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四川省南充市2026年初中学业水平考试数学试题
(满分150分,时间120分钟)
注意事项：1.答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；
2.所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写.
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)
每小题都有代号为 A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.
1. 计算2＋(－2)结果是
(A) －4 (B) －1
(C) 0 (D) 4
2. 如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是
(A) PA (B) PB
(C) PC (D) PD
3. 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表.如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择
(A)甲 (B)乙
(C) 丙 (D) 丁 (第3题)
4. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”.设有牧童x人，可列方程为
(A) 3x＋5＝5x－7 (B) 5x＋3＝7x－5
(C) 3x－5＝5x＋7 (D) 5x－3＝7x＋5
5. 如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°,则∠β大小为
(A) 95° (B) 100°
(C) 105° (D) 110°
6. 如图, AB为⊙O直径,弦CD⊥AB于E, OB＝CD＝2,则OE长为
(A) 1
(C) 2
7. 已知 则 的值为
(A) －1 (B) 0
(C) 1 (D) 2
8.反比例函数图象经过M(a, － 3), N(2, b)两点,若a＜－2,则b的取值范围是
(A) b＜－3 (B) b＞－3 (C) b＜3 (D) b＞3
9.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔 P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A', B'),且AB⊥A'B, A'B'⊥A'B,若AB＝10cm, P到A'B的距离PQ＝6cm,则A'B'长为
(A) 12cm (B) 13.5cm (C) 15cm (D) 18cm
10.已知抛物线 与 过原点O的直线l与抛物线C ，C 的另一个交点分别为A ，A ，如果 则m的值为
(A) －3或 (B) －3或1 或 或1
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
请将答案填在答题卡对应的横线上.
11.若 则x的值为 ▲ .
12.现有 3 张无差别的卡片，上面分别写有化学式 CO ，H O，Fe.随机抽取 2 张，那么这 2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为 ▲ .
13.如图,在 Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝10, AC＝8.分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于 M，N两点,直线 MN分别交AC,AB于点D,E,则DE的长为 ▲ .
14.如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点 P 爬到顶点 Q，蚂蚁爬行的最短距离为 ▲ cm.
15.抛物线 与x轴交于A，B两点，且 则m的值为 ▲ .
16.如图,点P在正方形ABCD内,且AP＝AB＝1,将PB绕点B顺时针旋转 90°得到 P'B,连接PC, P'C, PP', PP'交 BC于点 M.下列结论: ①CP'＝1; ②PC的最小值为 ③D, P, P'三点共线; ④当△MCP'为等腰三角形时, BP'的长为 其中正确结论为 ▲ .(填写序号)
三、解答题 (本大题共9个小题，共86分)
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)
先化简，再求值： 其中a＝－2.
18.(8分)
请在横线上添加下列条件中的一个：①AE＝CF，②BE＝BF，③BE∥DF，使结论成立，并完成证明.
【条件】如图,在 ABCD中, 点E,F分别在边AD,BC上， ▲ .(选填序号，选择一个正确的即可)
【结论】∠ABE＝∠CDF.
19. (8分)
为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动.现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：
A组(50≤x＜60),B组(60≤x＜70),C组(70≤x＜80),D组(80≤x＜90),E组(90≤x≤100).
并绘制出了两幅不完整的统计图 (如右图).根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空: m＝ ▲ ;
m名队员比赛成绩的中位数落在 ▲ 组(选填组名).
(2)从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率.
20.(10分)
关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根。
(2)已知方程的两个实数根分别为x ，x ，且 求k的值.
21.(10分)
如图，一次函数图象与y轴交于点A(0，－3)，与x轴交于点B(6, 0), 与反比例函数图象交于点C(m, 1).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2) 点P在反比例函数第一象限图象上, ∠BOP＝∠OAB,求点 P的坐标.
22. (10分)
如图,在⊙O中,AB为直径,AC为切线, 点D在⊙O上,
∠C＋2∠B＝180°.
(1) 求证: CD是⊙O的切线.
(2) 若 求AB的长.
23. (10分)
在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息.
背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境.为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利.鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋. (温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋)
素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚.
素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋； 经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理.
素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理.
根据以上信息，完成下列任务：
【任务一】(1)该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚
【任务二】(2)工厂有几种安排加工线的方案
【任务三】(3)如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润.
24. (10分)
在菱形ABCD中,对角线AC, BD相交于点O, AP＝AB.
【初步感知】(1)如图1,点P在线段AC上,若OP＝2CP, AC＝6,求AB的长.
