得I合=。
1.灵活选取物理过程。在综合题目中，物体运动常有几个不同的过程，根据题目中的特殊位置或时刻，以及可能出现的临界问题等，来灵活地选取不同的物理过程，并选用合适的力学规律来研究解决问题。
2.灵活选取系统。根据题目的特点，在某个过程(或某些过程)中选取其中动量守恒或能量守恒的几个物体为研究对象，不一定选所有的物体为研究对象。
3.列方程前要注意分析、判断所选过程动量、能量的守恒情况，还需注意各方程中矢量的方向性问题。
二、用系统化思维解决问题
例3　质量为m的箱子静止在光滑水平面上，箱子内侧的两壁间距为l，另一质量也为m且可视为质点的物体从箱子中央以v0=的速度开始运动(g为当地重力加速度)，如图所示。已知物体与箱壁共发生5次弹性碰撞，则物体与箱底的动摩擦因数μ的取值范围是(　　)
A.<μ< B.<μ<
C.<μ< D.<μ<
答案　D
解析　物体与箱子组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=2mv共，解得v共=v0。对物体和箱子组成的系统，由能量守恒定律得m=(m+m)+Q，解得Q=m=mgl。由题意可知，物体与箱子发生5次碰撞，则物体相对于箱子运动的总路程应满足l1.系统化思维方法
(1)对多个物理过程进行整体思考，即把几个过程合为一个过程来处理，如用动量观点或能量观点分析比较复杂的运动过程，可不考虑过程细节。
(2)对多个研究对象进行整体思考，即把两个或两个以上的物体作为一个整体进行考虑，如应用动量守恒定律时，就是把多个物体看成一个整体(或系统)。
2.若单独利用动量观点(或能量观点)无法解决问题，可尝试两种观点结合联立方程求解。
专题强化练
[分值：50分]
[1、2题，每题4分]
1.如图所示，质量为m的多个相同的物体沿同一直线均匀地摆放在水平桌面上，两个相邻物体间的距离都为l=0.15 m，物体与桌面间的动摩擦因数μ=0.1，现在给最左端的物体一向右的水平初速度v=2 m/s，物体间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度g取10 m/s2，则被碰的物体个数是(　　)
A.1 B.2 C.13 D.14
答案　C
解析　物体间的碰撞为弹性碰撞，而且物体的质量相等，所以两碰撞的物体速度交换，最后被碰撞的物体末速度为零，由能量守恒知，动能全部转化为内能，x为物体运动的位移总和，有mv2=μmgx，得x=2 m，故被碰的物体个数n==≈13.3，取整数，故选C。
2.(2025·南京市高二期末)如图所示，在光滑的水平桌面上有体积相同的两个小球A、B，质量分别为m=0.1 kg和M=0.3 kg，两球中间夹着一根压缩的水平轻弹簧，原来处于静止状态，同时放开A、B球和弹簧，已知A球脱离弹簧的速度为6 m/s，接着A球进入与水平面相切、半径为0.5 m的竖直面内的光滑固定半圆形轨道运动，PQ为半圆形轨道竖直的直径，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.弹簧弹开过程，弹力对A的冲量与弹力对B的冲量相同
B.刚开始弹簧的弹性势能大小为2.0 J
C.A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量大小为0.2 N·s
D.若使A球不能到达Q点，则半圆形轨道半径应大于0.72 m
答案　D
解析　弹簧弹开过程，弹力对A的冲量与弹力对B的冲量大小相等，方向相反，故A错误；弹簧弹开过程，由动量守恒定律可得mv1=Mv2，解得A球脱离弹簧时，B球获得的速度大小为v2== m/s=2 m/s，根据能量守恒可知，刚开始弹簧的弹性势能大小为Ep=m+M=2.4 J，故B错误；设A球运动到Q点时速率为v，对A球从P点运动到Q点的过程，由能量守恒定律可得m=mg×2R+mv2，解得v=4 m/s，根据动量定理可得I合=mv-(-mv1)=1 N·s，即A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量大小为1 N·s，故C错误；设A球刚好能到达Q点时速度大小为vQ，则有mg=m，对A球从P点运动到Q点的过程，由能量守恒定律可得m=mg×2R'+m，联立解得R'=0.72 m，则要使A球不能到达Q点，则半圆形轨道半径应大于0.72 m，故D正确。
3.(11分)如图所示，一条光滑的轨道平滑连接，固定在竖直平面内，ab段水平，cde段是以O为圆心、R为半径的一段圆弧。滑块A以某一初速度沿ab方向运动，与静止于b处的滑块B发生弹性碰撞，滑块A和B均可视为质点，质量分别为m和3m。B运动到d点时速度沿水平方向，大小为，重力加速度为g，求：
(1)(3分)滑块B在d点时对轨道的作用力大小。
(2)(5分)滑块A的初速度大小v0。
