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第二十八章 旋转
　28.1 图形的旋转
目录
课后小结
随堂练习
知识讲解
情境导入
学习目标
1
3
5
2
4
学习目标
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用．
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题．（重点）
3．会利用简单的旋转作图．（难点）
情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？
知识讲解
知识点1　旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.转动的方向分为顺时针与逆时针.
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
知识讲解
知识点1　旋转的定义
【例 1】下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是(　 )
B
知识讲解
知识点1　旋转的定义
【例 2】如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(　　)
A．格点M
B．格点N
C．格点P
D．格点Q
B
知识讲解
知识点2　旋转的性质
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等；
3.旋转中心是唯一不动的点；
4.旋转不改变图形的形状和大小.
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
解：(1)旋转中心是A点．
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(2)旋转了多少度？
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，
∴B是D的对应点，
又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(3)AF的长度是多少？
(3)∵AD＝4，DE＝1，
∴AE＝ .
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝ .
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 3】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
(4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 4】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，由旋转性质知BE＝BE′，
∠EBE′＝90°，∴EE′＝ .
在△EE′C中，EE′＝ ，E′C＝1，EC＝3，
知识讲解
知识点2　旋转的性质
【例 4】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
知识讲解
知识点3　旋转作图
旋转作图的基本步骤：
(1)找出关键点；
(2)作出关键点的对应点；
(3)作出新图形；
(4)写出结论.
知识讲解
知识点3　旋转作图
关于平面直角坐标系中的图形旋转后对应点的坐标的计算，通常要结合已知点及其对应点构造直角三角形，利用旋转的性质，证明所构造的两个直角三角形全等即可解决.
知识讲解
知识点3　旋转作图
【例 5】在如图所示的网格图中按要求画出图形：
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1.
(2)再画出△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2.
知识讲解
知识点3　旋转作图
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1.
(2)再画出△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2.
解：(1)如图，△A1B1C1即为△ABC向下平移5格后的图形．
(2)△A2B2C2即为△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形．
知识讲解
知识点4　利用旋转设计图案
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果.
(1)两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果.
(2)两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果.
知识讲解
知识点4　利用旋转设计图案
【例 6】如图，该图形在绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(　　)
A．72° B．108°
C．144° D．216°
B
随堂练习
1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　)
A．30° B．45° C．90° D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，∠BOD＝90°,即旋转角为90°.
C
随堂练习
2. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，已知AF＝5，AB＝8，求DE的长度.
解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝8.
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.
随堂练习
3. 如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．
随堂练习
解：(1)连接OA、OB、OC、OD、OE；
(2)分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF，∠COG，∠DOH，使∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE；
(3)分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD；
(4)连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．
随堂练习
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，求∠B的度数.
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，
得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AB=AD.
∴∠B= (180°－150°)=15°.
随堂练习
5. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长．
随堂练习
5. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，∴∠EDF=∠FDM．
又∵DF=DF，DE=DM，∴△DEF≌△DMF，
∴EF=MF.
随堂练习
5. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（2）当AE=1时，求EF的长．
（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，AB=BC=3，
∴EB=AB－AE=3－1=2，BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM－MF=4－x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ，
即22+(4－x)2=x2，解得x= .则EF的长为 ．
课后小结
图形的旋转
旋转的性质
旋转的定义
定义
旋转三要素
距离、角度相等
不改变图形的大小、形状
作图步骤
旋转作图
利用旋转设计图案
平面直角坐标系中的图形旋转

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