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专题05 坐标方法的简单应用【五大题型】
【题型1 点的坐标特征】
1．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，（﹣2，1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵（﹣2，1）的横坐标小于0纵坐标大于0，
∴（﹣2，1）所在的象限是第二象限．
答案：B．
2．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）
解：A、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项不符合题意；
B、（1，﹣2）在第四象限，故本选项符合题意；
C、（1，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
D、（﹣1，2）在第二象限，故本选项不符合题意．
答案：B．
3．（2025 密云区期末）已知点P位于第二象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
解：∵点P在第二象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，
∴点P的横坐标为﹣5，纵坐标为3，
∴点P的坐标为（﹣5，3）．
答案：A．
4．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（m﹣2，m+1），若直线AB与y轴平行，则m的值为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．7
解：因为点A（1，5），B（m﹣2，m+1），且直线AB与y轴平行，
所以m﹣2＝1，
解得m＝3．
答案：B．
5．（2025 东城区期末）已知点P（a+2，4﹣a）到x轴的距离为4，则a的值为　0或8　 ．
解：由条件可知|4﹣a|＝4，
解得a＝0或8，
答案：0或8．
6．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点P的坐标：　（﹣2，5）（答案不唯一）　．
解：在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点P的坐标：（﹣2，5），
答案：（﹣2，5）（答案不唯一）．
【题型2 利用坐标确定位置】
7．（2025 门头沟区期末）如图，已知棋子“车”、“马”的坐标分别为（﹣2，2）、（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）
解：已知棋子“车”的坐标为（﹣2，2）、“马”的坐标为（1，2），
∴建立平面直角坐标系如下：
∴棋子“炮”的坐标为（3，1），
答案：D．
8．（2025 朝阳区期末）如图，在某学校的部分建筑物的平面示意图上，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示教学楼的坐标为（2，1），体育馆的坐标为（﹣2，﹣2），那么这时表示实验楼的坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
解：如图所示：
由平面直角坐标系可知：实验楼坐标为（2，﹣2），
答案：D．
9．（2025 丰台区期末）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，小红认为黑棋放在（2，4）位置胜利；小刚认为黑棋放在（7，﹣1）位置胜利．下列说法正确的是（　　）
A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误
C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确
解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在（2，4）或（7，﹣1）位置就胜利了．
答案：A．
10．（2025 东城区期末）如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为（4，﹣1），复兴门站的坐标为（﹣7，1），则北海北站的坐标为（　　）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，4） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
解：由题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则北海北站的坐标为（﹣2，4）．
答案：B．
11．（2025 房山区期末）2025年4月14日至15日，世界互联网大会亚太峰会在香港会议展览中心召开，本次峰会主题是“数智融合引领未来﹣携手构建网络空间命运共同体”．如图，将世界互联网大会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　（﹣2，﹣2）　．
解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（2，2），
如图，
由图可得：点C的坐标为（﹣2，﹣2）．
答案：（﹣2，﹣2）．
12．（2025 海淀区期末）小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图如示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋A所在位置的坐标为（0，﹣1），白棋B所在位置的坐标为（﹣3，1），则黑棋C所在位置的坐标为　（2，2）　．
解：如图所示，
黑棋C所在位置的坐标为（2，2），
答案：（2，2）．
13．（2025 西城区期末）某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为（﹣1，3），表示中心广场的点的坐标为（1，1），那么表示玫瑰园的点的坐标为　（3，﹣1）　．
解：如图：
则表示玫瑰园的点的坐标为（3，﹣1），
答案：（3，﹣1）．
14．（2025 密云区期末）2025年5月中旬，密云区新城子镇苏家峪村有着580年树龄的流苏古树迎来盛花期，小磊和姐姐计划前往打卡．他们在规划旅游路线时，建立了相同的坐标系描述该地区部分景点所在的位置．