(3)(3分)滑块B对滑块A的冲量。
答案　(1)mg　(2)3　(3)m，方向沿ba方向
解析　(1)滑块B在d点由重力与轨道对B的支持力的合力提供向心力，
有3mg-FN=3m，
解得FN=mg
根据牛顿第三定律，B在d点对轨道的压力为mg
(2)滑块B由b到d，根据动能定理有
-3mgR=×3m-×3m，
A、B发生弹性碰撞，以沿ab方向为正方向，由动量守恒和机械能守恒有
mv0=mv1+3mvb，
m=m+×3m
解得v0=3，v1=-
(3)根据动量定理
I=Δp=mv1-mv0=-m，
负号表示冲量的方向沿ba方向。
[4题6分]
4.(多选)如图所示，某超市两辆相同的购物车质量均为m，相距L沿直线排列，静置于水平地面上。为节省收纳空间，工人猛推一下第一辆车并立即松手，第一辆车运动距离L后与第二辆车相碰并相互嵌套结为一体，两辆车一起运动了L距离后恰好停靠在墙边。若购物车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，重力加速度为g，则(　　)
A.两购物车在整个过程中克服摩擦力做功之和为2kmgL
B.两购物车碰撞后瞬间的速度大小为
C.两购物车碰撞时的能量损失为2kmgL
D.工人给第一辆购物车的水平冲量大小为m
答案　CD
解析　由题意可知，两购物车在整个过程中克服摩擦力做功之和为W克f=kmgL+2kmgL=3kmgL，A错误；工人猛推一下第一辆车并立即松手，设此时第一辆车的速度为v0，运动L距离后速度为v1，由动能定理可得-kmgL=m-m，则v1=，设和第二辆车碰后共同速度为v，取第一辆车的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可得mv1=2mv，则v=v1，两购物车在碰撞中系统减少的机械能ΔE=m-×2mv2=m-×2m(v1)2=m=m(-2kgL)，由能量守恒定律可得3kmgL+ΔE=m，联立解得v0=，则v=v1==，ΔE=2kmgL，B错误，C正确；由动量定理可知，工人给第一辆购物车的水平冲量大小为I=mv0-0=m，D正确。
5.(12分)(2025·六安市高二期末)如图所示，一半径为R=0.2 m的光滑固定四分之一圆弧轨道，圆弧A点和对应的圆心O点等高，圆弧底端B点与水平传送带平滑相接。传送带匀速运行的速度为v0=3 m/s，B点到传送带右端C点的距离为L=2 m。在圆弧底端B点静置一个质量为m2=1.5 kg的滑块M2(未画出)，一质量为m1=0.5 kg的滑块M1从顶端A点由静止滑下，在B点与M2发生弹性碰撞，碰撞后M2沿传送带向右滑动，当滑到传送带的右端C点时，其速度恰好与传送带的速度相同。两滑块均可看成质点，g取10 m/s2。求：
(1)(4分)滑块M1到达底端B点与滑块M2碰撞前对轨道的压力。
(2)(5分)滑块M2与传送带间的动摩擦因数μ。
(3)(3分)此过程中，由于滑块M2与传送带之间的摩擦而产生的热量Q。
答案　(1)15 N，方向竖直向下　(2)0.2　(3)3 J
解析　(1)滑块M1由A点到B点的过程中，由机械能守恒定律得m1gR=m1
解得v1=2 m/s
设滑块M1在B处受到轨道的支持力为FB，在B点，由牛顿第二定律得FB-m1g=m1
解得FB=15 N
由牛顿第三定律得滑块M1到达底端B点时对轨道的压力大小为15 N，方向竖直向下。
(2)设碰撞后瞬间滑块M1、M2的速度大小分别为v1'、v2'，由于发生弹性碰撞，由动量守恒定律得m1v1=m1v1'+m2v2'
由机械能守恒定律得m1=m1v1'2+m2v2'2
解得v2'=1 m/s
滑块M2在从B点到C点的运动过程中，由牛顿第二定律得μm2g=m2a
由速度位移关系式得-v2'2=2aL
解得μ=0.2
(3)设滑块M2在从B点到C点做匀加速直线运动的时间为t，由速度公式得v0=v2'+at
由于滑块M2与传送带之间的摩擦而产生的热量Q=μm2g(v0t-L)
联立解得Q=3 J
6.(13分)(2025·江苏卷)如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)(4分)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小。
(2)(4分)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1。
(3)(5分)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。
答案　(1)v0　(2)　(3)m
解析　(1)根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知，碰撞过程中，相碰二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度v0。
