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第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
回顾与思考
什么叫函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量， y叫因变量.
目前我们已经学习了哪几种类型的函数？
一次函数：y=kx+b(k≠0)
正比例函数： y=kx(k≠0)
有二次函数吗？
喷泉
投篮
彩虹桥
这些美丽的弧
线会与某种函数
有联系吗？
思考
问题①：如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？
水面面积 = 一条边长×另一条边长
x m
(20–x)m
S m
S=x(20–x)
此式表示了边长x与围网的
面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
S= –x2 +20x
解：设矩形水面的一条边长为x m.
问题② ：某公司今年第1个月销售额为100万元.公司制定销售目标,计划每月销售额增长率为 x%.按此计划,第3个月的销售额是多少万元
y=100（1+x）2
解：按题意,第2个月的销售额为 100(1+x)万元,则第3个月的销售额y(单位:万元)为
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
y= 100x2 +200x+100
观察下边两个函数关系式，他们有什么特点呢？
y = 100x2 +200x+100
S = –x2 +20x
函数表达式都是自变量的二次式
思考
你能给这类特殊的函数下个定义吗？
二次函数
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
注意：
(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；
(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；
(3) a，b，c是常数，且a≠0.
S = –x2 +20x
思考
这里的x表示的是矩形的一个边长
问题①：如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
在这个函数关系式中，自变量x的取值有什么限制呢？
解：设矩形水面的一条边长为x m(面积用S表示).
x＞0
长40m的围网
x＜20
所以x的取值范围是：0＜x＜20
二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
(1)y=3x –2 ( )
(2)m= –n –3 ( )
(3)y=x(1–2x)+2x ( )
(4)y=x(+3x) ( )
(5)y=+x –2 ( )
(6)y=x (1+x ) ( )
下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
√
√
×
合并后a=0
√
×
×
关于x的函数
是二次函数，求m的值.
若
是二次函数，须满
足什么条件？
等号右边的整式要含有二次项
二次项系数不等于0
m2–m=2
m+1≠0
解：由题意可得，m2–m=2，m+1≠0.
解得，m=2.
所以m=2时函数
是二次函数.
1．若y关于x的函数y＝axb－7是二次函数，则b＝______，a应该满足______，自变量x的取值范围是__________．
2．下列函数中一定是二次函数的是(　　)
2
a≠0
全体实数
D
A． y＝3x－1 B． y＝ax2＋bx＋c
C. y=+x D． s＝2t2－2t＋1
3． 若关于x的函数y＝(a－1)x2＋x－2是二次函数，则a应满足的条件是(　　)
A． a≠0 B． a＝0
C． a≠1 D． a＝1
C
4．下列函数关系中，可以看成二次函数的是（ ）
A. 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B. 正方形的周长与边长之间的关系
C. 正方形的面积与边长之间的关系
D. 圆的周长与半径之间的关系
C
5． 已知关于x的函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.请写出下列各题中m需满足的条件．
(1)当________时，此函数是一次函数；
(2)当______________时，此函数是二次函数．
m＝－2
m≠－2且m≠0
点拨：
(1)因为函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函数，
所以m2＋2m＝0且m≠0.解得m＝－2.
(2)因为函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函数，
所以m2＋2m≠0，解得m≠－2且m≠0.
二次函数
二次函数的定义：
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
自变量的取值范围：
一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.

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