小磊：“紫海香堤香草庄园的坐标是（﹣4，3）”；
姐姐：“古北水镇的坐标是（2，2）”；
实际上，两人描述的位置都是正确的．
根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系．写出“苏家峪村流苏古树”所在位置的坐标为　（3，﹣4）　；此时，“苏家峪村流苏古树”在“紫海香堤香草庄园”的　东南　方向．
解：∵紫海香堤香草庄园的坐标（﹣4，3）和古北水镇的坐标（2，2），
∴如图，
由图可得：苏家峪村流苏古树的坐标为（3，﹣4），在紫海香堤香草庄园的东南方向，
答案：（3，﹣4），东南．
【题型3 坐标与图形性质】
15．（2025 海淀区期末）已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3
解：由条件可知A、B两点的纵坐标相等，
∴a＝﹣2，
由条件可知b＝﹣7或1，
∵点B位于第三象限，
∴b＝﹣7，
∴2a﹣b＝3．
答案：A．
16．（2025 大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），点B（﹣1，﹣2），则图中的∠AOB的大小为（　　）
A．115° B．120° C．135° D．150°
解：过点A作OB的垂线，垂足为M，
结合所给平面直角坐标系中的网格可知，
AM＝OM，且∠AMO＝90°，
∴∠AOM＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣45°＝135°．
答案：C．
17．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为3．若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（　　）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（3，3）或（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）或（3，﹣3）
解：如图，
由图象知，符合条件的点B的坐标为（3，3）或（﹣3，3）．
答案：C．
18．（2025 密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（3，1），点C在线段AB上运动（点C可以与A点或B点重合）．若OC＞OA，则点C的横坐标x的取值范围是（　　）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x≤1
解：如图所示，
点A关于y轴对称点的坐标为（1，1），
当点C在点M处时，OC＝OA．
由OC＞OA可知，点C在线段MB（包括点B）上，
所以点C横坐标x的取值范围是：1＜x≤3．
答案：B．
19．（2025 丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，2），直线MN∥x轴，则点N的坐标可以是　（0，2）（答案不唯一）　（写出一个坐标即可）．
解：
∵在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，2），直线MN∥x轴，
∴点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，
∵M（1，2），
∴点N的坐标可以为（0，2），
答案：（0，2）（答案不唯一）．
20．（2025 东城区期末）已知点M（3，1），N（a+3，a），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为　1　．
解：由题知，
∵点M（3，1），N（a+3，a），且直线MN与y轴平行，
∴a+3＝3，
解得a＝0，
∴点N的坐标为（3，0），
则MN＝1﹣0＝1．
答案：1．
【题型4 用坐标表示平移】
21．（2025 怀柔区期末）如图，B（0，2），C（2，0），D（﹣1，0），将线段DC平移，使点C平移到点B，点A为点D的对应点，则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
解：∵点C（2，0）平移后的对应点B是（0，2），
∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2，
∵D（﹣1，0），点A为点D的对应点，
∴A（﹣1﹣2，0+2），即（﹣3，2）．
答案：A．
22．（2025 海淀区期末）将点A（﹣4，1）向上平移3个单位长度，则对应点B的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣4，4） C．（5，3） D．（﹣9，﹣4）
解：将点A（﹣4，1）向上平移3个单位长度得到点B，则B的坐标是（﹣4，1+3），即（﹣4，4）．
答案：B．
23．（2025 房山区期末）在平面直角坐标系中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，5）
解：∵将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，
∴点A的横坐标为：﹣3+5＝2，纵坐标为2﹣3＝﹣1，
∴点A的坐标为（2，﹣1）．
答案：A．
24．（2025 东城区期末）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（5，3） C．（2，9） D．（﹣9，﹣4）
解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）．
答案：A．
25．（2025 怀柔区期末）若点P（x，y）向下平移3个单位后位于坐标原点，则P点坐标为　（0，3）　．
解：点P（x，y）向下平移3个单位后的坐标为（x，y﹣3），
∵平移后的点位于坐标原点（0，0），
∴x＝0，y﹣3＝0，
∴y＝3，
∴P点坐标为（0，3），
答案：（0，3）．
26．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0，2），B（0，﹣2），C（2，﹣2）．
（1）点P是三角形ABC边上的动点，其纵坐标为a，则|a﹣1|的最大值是　3　；
（2）将三角形ABC向上平移k（k＞0）个单位长度得到三角形A1B1C1，点Q是三角形A1B1C1边上的动点，其纵坐标为b．若满足b＝5的点Q恰有两个，则k的取值范围是　3＜k＜7　．