(2)根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有mv0=mv1+3mv2
由能量守恒定律有m=m+×3m
解得v1=-v0，v2=v0
负号表示速度反向，则第一次碰撞后玻璃球的速度大小为v0。
(3)根据题意结合(2)问分析可知，玻璃球与右侧第一个钢球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个钢球与第二个钢球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个钢球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小变为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞2n次后速度大小为v=v0
则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小Ek=mv2=m。(共45张PPT)
第
一
章
力学规律综合应用
专题强化6
1.了解处理力学问题的三个基本观点和选用原则(难点)。
2.掌握处理力学问题的系统化思维和方法选择(难点)。
3.学会选用动力学、动量和能量观点解决问题(重点)。
学习目标
内容索引
专题强化练
一、力的三个基本观点和选用原则
二、用系统化思维解决问题
< 一 >
力的三个基本观点和选用原则
1.力的三个作用效果及五个规律
(1)力的三个作用效果
作用效果 对应规律 表达式 列式角度
力的瞬时作用效果 牛顿第二定律 F合=ma 动力学
力在空间上的积累效果 动能定理 W合=ΔEk即W合=m-m 功和能的关系
力在时间上的积累效果 动量定理 I合=Δp即FΔt=mv'-mv 冲量与动量的关系
(2)两个守恒定律
名称 表达式 列式角度
能量守恒定律(包括机械能守恒定律) E1=E2 能量转化(转移)
动量守恒定律 p1=p2 动量关系
2.力学规律的选用原则
(1)如果物体受到恒力作用，涉及运动细节可用动力学观点去解决。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时优先考虑利用能量守恒定律求解，根据系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量(即转化为系统内能的量)列方程。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般隐含系统机械能与其他形式能量之间的转化，由于作用时间极短，因此常用动量守恒定律。
如图，光滑的水平地面上静止放置一辆小车A，质量mA=5 kg，上表面光滑，可视为质点的物块B置于A的最右端，B的质量mB=3 kg。现对A施加一个水平向右的恒力F=10 N，A运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A、B粘合在一起，共同在恒力F的作用下继续运动，碰撞后经时间t=0.8 s，二者的速度达到vt=2 m/s。求：
(1)A开始运动时加速度a的大小。
例1
答案　2 m/s2
以A为研究对象，由牛顿第二定律有F=mAa
代入数据解得a=2 m/s2
(2)A、B碰撞后瞬间的共同速度v的大小。
答案　1 m/s
A、B碰撞后一起在恒力F的作用下运动时间t的过程中，由动量定理得
Ft=(mA+mB)vt-(mA+mB)v
代入数据解得v=1 m/s
(3)A的上表面的长度l。
答案　0.64 m
设A、B发生碰撞前，A的速度为vA，
对A、B发生碰撞的过程，由动量守恒定律有
mAvA=(mA+mB)v
A从开始运动到与B发生碰撞前，由动能定理有
Fl=mA
代入数据可得l=0.64 m。
(2025·吉安市高二期末)如图所示，半径为R的半圆弧轨道AB竖直固定在水平面上，AB是竖直直径。劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，左端固定。小球乙(视为质点)静止放置在水平面上，现控制小球甲(视为质点)向左压缩弹簧，当弹簧的压缩量为R时，甲由静止释放，当弹簧恢复原长后，甲与乙发生弹性碰撞，碰后乙恰好能运动到B点。已知乙的质量是甲的3倍，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k
之间的关系式为Ep=kx2，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力。
(1)求碰撞刚结束时乙的速度大小，以及甲、乙
