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第21章 二次函数与反比例函数
21.2.2 课时2 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，概括出图象的特点.
2.掌握形如y=a(x+h)2的二次函数的性质并会简单应用.
3.理解二次函数y=a(x+h)2与y＝ax2之间的联系.
回忆一下二次函数y=ax2+k的图象和性质，并和大家说一说.
二次函数y=ax2+k与y=ax (a≠0)的图象和性质有什么异同？
如果函数y=ax 的图象向左(或向右)平移呢？
思考
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？
(1)列表；
(2)描点；
(3)连线.
x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 …
y=x … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
y=(x–1) 2 … 25 16 9 4 1 0 1 4 9 …
y=(x+1) 2 … 9 4 1 0 1 4 9 16 25 …
解：列表；
对称选点
观察
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？
描点、连线，即得这三个函数的图象.
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
连线的时候一定用平滑的曲线
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
观察y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2三个函数的图象，回答下列问题：
(1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？
都开口向上
y=x2的对称轴是 y 轴
开口方向
对称轴
y=(x–1) 2的对称轴是直线x=1
y =(x+1) 2的对称轴是直线x= –1
y=x2的顶点坐标(0，0)
y=(x–1) 2的顶点坐标(1，0)
y =(x+1) 2的顶点坐标(–1，0)
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
(2)对于同一个y，这三个函数对应的x值之间有什么关系？
+1
–1
+1
–1
纵坐标相等，横坐标“+1”或“–1”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向右平移一个单位或向左平移一个单位.
这三个函数的图象在位置上有什么关系？
左移1个
单位长度
右移1个
单位长度
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
(3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？
y=x2的最低点坐标是(0，0)，
所以最小值函数是0.
y=(x+1) 2的最低点坐标是(–1，0)，所以最小函数值是0.
y=(x–1) 2的最低点坐标是(1，0)，所以最小函数值是0.
它们的最小函数值一样
求最小值也就是先找到图象上的最低点
试着画出
y=–x2、y=– (x–1) 2和y=– (x+1) 2三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？
请你说一说函数y=a(x+h) 2的图象和性质.
y=a(x+h) (a≠0) a＞0 a＜0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口向上
开口向下
当x＜–h时，函数值y随x的增大而减小；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而增大.
当x＜–h时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而减小.
x= –h时，y最小=0
x= –h时，y最大=0
直线x= –h
顶点是(–h，0)
顶点是(–h，0)
直线x= –h
函数 y=ax y=a(x+h)
相同点 不同点 (1)形状；
(2)开口大小和开口方向；
(位置)
当h＞0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向左移动h个单位得到；
当h＜0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向右移动|h|个单位得到.
请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=a(x+h) 的图象的相同点与不同点.
(3)增减性；
顶点坐标不同
(4)最大(小)值一样.
例 在同一直角坐标系中，画出函数2和 2的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线2得到抛物线2.
x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 …
2 … –8 –2 0 –2 –8 – –18 …
2 … –18 – –8 –2 0 –2 –8 …
解：(1)列表；
解：(2)描点、连线.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
y= 2
纵坐标相等，横坐标 “+2”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，抛物线 2是由抛物线 2向右平移2个单位得到的.
y= 2
+2
+2
1． 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的大致图象可能为(　　)
A B C D
B
解：(1)填表；
2.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2、y=–(x+2)2和y = – (x – 2)2的图象.
x … …
y= –x … …
y= –(x+2)2 … …
y= –(x–2)2 … …
x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 …
y= –x … – – –3 – – 0 – – –3 – – …
y= –(x+2)2 … –3 – – 0 – – –3 – – –12 – …
y= –(x–2)2 … – –12 – – –3 – – 0 – – –3 …
(2)描点、连线.
y= –x
x
y
–2
–3
–4
–5
–6
–2
–3
3
1
O
–1
2
1
2
4
3
–1
4
–4
5
y= –(x–2)2
y= – (x+2)2
抛物线y=–(x+2)2 ，的开口方向是 ，顶点坐标是 ，
对称轴是 . 当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数y随x的增大而减小.抛物线y=–(x+2)2可由抛物线y=–x2向 平移 个单位得到.
直线x= –2
＜–2
(–2，0)
向下
3.观察上题(第1题)所画的图象，并填空.
＞–2
左
2
4. 已知二次函数y= –5(x – 4)2，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；
函数y= –5(x – 4)2的图象可由抛物线 向 平移4个单位得到的，也可以由抛物线 向 平移4个单位得到.
y= – 5x2
右
(4，0)
直线x=4
y= –5(x – 8)2
左
1.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质:
y=a(x+h) (a≠0) a＞0 a＜0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口向上
开口向下
当x＜–h时，函数值y随x的增大而减小；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而增大.
当x＜–h时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而减小.
x= –h时，y最小=0
x= –h时，y最大=0
直线x= –h
顶点是(–h，0)
顶点是(–h，0)
直线x= –h
2.函数y=ax2的图象与函数y=a(x+h)2的图象异同：
函数 y=ax y=a(x+h)
相同点 不同点 (1)形状；
(2)开口大小和开口方向；
(位置)
当h＞0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向左移动h个单位得到；
当h＜0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向右移动|h|个单位得到.
(3)增减性；
顶点坐标不同
(4)最大(小)值一样.

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