解：（1）∵点P是三角形ABC边上的动点，其纵坐标为a．
∴﹣2≤a≤2，
∴﹣3≤a﹣1≤1，则|a﹣1|的最大值是|﹣3|＝3．
答案：3．
（2）如图，
∵满足b＝5的点Q恰有两个，
∴将三角形ABC的顶点A平移到线段A'A″之间（不包括端点）时，满足题意，即将三角形ABC向上平移的单位长度大于3，小于等于7，
∴3＜k＜7．
答案：3＜k＜7．
【题型5 坐标系中的新定义问题】
27．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“坐标距离”．已知点N（0，2）、T（t，﹣t）．则下面说法正确的有（　　）
①N，T两点的坐标距离为2t；
②N，T两点坐标距离的最小值为2；
③当N，T两点的坐标距离为4时，O，T两点的坐标距离为2．
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
解：由题知，
因为点N（0，2）、T（t，﹣t），
所以N，T两点的坐标距离为：|0﹣t|+|2﹣（﹣t）|＝|t|+|t+2|．
当t≤﹣2时，|t|+|t+2|＝﹣t+（﹣t﹣2）＝﹣2t﹣2，
当﹣2＜t≤0时，|t|+|t+2|＝﹣t+t+2＝2，
当t＞0时，|t|+|t+2|＝t+t+2＝2t+2，
故①错误；
因为t≤﹣2，
所以﹣2t﹣2≥2；
因为t＞0，
所以2t+2＞2，
综上所述，|t|+|t+2|≥2，
所以N，T两点坐标距离的最小值为2．
故②正确；
因为N，T两点的坐标距离为4，
则t≤﹣2时，﹣2t﹣2＝4，
解得t＝﹣3（符合题意）；
t＞0时，2t+2＝4，
解得t＝1（符合题意），
当t＝﹣3时，点T坐标为（﹣3，3），
则O，T两点的坐标距离为：|0﹣（﹣3）|+|0﹣3|＝6；
当t＝1时，点T坐标为（1，﹣1），
则O，T两点的坐标距离为：|0﹣1|+|0﹣（﹣1）|＝2，
所以O，T两点的坐标距离为6或2．
故③错误．
答案：A．
28．（2025 西城区期末）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为负整数，则称点P为“负整点”，特别地，当的值为整数时，称“负整点”P为“超整点”．已知点P（a﹣3，2a+4），则下列说法正确的有（　　）
①当a＝﹣1时，点P为“负整点”；
②若点P为“负整点”，则点P的个数有限；
③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；
④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由题知，
当a＝﹣1时，
a﹣3＝﹣4，2a+4＝2，
因为2不是负整数，
所以点P不是“负整点”．
故①错误．
由a﹣3＜0且2a+4＜0得，
a＜﹣2，
所以当a为小于﹣2的整数时，点P的横、纵坐标都是负整数，
所以点P为“负整点”时，点P的个数无限．
故②错误．
因为，且a为小于﹣2的整数，
所以只有当a＝﹣7时，为整数，
所以当点P为“超整点”时，点P的个数为1个．
故③正确．
由上述过程可知，
当a＝﹣7时，a﹣3＝﹣10，2a+4＝﹣10，
所以“超整点”P的坐标为（﹣10，﹣10），
则点P到两坐标轴的距离相等．
故④正确．
答案：B．
29．（2025 通州区期末）平面直角坐标系内，若点P到两坐标轴的距离之差等于点Q到两坐标轴的距离之差的绝对值，则称点P，Q互为“等差点”，例如P（﹣2，5）和Q（1，﹣4）到两坐标轴距离之差都等于3，他们互为“等差点”，若点M（﹣7，8）与第一象限的点N（2，2﹣a）互为“等差点”，则a的值为　1或﹣1　．
解：
由条件可知点M到两坐标轴的距离之差的绝对值为|7﹣8|＝1，
∵点N（2，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴|2﹣a|＝2﹣a，
∵点M（﹣7，8）与第一象限的点N（2，2﹣a）互为“等差点”，
∴|2﹣（2﹣a）|＝1，
解得：a＝1或a＝﹣1．
答案：1或﹣1．
30．（2025 西城区期末）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为　﹣1或7　．
解：∵M（﹣2，3），N（1，﹣1），
∴点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为
d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7，
∵P（3，﹣4），Q（t，2），且d（P，Q）＝10，
∴|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，
解得：t＝﹣1或7．
答案：﹣1或7．
31．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A′，则点A′的坐标为　（5，1）　；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点H，使HM∥x轴，且HM＝2，直接写出H点坐标．
解：（1）由题意得：A′（5，1），
答案：（5，1）；
（2）由题意得：N（﹣3m+3+2m，﹣6m+m﹣1），
∴﹣6m+m﹣1＝0，
解得：m＝，
∴N（，0）；
（3）由（2）得：m＝，
∴M（，），
∵HM∥x轴，且HM＝2，
∴H（，）或H（﹣，）．
32．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的较大值为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|．将平面内的一些点分为Ⅰ，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第Ⅰ类中任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．
如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点A，C分为第Ⅰ类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝　2　，d2＝　5　（因此，这种分类方式的分类系数为　5　
（2）将点A，B，C，D，E分为两类，分类系数d的最小值为　4　；