【深入探究】(2)如图2,点P在线段CD上,若CP＝DP,设AB长为x, AC长为y,求y与x之间的函数关系式.
【拓展运用】(3)如图3，点 P在线段CD上，将∧ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求 的值.
25. (12分)
已知抛物线 (t为常数).
(1)若抛物线过点(－3, m), (1, m),求t的值.
(2)抛物线与x轴交于A, B两点,点P(2t－1, 0)为线段AB上一点,过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线 交于点 M,N,求 MN 最大值.
(3)点 C(x , y ), D(x , y )都在抛物线上,当 时，都有y ＜y ,求t的取值范围.
南充市二○二六年初中学业水平考试
数学参考答案及评分意见
说明：
1.阅卷前认真阅读参考答案和评分意见，明确评分标准，不得随意拔高或降低标准，
2.全卷满分150分，参考答案和评分意见所给分数表示考生正确完成当前步骤时应得的累加分数.
3.参考答案和评分意见仅是解答的一种，如果考生的解答与参考答案不同，只要正确就应该参照评分意见给分.合理精简解答步骤，其简化部分不影响评分.
4.要坚持每题评阅到底.如果考生解答过程发生错误，只要不降低后继部分的难度且后继部分再无新的错误，可得不超过后继部分应得分数的一半；如果发生第二次错误，后面部分不予得分；若是相对独立的得分点，其中一处错误不影响其它得分点的评分.
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B B B A D C A
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11. － 1; 12. 13. 3; 14. 100; 15. 1或3; 16. ①③.
三、解答题(本大题共9个小题，共86分)
17.解:原式: (4分)
＝6a＋5. (6分)
当a＝－2时,原式＝6×(－2)＋5＝－7. (8分)
18.解: ① (或③). (2分)
【选择①证明】
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB＝CD, ∠A＝∠C. (4分)
在△ABE和△CDF中, (7分)
∴∠ABE＝∠CDF. (8分)
【选择③证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC, AD∥BC. (4分)
∴∠AEB＝∠EBF. (5分)
又∵BE∥DF, ∴∠AEB＝∠ADF.
∴∠EBF＝∠ADF. (6分)
∴∠ABC－∠EBF＝∠ADC－∠ADF, (7分)
即∠ABE＝∠CDF. (8分)
19.解: (1) 20: C. (4分)
(2)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
由表可知，选择2名队员共有12种等可能结果，同时选中甲和乙共2种可能.
(8分)
20. (1) 证明:∴ ) [ (2分)
[ (4分)
∴该方程有两个不相等的实数根. [ (5分)
(2)解：由根与系数的关系得 [ (7分)
解得 (8分)
(9分)
整理得 . 解得k＝4或k＝－5.
即k的值为4或－5. (10分)
21. 解: (1) 设一次函数为y＝ kx＋b(k≠0). [ (1分)
∵点A(0, －3), B(6, 0) 在一次函数图象上,
解得 一次函数解析式为 (3分)
∵点C(m, 1) 在直线 上, ∴C(8, 1). (4分)
设反比例函数为 (5分)
解得n＝8.∴反比例函数为 (6分)
(2) 过点P作PQ⊥x轴于点Q. (7分)
∵点A(0, － 3), B(6, 0), ∴OA＝3, OB＝6. (8分)
∵∠AOB＝∠PQO＝90°, ∠BOP＝∠OAB,
∴△AOB∽△OQP.
(9分)
设点P (a,2a)(a＞0), 又点P在反比例函数 上.
取正数解得a＝2. (1分)
经检验a＝2是原方程的解. ∴P (2,4). (10分)
22. 解: (1) 证明: 连接OD. (2分)
∵AC是⊙O的切线, ∴∠OAC＝90°.
∵∠C＋2∠B＝180°, ∠DOA＝2∠B, ∴∠C＋∠DOA＝180°. (3分)
∴∠ODC＝360°－(∠C＋∠DOA)－∠OAC＝90°. ∴OD⊥DC, [ (4分)
∴CD是⊙O的切线. (5分)
(2) 过点A 作AE⊥CD于点E,
过点 O 作OF⊥AE于点 F. (6分)
(7分)
∵AC, CD是⊙O的切线, ∴CD＝CA＝10.
∴DE＝CD－CE＝4. [ (8分)
易得四边形ODEF是矩形,设OA＝OD＝r,
EF＝OD＝r, OF＝DE＝4, AF＝8－r. (9分)
在 Rt△OAF中, 有
解得r＝5, ∴AB＝10. (10分)
23.解：(1)设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n万枚. (1分)
由题意得 (2分)
解得 (3分)
加工厂每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，咸蛋2万枚.
