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第21章 二次函数与反比例函数
21.2.2 课时3 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
1.正确理解经过平移，可由抛物线y=ax2得到y=a(x+h)2 k.
2.理解二次函数y=a(x+h)2 k图象和性质，并能够利用性质解决相关问题.
回顾思考
x
O
y
y ax2
抛物线：
a 0 ，开口向上
a 0 ，开口向下
对称轴：
y轴
顶点坐标：
(0，0)
y ax2
y ax2 k
y a(x+h)2
当k>0时，向上平移k个单位长度；
当k<0时，向下平移|k|个单位长度．
当h＜0时，向右平移|h|个单位长度；
当h＞0时，向左平移h个单位长度．
x
O
y
思考
怎样画出函数y= (x–2) 2+1的函数图象？
x … 1 0 1 2 3 4 5 …
y
①列表：
②描点：
3
0.5
0
0.5
3
…
…
③连线：
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2+1
5.5
5.5
能通过其它图象的平移得到
y= (x–2) 2+1的图象吗？
1.在同一坐标系中画出 的图象；
2.观察这两个函数的图象有什么特点；
3.怎样移动抛物线 可得到抛物线 .
思考
上移1个
单位长度
形状相同
位置不同
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2+1
y= x2
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
思考
上移1个
单位长度
右移2个
单位长度
还有别的平移方法吗？
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
思考
形状相同
位置不同
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
y= x2
y= (x–2) 2+1
右移2个
单位长度
上移1个
单位长度
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
还能通过其它函数的图象平移得到吗？
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
思考
y= (x–2) 2+1
y= x2
右移2个
单位长度
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= x2+1
y= (x–2) 2+1
思考
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
上移1个
单位长度
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2
y= (x–2) 2+1
思考
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
一般地，抛物线y a(x+h)2 k与y ax2形状相同，位置不同，把抛物线y ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y a(x+h)2 k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
左(右)平移
|h|个单位长度
上(下)平移
|k|个单位长度
y=ax2
y=a(x+h)2
y=a(x+h)2 k
上(下)平移
|k|个单位长度
左(右)平移
|h|个单位长度
y=ax2
y=ax2 k
y=a(x+h)2 k
x
O
y
抛物线y=a(x+h)2 k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向上；
(2)对称轴是直线x= –h；
(3)顶点是(–h，k).
x
O
y
x= –h
k
(–h，k)
x= –h
k
(–h，k)
x
O
y
x
O
y
x= –h
x= –h
a>0，
当x<–h时，y随x的增大而减小，
当x>–h时，y随x的增大而增大，
当x= –h时，函数有最小值k．
a<0，
当x<–h时，y随x的增大而增大，
当x>–h时，y随x的增大而减小，
当x= –h时，函数有最大值k．
函数y=a(x+h)2 k的增减性是怎样的呢？
(– h，k)
k
(–h，k)
k
1．把抛物线y＝－2x2先向上平移3个单位，再向右平移5个单位，所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A． y＝－2(x＋3)2＋5 B． y＝－2(x－3)2＋5
C． y＝－2(x＋5)2－3 D． y＝－2(x－5)2＋3
D
开口方向 对称轴 顶点
2.指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
(1) y=2(x 3)2 5
(2) y= 3(x 4)2 2
(3) y=4(x 1)2 7
(4) y= 2(x 3)2 1
上
下
上
下
x=3
x=4
x= 1
x= 3
(3，5)
(4， 2)
( 1， 7)
( 3，1)
3.在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x 1)2 6经过怎样的变换可以得到抛物线y=2x2 ？
方法一：
先向右移1个单位长度，再向上移6个单位长度.
方法二：
先向上移6个单位长度，再向右移1个单位长度.
4.已知函数y 2(x 1)2 1，
当x< 时， y随x的增大而减小，
当x> 时， y随x的增大而增大，
x
O
y
x 1
1
1
二次函数
y=a(x+h)2+k的图象和性质
函数y=a(x+h)2+k的几何变换:
函数y=a(x+h)2+k的图象和
性质：

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