（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围：　﹣4≤m≤﹣3或m＝10　．
解：（1）观察坐标图，根据题意得知，d1＝d（A，C）＝|xA﹣xC|＝2；d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5；
因为d2＞d1，
∴分类系数为5．
答案：2；5；5；
（2）∵由题意可知，d（A，B）＝4，d（A，C）＝2，d（A，D）＝3，d（A，E）＝4，d（B，C）＝4，d（B，D）＝2，d（B，E）＝5，d（C，D）＝2，d（C，E）＝2，d（D，E）＝3，
将A，B，C，D，E分成两类，且分类系数最小，
若B与E分在同一类，则分类系数d＝5；
若B与E分在不同的类，则分类系数d＝4．
∴分类系数d的最小值为4．
答案：4．
（3）如图，
当F（﹣4，2）时：F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5，点A，F的绝对距离是5；
F再向右走时，F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5；
F（﹣3，2）时：F，A分到一类，点B，E的绝对距离是5；
F再向右走时，F，B分到一类，分类系数小于5，不符合题意；
一直到F（10，0），分类系数最小值是5，
综上，﹣4≤m≤﹣3或m＝10．
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专题05 坐标方法的简单应用【五大题型】
【题型1 点的坐标特征】
1．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，（﹣2，1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）
3．（2025 密云区期末）已知点P位于第二象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（3，﹣5）
4．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（m﹣2，m+1），若直线AB与y轴平行，则m的值为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．7
5．（2025 东城区期末）已知点P（a+2，4﹣a）到x轴的距离为4，则a的值为　 　．
6．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点P的坐标：　 　．
【题型2 利用坐标确定位置】
7．（2025 门头沟区期末）如图，已知棋子“车”、“马”的坐标分别为（﹣2，2）、（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）
8．（2025 朝阳区期末）如图，在某学校的部分建筑物的平面示意图上，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示教学楼的坐标为（2，1），体育馆的坐标为（﹣2，﹣2），那么这时表示实验楼的坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
9．（2025 丰台区期末）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，小红认为黑棋放在（2，4）位置胜利；小刚认为黑棋放在（7，﹣1）位置胜利．下列说法正确的是（　　）
A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误
C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确
10．（2025 东城区期末）如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为（4，﹣1），复兴门站的坐标为（﹣7，1），则北海北站的坐标为（　　）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，4） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
11．（2025 房山区期末）2025年4月14日至15日，世界互联网大会亚太峰会在香港会议展览中心召开，本次峰会主题是“数智融合引领未来﹣携手构建网络空间命运共同体”．如图，将世界互联网大会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　 　．
12．（2025 海淀区期末）小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图如示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋A所在位置的坐标为（0，﹣1），白棋B所在位置的坐标为（﹣3，1），则黑棋C所在位置的坐标为　 　．
13．（2025 西城区期末）某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为（﹣1，3），表示中心广场的点的坐标为（1，1），那么表示玫瑰园的点的坐标为　 　．
14．（2025 密云区期末）2025年5月中旬，密云区新城子镇苏家峪村有着580年树龄的流苏古树迎来盛花期，小磊和姐姐计划前往打卡．他们在规划旅游路线时，建立了相同的坐标系描述该地区部分景点所在的位置．
小磊：“紫海香堤香草庄园的坐标是（﹣4，3）”；
姐姐：“古北水镇的坐标是（2，2）”；
实际上，两人描述的位置都是正确的．
根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系．写出“苏家峪村流苏古树”所在位置的坐标为　 　；此时，“苏家峪村流苏古树”在“紫海香堤香草庄园”的　 　方向．
【题型3 坐标与图形性质】
15．（2025 海淀区期末）已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3
16．（2025 大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），点B（﹣1，﹣2），则图中的∠AOB的大小为（　　）
A．115° B．120° C．135° D．150°