刚要碰撞时甲的速度大小。
例2
答案　　2
设乙的质量为m，则甲的质量为，乙刚好能到达B点，
则有mg=，解得vB=
乙从A到B，由动能定理可得
-mg×2R=m-m
解得碰撞刚结束时乙的速度大小为vA=
甲、乙发生弹性碰撞，设甲、乙刚要碰撞时甲的速度大小为v0，
则有v0=v甲+mvA，×=×+m
联立解得刚要碰撞时甲的速度大小为v0=2vA=2
(2)求乙的质量以及乙从B点落到水平面的过程中重力的冲量大小。
答案　　
弹簧在恢复原长的过程中，由能量守恒可得×=kR2
解得乙的质量为m=
乙从B到水平面做平抛运动，则有2R=gt2
重力的冲量大小为IG=mgt
解得IG=
(3)求乙从A运动到B合力冲量的大小。
答案　
规定水平向左为正方向，乙从A到B，
速度变化量的大小Δv=vB-(-vA)
由动量定理可得I合=mΔv
联立解得I合=。
总结提升
1.灵活选取物理过程。在综合题目中，物体运动常有几个不同的过程，根据题目中的特殊位置或时刻，以及可能出现的临界问题等，来灵活地选取不同的物理过程，并选用合适的力学规律来研究解决问题。
2.灵活选取系统。根据题目的特点，在某个过程(或某些过程)中选取其中动量守恒或能量守恒的几个物体为研究对象，不一定选所有的物体为研究对象。
3.列方程前要注意分析、判断所选过程动量、能量的守恒情况，还需注意各方程中矢量的方向性问题。
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< 二 >
用系统化思维解决问题
质量为m的箱子静止在光滑水平面上，箱子内侧的两壁间距为l，另一质量也为m且可视为质点的物体从箱子中央以v0=的速度开始运动(g为当地重力加速度)，如图所示。已知物体与箱壁共发生5次弹性碰撞，则物体与箱底的动摩擦因数μ的取值范围是
A.<μ< B.<μ<
C.<μ< D.<μ<
例3
√
物体与箱子组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=2mv共，解得v共=v0。对物体和箱子组成的系统，由能量守恒定律得m=(m+m)+Q，解得Q=m=mgl。由题意可知，物体与箱子发生5次碰撞，则物体相对于箱子运动的总路程应满足l总结提升
1.系统化思维方法
(1)对多个物理过程进行整体思考，即把几个过程合为一个过程来处理，如用动量观点或能量观点分析比较复杂的运动过程，可不考虑过程细节。
(2)对多个研究对象进行整体思考，即把两个或两个以上的物体作为一个整体进行考虑，如应用动量守恒定律时，就是把多个物体看成一个整体(或系统)。
2.若单独利用动量观点(或能量观点)无法解决问题，可尝试两种观点结合联立方程求解。
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< 三 >
专题强化练
题号 1 2 3
答案 C D (1)mg　(2)3　(3)m，方向沿ba方向
题号 4 5 6
答案 CD (1)15 N，方向竖直向下 (2)0.2　(3)3 J (1)v0　(2)　(3)m
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
1.如图所示，质量为m的多个相同的物体沿同一直线均匀地摆放在水平桌面上，两个相邻物体间的距离都为l=0.15 m，物体与桌面间的动摩擦因数μ=0.1，现在给最左端的物体一向右的水平初速度v=2 m/s，物体间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度g取10 m/s2，则被碰的物体个数是
A.1 B.2
C.13 D.14
基础强化练
√
1
2
3
4
5
6
答案
1
2
3
4
5
6
答案
物体间的碰撞为弹性碰撞，而且物体的质量相等，所以两碰撞的物体速度交换，最后被碰撞的物体末速度为零，由能量守恒知，动能全部
转化为内能，x为物体运动的位移总和，有mv2=μmgx，得x=2 m，故被碰
的物体个数n==≈13.3，取整数，故选C。
2.(2025·南京市高二期末)如图所示，在光滑的水平桌面上有体积相同的两个小球A、B，质量分别为m=0.1 kg和M=0.3 kg，两球中间夹着一根压缩的水平轻弹簧，原来处于静止状态，同时放开A、B球和弹簧，已知A球脱离弹簧的速度为6 m/s，接着A球进入与水平面相切、半径为0.5 m的竖直面内的光滑固定半圆形轨道运动，PQ为半圆形轨道竖直的直径，g取10 m/s2，下列说法正确的是
A.弹簧弹开过程，弹力对A的冲量与弹力对B的冲量相同
B.刚开始弹簧的弹性势能大小为2.0 J
C.A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量大小为
0.2 N·s
