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第一章 特殊平行四边形
1.3 矩形的性质与判定
课时1 矩形的性质
北师大版九年级数学上册 · 新授课
O
A
B
C
D
学习目标
1. 理解矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形的性质；
2. 能证明矩形的四个角都是直角、对角线相等；
3. 理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
4. 会运用矩形性质解决线段、角度和简单证明问题.
本课重点：矩形四个角都是直角，对角线相等.
复习导入
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
O
A
B
C
D
矩形首先是平行四边形，具有平行四边形的一切性质.
思考：矩形除了平行四边形性质外，还有哪些特殊性质？
新知探究
观察矩形性质
观察矩形纸片 ABCD，并画出两条对角线.你能发现哪些特殊性质？
O
A
B
C
D
猜想1：矩形的四个角都是直角；
猜想2：矩形的对角线相等.
新知探究
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠ABC=90°.
求证：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB∥DC，∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB.
∵ AB∥DC，∴ ∠ABC+∠BCD=180°.
又 ∵ ∠ABC=90°，∴ ∠BCD=90°.
∴ 矩形的四个角都是直角.
新知探究
已知：矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AC=BD.
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC=DB.
性质定理：矩形的对角线相等.
巩固训练
1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
解析：A、B、D 都是平行四边形已有性质；矩形的特殊性质是对角线相等.
答案：C.
新知探究
直角三角形斜边中线
把矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到 Rt△ABC.
设对角线 AC 与 BD 交于点 E.
A
B
C
E
在矩形中，BE 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线.
由矩形对角线相等且互相平分可得：
BE=AC.
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
巩固训练
2.在 Rt△ABC 中，∠B=90°，E 是斜边 AC 的中点，AC=10.
求 BE 的长.
解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
BE=AC=5.
答案：5.
例题讲解
例1.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
O
A
B
C
D
思路：矩形对角线相等且互相平分，所以 OA=OD.
新知探究
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠DAB=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。
∴ OA=OD。
又 ∵ ∠AOD=120°，
∴ ∠OAD=∠ODA=(180°-120°)÷2=30°。
在 Rt△ABD 中，BD=2AB=5。
答：矩形的对角线长为 5。
O
A
B
C
D
巩固训练
3.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=6，OA=4，求 BD 与 AD 的长.
O
A
B
C
D
解析：矩形对角线相等且互相平分，AC=2OA=8，BD=AC=8.
在 Rt△ABD 中，AD =BD -AB =8 -6 =28.
AD=.
巩固训练
4.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：△AOB 是等腰三角形.
O
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC=BD，且 OA=AC，OB=BD.
∴ OA=OB.
∴ △AOB 是等腰三角形.
课堂总结
矩形的性质：
1. 矩形具有平行四边形的一切性质；
2. 矩形的四个角都是直角；
3. 矩形的对角线相等且互相平分.
拓展定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
常用方法：连接对角线，构造直角三角形或等腰三角形.
当堂检测
1. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，若∠AOD=110°，则∠OAD=（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
O
A
B
C
D
解析：矩形对角线相等且互相平分，所以 OA=OD，△AOD 是等腰三角形.
∠OAD=(180°-110°)÷2=35°.
答案：B.
当堂检测
2. 矩形的四个角都是______.
3. 矩形的对角线______且互相______.
4. Rt△ABC 中，∠B=90°，E 是 AC 的中点，AC=14，则 BE=______.
A
B
C
E
解析：根据矩形性质和直角三角形斜边中线定理填写.
答案：直角；相等，平分；7.
当堂检测
5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=8，AD=6.求 AC、BD、OA 的长.
O
A
B
C
D
解：在 Rt△ABD 中，BD =AB +AD =8 +6 =100，
∴ BD=10.
∵ 矩形的对角线相等且互相平分，
∴ AC=BD=10，OA=AC=5.

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