17．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为3．若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（　　）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（3，3）或（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）或（3，﹣3）
18．（2025 密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（3，1），点C在线段AB上运动（点C可以与A点或B点重合）．若OC＞OA，则点C的横坐标x的取值范围是（　　）
A．1≤x＜3 B．1＜x≤3 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x≤1
19．（2025 丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，2），直线MN∥x轴，则点N的坐标可以是　 　（写出一个坐标即可）．
20．（2025 东城区期末）已知点M（3，1），N（a+3，a），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为　 　．
【题型4 用坐标表示平移】
21．（2025 怀柔区期末）如图，B（0，2），C（2，0），D（﹣1，0），将线段DC平移，使点C平移到点B，点A为点D的对应点，则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
22．（2025 海淀区期末）将点A（﹣4，1）向上平移3个单位长度，则对应点B的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣4，4） C．（5，3） D．（﹣9，﹣4）
23．（2025 房山区期末）在平面直角坐标系中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，5）
24．（2025 东城区期末）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（5，3） C．（2，9） D．（﹣9，﹣4）
25．（2025 怀柔区期末）若点P（x，y）向下平移3个单位后位于坐标原点，则P点坐标为　 　．
26．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0，2），B（0，﹣2），C（2，﹣2）．
（1）点P是三角形ABC边上的动点，其纵坐标为a，则|a﹣1|的最大值是　 　；
（2）将三角形ABC向上平移k（k＞0）个单位长度得到三角形A1B1C1，点Q是三角形A1B1C1边上的动点，其纵坐标为b．若满足b＝5的点Q恰有两个，则k的取值范围是　 　．
【题型5 坐标系中的新定义问题】
27．（2025 海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“坐标距离”．已知点N（0，2）、T（t，﹣t）．则下面说法正确的有（　　）
①N，T两点的坐标距离为2t；
②N，T两点坐标距离的最小值为2；
③当N，T两点的坐标距离为4时，O，T两点的坐标距离为2．
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
28．（2025 西城区期末）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为负整数，则称点P为“负整点”，特别地，当的值为整数时，称“负整点”P为“超整点”．已知点P（a﹣3，2a+4），则下列说法正确的有（　　）
①当a＝﹣1时，点P为“负整点”；
②若点P为“负整点”，则点P的个数有限；
③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个；
④若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．（2025 通州区期末）平面直角坐标系内，若点P到两坐标轴的距离之差等于点Q到两坐标轴的距离之差的绝对值，则称点P，Q互为“等差点”，例如P（﹣2，5）和Q（1，﹣4）到两坐标轴距离之差都等于3，他们互为“等差点”，若点M（﹣7，8）与第一象限的点N（2，2﹣a）互为“等差点”，则a的值为　 　．
30．（2025 西城区期末）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为　 　．
31．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
（1）已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点A′，则点A′的坐标为　 　；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点H，使HM∥x轴，且HM＝2，直接写出H点坐标．
32．（2025 西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的较大值为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|．将平面内的一些点分为Ⅰ，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第Ⅰ类中任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．
如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点A，C分为第Ⅰ类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝　 　，d2＝　 　（因此，这种分类方式的分类系数为　 　
（2）将点A，B，C，D，E分为两类，分类系数d的最小值为　 　；
（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围：　 　．
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