(2)设该月有x条加工线加工皮蛋，有(9－x)条加工线加工咸蛋. (4分)
由题意得 解得 (5分)
∵加工厂安排皮蛋加工线不低于3条， (6分)
又x为正整数，则x＝3或4或5.因此加工厂有3种安排方案. (7分)
(3)未能加工的鸭蛋数; 30－3x－2(9－x)＝12－x＞0. (8分)
设该月的利润为y万元.
则y＝3x×0.7＋2(9－x)×1.2－(12－x)×0.1
＝－0.2x＋20.4. (9分)
∵－0.2＜0, ∴y随x的增大而减小.
∴当x＝3时, y取得最大值. y最大＝19.8 (万元). (10分)
即安排3条皮蛋加工线，6条咸蛋加工线可获得最大利润19.8万元.
24.解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, AC＝6, ∴OC＝OA＝3. (1分)
∵OP＝2CP, ∴OP＝2. (2分)
∴AB＝AP＝OP＋OA＝5. (3分)
(2)过点 P作 PE⊥AC于点 E.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD, ∴PE∥BD. (4分)
∵CP＝DP, AB＝x, AC＝y,
(5分)
在 Rt△PCE中,
在 Rt△PAE中,
即 整理得 即 (舍去).
∴y与x之间的函数关系式为 (6分)
(3)如图,设AP交BD于点 F.将△ADP 沿直线AP 折叠,使点D落在BC边上的D',连接PD', AD'.
则AD＝AD'＝AP＝AB, ∠D'AP＝∠DAP. (7分)
又∠ABD'＝∠ADP, ∴∠ADP＝∠APD＝∠APD'＝∠AD'P＝∠AD'B＝∠ABD'.
∴∠DAP＝∠D'AP＝∠BAD'. ∵AB∥CD, ∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP.
∵∠PDA＋∠APD＋∠DAP＝180°. ∴5∠DAP＝180°,
∴∠DAP＝36°, ∠APD＝∠ADP＝72°. (8分)
∴∠DPF＝∠DFP＝72°. ∴DF＝AF＝PD.
又∠DPF＝∠APD. ∴△PDF∽△PAD.
(9分)
设DP＝m, DC＝n. 则AP＝n, FP＝n－m.
即 取正数解得
(10分)
25.解：(1)抛物线的对称轴为直线x＝t.
∵抛物线过(－3, m),(1, m), ∴(－3, m)与(1, m) 关于x＝t对称. (2分)
∴t－(－3) ＝1－t. 解得t＝－1,
(2)不妨设点A在点 B的左侧.
, 解得x＝t－1或x＝t＋1. (4分)
∴A(t－1, 0), B(t＋1, 0).
∵点P (2t－1, 0) 为线段AB 上的一点.
∴t－1≤2t－1≤t＋1. 解得0≤t≤2. (5分)
当x＝2t－1时,
(6分)
当 时， (7分)
(3)∵－1＜0, ∴在对称轴x＝t左侧,y随x的增大而增大;在对称轴x＝t右侧，y随x的增大而减小.
根据题意，当 时，
y 的最小值大于y 的最大值. …… (8分)
分析抛物线对称轴x＝t与x＝2和x＝4时三种关系：
①当t＞4时(如示意图1), －2t－1＜t, －2t＜t,
此时都有y ＜y . …… (9分)
②当2＜t≤4时(如示意图2), －2t－1＜t, －2t＜t,
y 在x ＝－2t处取得最大值，只考虑. 时的函数值y 大于y .
故4－t＜t－(－2t). 解得t＞1.
∴2＜t≤4,此时都有y ＜y , (10分).
③当t≤2时，考虑两种情况：
i)当0≤t≤2时(如示意图3－1), －2t－1＜t, －2t＜t,
y 在x ＝－2t处取得最大值,y 在x ＝4处取得最小值.
故4－t＜t－(－2t). 解得t＞1.
∴1＜t≤2, 此时都有y ＜y . (11分)
ii) 当t＜0时, 则－2t＞t.
如果－2t－1＜t,y 的最大值大于y , 即. 不成立；
如果－2t－1＞t(如示意图3－2), y 在 处取得最大值，y 在.x ＝4 处取得最
小值. 则－2t－1＞4, 解得 此时都有y ＜y ,
综上所述，当 或t＞1时, 都有.y ＜y .

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