D.若使A球不能到达Q点，则半圆形轨道半径应大于0.72 m
√
1
2
3
4
5
6
答案
弹簧弹开过程，弹力对A的冲量与弹力对B的冲量大小相等，方向相反，故A错误；
弹簧弹开过程，由动量守恒定律可得mv1=Mv2，解得A球脱离弹簧时，
B球获得的速度大小为v2== m/s=2 m/s，根据能量守恒可知，刚
开始弹簧的弹性势能大小为Ep=m+M=2.4 J，故B错误；
1
2
3
4
5
6
答案
设A球运动到Q点时速率为v，对A球从P点运动到Q点的过程，由能量
守恒定律可得m=mg×2R+mv2，解得v=4 m/s，根据动量定理可得
I合=mv-(-mv1)=1 N·s，即A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量
大小为1 N·s，故C错误；
设A球刚好能到达Q点时速度大小为vQ，则有mg=m，对A球从P点运动
到Q点的过程，由能量守恒定律可得m=mg×2R'+m，联立解得
R'=0.72 m，则要使A球不能到达Q点，则半圆形轨道半径应大于0.72 m，故D正确。
1
2
3
4
5
6
答案
3.如图所示，一条光滑的轨道平滑连接，固定在竖直平面内，ab段水平，cde段是以O为圆心、R为半径的一段圆弧。滑块A以某一初速度沿ab方向运动，与静止于b处的滑块B发生弹性碰撞，滑块A和B均可视为质点，质量
分别为m和3m。B运动到d点时速度沿水平方向，大小为，重力加速度
为g，求：
(1)滑块B在d点时对轨道的作用力大小。
1
2
3
4
5
6
答案
答案　mg
1
2
3
4
5
6
答案
滑块B在d点由重力与轨道对B的支持力的合力提供向心力，
有3mg-FN=3m，
解得FN=mg
根据牛顿第三定律，B在d点对轨道的压力为mg
(2)滑块A的初速度大小v0。
答案　3
滑块B由b到d，根据动能定理有
-3mgR=×3m-×3m，
A、B发生弹性碰撞，以沿ab方向为正方向，由动量守恒和机械能守恒有
mv0=mv1+3mvb，
m=m+×3m
解得v0=3，v1=-
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答案
(3)滑块B对滑块A的冲量。
答案　m，方向沿ba方向
根据动量定理
I=Δp=mv1-mv0=-m，
负号表示冲量的方向沿ba方向。
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答案
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答案
能力综合练
4.(多选)如图所示，某超市两辆相同的购物车质量均为m，相距L沿直线排列，静置于水平地面上。为节省收纳空间，工人猛推一下第一辆车并立即松手，第一辆车运动距离L后与第二辆车相碰并相互嵌套结为一体，两辆车一起运动了L距离后恰好停靠在墙边。若购物车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，重力加速度为g，则
A.两购物车在整个过程中克服摩擦力做功之和为2kmgL
B.两购物车碰撞后瞬间的速度大小为
C.两购物车碰撞时的能量损失为2kmgL
D.工人给第一辆购物车的水平冲量大小为m
√
√
由题意可知，两购物车在整个过程中克服摩擦力做功之和为W克f=kmgL
+2kmgL=3kmgL，A错误；
工人猛推一下第一辆车并立即松手，设此时第一辆车的速度为v0，运动L距离后速度为v1，由动能定理可得-kmgL=m-m，则v1=，设和第二辆车碰后共同速度为v，取第一辆车的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可得mv1=2mv，则v=v1，两购物车在碰撞中系统减少
的机械能ΔE=m-×2mv2=m-×2m(v1)2=m=m(-2kgL)，
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答案
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答案
由能量守恒定律可得3kmgL+ΔE=m，联立解得v0=，则v=v1
==，ΔE=2kmgL，B错误，C正确；
由动量定理可知，工人给第一辆购物车的水平冲量大小为I=mv0-0= m，D正确。
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答案
