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23.6 用样本推断总体
第二十三章 数据分析与统计估计
能运用样本的平均数估计总体的平均数.
能用样本的方差估计总体的方差并做出决策.
问题1：对容量相同的不同样本，算得的样本平均数相同吗？说明了什么？
容量相同的不同样本，样本平均数一般不相同.
样本平均数具有不确定性.
158.5
160.5
1
小组序号
161.5
159.0
160.2
160.5
160.0
159.3
160.9
159.8
160.4
161.0
159.0
159.6
159.5
160.8
2
3
4
5
6
7
8
为了估计全校初中女生的平均身高，九年级（一）班的8个课外学习小组采用随机抽样方法，分别抽取容量为25和100的样本，样本平均数用 和 表示，结果如下：
活动1 探究样本与总体之间的关系
问题2：观察数轴，在两组样本平均数中，哪一组样本平均数的波动小？这体现了什么样的统计规律？
容量为100的样本平均数波动较小.规律：当样本容量增大时，样本的平均数的波动较小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数较接近.
问题3：如果总体身高的平均数是160.0 cm，哪一组样本平均数整体上更接近160.0 cm
容量为100的样本，即容量大的样本平均数整体上更接近总体平均数.
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160.0
160.4
160.9
161.5
160.2
159.5
159.0
158.5
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160.0
160.5
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159.8
161.0
159.6
159.3
159.0
把得到的样本平均数标在数轴上，如图所示.
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不相同.当样本容量较小时，不同样本的平均数的差异可能较大，但是当样本容量增大时，不同样本的平均数的波动变小，逐渐接近总体的平均数并趋于稳定.
因此，在实际中，我们经常用样本的平均数估计总体的平均数.
同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差.
注意：①样本容量要足够大：
②抽取样本要具有代表性，才能保证估计的结果可信、可靠.
情境1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴，从某天加工的轴中随机抽取了10件，测得其直径（单位：mm）如下：
20.1 19.0 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
问题1：计算样本平均数和样本方差.
问题2：求总体平均数和总体方差的估计值.
问题3：规定当方差不超过0.05时，车床生产情况为正常.判断这台车床的生产情况是否正常.
活动2 样本估计总体的实际应用
情境1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴，从某天加工的轴中随机抽取了10件，测得其直径（单位：mm）如下：
20.1 19.0 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
问题1：计算样本平均数和样本方差.
样本平均数为
样本方差为
情境1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴，从某天加工的轴中随机抽取了10件，测得其直径（单位：mm）如下：
20.1 19.0 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
问题2：求总体平均数和总体方差的估计值.
用样本平均数、方差估计总体平均数、方差
总体平均数和总体方差的估计值分别为20 mm和0. 042.
问题3：规定当方差不超过0.05时，车床生产情况为正常.判断这台车床的生产情况是否正常.
由于方差不超过0.05，所以可以认为车床的生产情况正常.
情境2 一个苹果园，共有2 000 棵树龄相同的苹果树.为了估计今年苹果的总产量，任意选择了6棵苹果树，数出它们挂果的数量(单位:个)分别为:
260 340 280 420 360 380
根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为250 g.
解：6棵苹果树平均挂果的数量为
×(260＋340＋280＋420＋360＋380)＝340(个).
问题：试估计今年苹果园苹果的总产量.
用什么量来估计呢？
0.25×340＝85(kg)，6棵苹果树平均每棵的产量约为85 kg.
由样本平均数估计总体平均数，2 000棵苹果树平均每棵产量约为85 kg，总产量的估计值为85×2 000 ＝170 000(kg).
1.小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量(单位: kW·h)，结果如下：9，
11，7，10，8.根据这些数据，估计她家6月份的用电量为 (　 )
A.180 kW·h　　 B.210 kW·h　　 C.240 kW·h　　 D.270 kW·h
D
2.甲、乙两个样本，甲的样本方差是2.15，乙的样本方差是2.21，那么下列关于样本甲和样本乙的波动大小的说法中，正确的是 ( )
A.甲、乙的波动大小一样 B.甲的波动比乙的波动大
C.乙的波动比甲的波动大 D.无法比较
C
3.从整体中抽取一个样本，计算出样本方差为1，可以估计总体方差(　 )
A.一定大于1　　　 B.约等于1
C.一定小于1　　 D.与样本方差无关
B
4.某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示:
使用寿命x/h 60≤x<100 100≤x<140 140≤x<180
灯泡只数 30 30 40
则这批灯泡的平均使用寿命为　 h.
124
解析：题中使用寿命x(h)的组中值分别为80，120，160，估计这批灯泡的平均使用寿命是 =124(h).
注意：当所给的数据是一个范围时，不是准确数值时，通常取中间值来解答.
5.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下:
日用水量x/m3 0≤x<0.1 0.1≤x<0.2 0.2≤x<0.3 0.3≤x<0.4 0.4≤x<0.5
频数 0 4 2 4 10
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表
日用水量x/m3 0≤x<0.1 0.1≤x<0.2 0.2≤x<0.3 0.3≤x<0.4
频数 2 6 8 4
(1)计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量.
(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水.(一年按365天计算)
解： (1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为 ×(0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45)=0.35(m3)，
使用了节水龙头20天的日平均用水量为 ×(2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)=0.22(m3).
(2)365×(0.35-0.22)=365×0.13=47.45(m3).
答:估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45 m3水.
用样本推断总体
方差
平均数
平均数的作用：反映数据的平均水平
运用样本平均数估计总体平均数解决问题
方差的作用：比较数据的稳定性
根据方差做决策方差

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