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湖北省武汉市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、单选题
1．的共轭复数的虚部为（）
A．1 B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则在上的投影向量为（）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．下列命题正确的个数是（）
①空间中三条不同的直线，，满足，，，则，，共面
②已知直线，和平面，且，，则
③如果平面平面，平面平面，那么平面平面
④已知平面，，，且，，，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ）
A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里
8．在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（）
A． B．平面 C． D．平面
10．某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV车型样本均值为475公里，方差为20；轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本车的总方差为48.下列说法正确的是（ ）
A．SUV车型的样本容量为36 B．每辆轿车被抽入到样本的概率为
C．所有样本车的平均续航里程为471公里 D．轿车续航里程的样本方差为30
11．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④.
则下列结论正确的是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．
D．
三、填空题
12．已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为__________.
13．若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为__________.
14．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是__________.
四、解答题
15．设，是两个向量，
(1)若，不共线，且，求实数的值；
(2)已知向量，满足，，，求.
16．在中，角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)，延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度.
17．某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.
(1)估计此次测试分数的平均值；
(2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数；
(3)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？
（参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，.
(1)若平面.证明：；
(2)若平面平面，，
（i）证明：；
（ii）求二面角的正弦值.
19．如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S.
(1)求证：；
(2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积；
(3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值.
参考答案
1．A
【详解】，其共轭复数为，
故的共轭复数的虚部为1.
故选：A
2．D
【详解】
.
故选：D.
3．C
【详解】，
，
，
在上的投影何量为，
故选：C
4．B
【详解】，，
，
故选：B
5．C
【详解】，
只要把上所有点向左平移即可得到
故选：C
6．B
【详解】对于①，当与异面垂直时，此时不共面，故①错误；
对于②，，或，故②错误；
对于③，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，如正方体左侧面和右侧面都垂直于上下底面，但左侧面和右侧面不垂直，故③错误；
对于④，，设，
在平面内存在直线，使得
，，
，，
，，，
，，
，，
和相交，且
，故④正确.

故选：B
7．C
【详解】如图所示，依题意．
在中，，
由正弦定理得，．
在中，由余弦定理可得
，
所以，
故选：C
8．B
【详解】如图，设球心为的外接圆圆心为，连接，
因为为的中点，，所以为的外心，
由为的外心，得三点共线，且．
由题意得平面平面，则，
故直线与平面所成角为的余角，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得R=3，即，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可得，解得，
所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故选：B
9．BC
【详解】对于A，为正四棱柱，
在底面的射影为，
平面，与不重直，
与不垂直，故A错误；
对于B，连接，取的中点，连接，
易知，
四边形为平行里边形，
，
同理可知也为平行四边形，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平面平而，
平面，故B正确；
对于C，取的中点，连接，
易知，
四边形平行四边形，
，同理可证平行四边形，
，
又，，
，
四边动为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边行，
，故C正确；
对于D，连接则
平面平面，
，
，
平面，
平面，
，，
与不垂直，故与平面不可能垂直，故D错误，
故选：BC
10．ACD
【详解】由题意可知，SUV车型应抽取辆车，故A正确；
轿车车型应抽取辆车，
每辆轿车被抽入到样本的概率为，故B错误；
所有样本车的平均续航里程为公里，故C正确；
设轿车续航里程的样本方差为，
由题意，，
解得，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
【详解】对于A，因为，，
所以，故A错误；
对于B，因为因为，，
所以，
所以，故B正确；
对于C，，所以，
，所以，
所以不一定相等，故C错误；
对于D，设，则，
所以，故D正确;
故选：BD．
12．
【详解】如图所示，作圆台的轴截面，依题意，
则，过点作，则
在中，，即圆台的高为
圆台的体积，
故答案为：
13．
【详解】是图象的一个对称中心，
，
，
，
，
当时，，
故答案为：
14．
【详解】，，
，
，
，
整理得，
所以，解得，当且仅当时等号成立，
所以 ．
故面积的最小值为，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）是两个不共线的向量，，
，
，
，解得.
（2），
，
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得
，
即
即，则，
又，所以.
（2）由题知，，，
在中，
，，
又，
所以，
即
由（1）知，即，
所以，解得或（舍去），
即.
17．(1)
(2)65
(3)，分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内.
【详解】（1）1－5组的频率分别为，
.
（2），
这50名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数，
前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
第三四分位数落在内，设为m，
则，解得
这50名店骋者的量低分数力65分.
（3）依题意，
，
，，
，
分的应聘者的成绩进入到了的范围内，
分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内.
18．(1)证明见详解
(2)（i）证明见详解；（ii）
【详解】（1）在中，
由余弦定理得，
即，解得，
，，
底面，平面，，
平面，平面，
平面，平面，平面平面，
，平面，
平面，.
（2）如图：
过点作于点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
又平面，平面，，
，平面，平面，
平面，.
（ii）由（i）知，，
，，.
如图：
过点作于点，再过点作于点，连接，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
，
，
又，
．
由（i）知平面，
平面，，
，
又，
，，
在中，．
即二面角的正弦值为.
19．(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）在正方形ABCD中,,
所以翻折后，又平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）在正方形ABCD中，，翻折后，
又，所以两两垂直，
三棱锥可放入以为边的长方体中，
所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为
，
即外接球半径，表面积
三棱锥SDEF的外接球的表面积.
（3）设，设点到平面的距离为，
则，
，，
则，
，
又由（1）知平面，所以，
，解得，
又直线与平面所成角为，
所以，
又因为，当，即时取等，
所以在单调递减，即，
则，
所以的最大值为.

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