5.(2025·六安市高二期末)如图所示，一半径为R=0.2 m的光滑固定四分之一圆弧轨道，圆弧A点和对应的圆心O点等高，圆弧底端B点与水平传送带平滑相接。传送带匀速运行的速度为v0=3 m/s，B点到传送带右端C点的距离为L=2 m。在圆弧底端B点静置一个质量为m2=1.5 kg的滑块M2(未画出)，一质量为m1=0.5 kg的滑块M1从顶端A点由静止滑下，在B点与M2发生弹性碰撞，碰撞后M2沿传送带向右滑动，当滑到传送带的右端C点时，其速度恰好与传送带的速度相同。两滑块均可看成质点，g取10 m/s2。求：
(1)滑块M1到达底端B点与滑块M2碰撞前对轨道
的压力。
答案　15 N，方向竖直向下
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答案
滑块M1由A点到B点的过程中，由机械能守恒定律得m1gR=m1
解得v1=2 m/s
设滑块M1在B处受到轨道的支持力为FB，在B点，由牛顿第二定律得FB-
m1g=m1
解得FB=15 N
由牛顿第三定律得滑块M1到达底端B点时对轨道的压力大小为15 N，方向竖直向下。
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答案
(2)滑块M2与传送带间的动摩擦因数μ。
答案　0.2
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答案
设碰撞后瞬间滑块M1、M2的速度大小分别为v1'、v2'，由于发生弹性碰撞，由动量守恒定律得m1v1=m1v1'+m2v2'
由机械能守恒定律得m1=m1v1'2+m2v2'2
解得v2'=1 m/s
滑块M2在从B点到C点的运动过程中，由牛顿第二定律得μm2g=m2a
由速度位移关系式得-v2'2=2aL
解得μ=0.2
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答案
(3)此过程中，由于滑块M2与传送带之间的摩擦而产生的热量Q。
答案　3 J
设滑块M2在从B点到C点做匀加速直线运动的时间为t，由速度公式得v0=v2'+at
由于滑块M2与传送带之间的摩擦而产生的热量Q=μm2g(v0t-L)
联立解得Q=3 J
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答案
6.(2025·江苏卷)如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球
最终运动的速度大小。
答案　v0
根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知，碰撞过程中，相碰二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度v0。
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答案
(2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1。
答案　
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答案
根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有mv0=mv1 +3mv2
由能量守恒定律有m=m+×3m
解得v1=-v0，v2=v0
负号表示速度反向，则第一次碰撞后玻璃球的速度大小为v0。
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答案
(3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。
答案　m
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答案
根据题意结合(2)问分析可知，玻璃球与右侧第一个钢球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个钢球与第二个钢球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个钢球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小变为
碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞2n次后速度大小为v=v0
则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小Ek=mv2=m。
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第
一
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