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第21章 二次函数与反比例函数
21.2.2 课时1 二次函数y=ax +k的图象和性质
1.会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象，概括出图象的特点.
2.掌握形如y=ax2+k的二次函数的性质并会简单应用.
3.理解二次函数y =ax2+k与y=ax2之间的联系.
问题：说说二次函数y=ax2的图象的特征.
2
6
8
y
4
y=ax2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
（2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ;
当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ;
|a|越大，抛物线的开口 .
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点一：二次函数y = ax2 +k的图象的画法
问题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象.
解：先列表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图：
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
思考1：抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2x2+1
y = 2x2 -1
上
上
y轴
y轴
（0,1）
（0,-1）
相同点：
不同点：
开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴.
顶点坐标发生了改变.
知识点二：二次函数y = ax2 +k的图象和性质
思考2：抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
y = 2x2
观察图象可发现：
把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1.
向上
1
向下
1
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1
平移 个单位得到.
向下
2
思考3：抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
y
O
x
y = ax2 +k(k<0)
y = ax2+k (k>0)
y = ax2
k
k
结论：抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移
个单位.
向上
向下
|k|
在同一坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线
通过怎样的平移可得到抛物线 .
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
如图所示
二次函数y = ax2 +k的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 k>0
k<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，k）
（0，k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
上
3
下
1
1.抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到．
2.抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2．
3.抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
向下
y轴
（0，-5）
B
D
4.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( )
A.y＝2x2与y＝3x2 B.y= x2+2与y=2x2+
C.y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2
5.对于二次函数y＝- x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y16.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y= x2+3; （2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）.
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
复习y=ax2
探索y=ax2+k的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
y轴（直线x=0）
（0,k）
a>0,开口向上
a<0,开口向下

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