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21.3 课时2 图象法求解一元二次方程
第21章 二次函数与反比例函数
1.理解如何用函数的图象求一元二次方程的近似解；
2.经历探索用函数的图象求一元二次方程的近似解的过程，渗透数形结合的思想方法.
二次函数与一元二次方程的关系是怎样的？
二次函数
y ax bx c(a 0)
一元二次方程
ax bx c m(a 0)
y为定值m
建立关联
结合“数、形”解释二次函数与一元二次方程的关系：
没有交点
没有实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
有两个交点
有两个不相等的实数根
y ax bx c(a 0)
与x轴的位置关系
ax bx c 0 (a≠0)
根的情况
数
形
如果给你一个方程，你能用图象法求出它的近似解吗？
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
解：画出函数y=x 2x–1的图象，如图所示：
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
两个交点
由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间.
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
先求位于–3和–2之间的根.
–2.5或–2.4
在-3 和-2 之间取x的一些值,利用计算器进行探索,见下表:
x … -2.6 –2.5 –2.4 -2.3 …
y … …
0.25
–0.04
正
负
所以–2.5与–2.4之间肯定有一个x值使y=0.
当x= –2.4时，y= –0.04比y=0.25(x= –2.5)更接近0，
故选x= –2.4.
请你仿照此方法求出该方程精确到0.1的另一个根.
x取何值时，y值最接近0.
0.56
–0.31
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
求位于0和1之间的根.
0.4或0.5
由图象可估计这个根是0.4或0.5，计算试试.
x … 0.3 0.4 0.5 0.6 …
y … …
– 0.04
0.25
负
正
所以0.4与0.5之间肯定有一个x值使y=0.
当x=0.4时，y= –0.04比y=0.25(x=0.5)更接近0，
故选x=0.4.
所以一元二次方程 x 2x–1=0精确到0.1的近似解x1= –2.4，x2=0.4.
– 0.31
0.56
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
x = –2x+1
一元二次方程 x 2x–1=0的近似解，就是函数
y = x 与 y= –2x+1的图象交点的横坐标.
y=x2
y= –2x+1
接下来，与前边的方法一样，根据要求取值逐一验证.
还可以在计算机上用《几何画板》处理.
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
6
图象法求解一元二次方程
方法一：求抛物线与x轴交点的横坐标.
(1)画：在平面直角坐标系中画出对应二次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
图象法求解一元二次方程
方法二：求抛物线与直线交点的横坐标.
(1)画：画出变形后的二次函数和一次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
1. 二次函数y = –x 2x+k 的部分图象如下图所示，关于x的一元二次方程–x 2x+k=0的一个解为x1= 3.1，则另一个解x2为 .
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
4
3
5
–3
2
3
1
6
4
y= –x 2x+k
–1.1
2. 下表是若干组二次函数y=x2–5x+c的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程 x2–5x+c=0 的一个近似根(精确到0.1)是( )
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 –0.08 –0.27 –0.44 …
A. 3.4
B. 3.5
C. 3.6
D. 3.7
B
3. 利用图象法求一元二次方程–x 2x–3= –8的实数根.(结果精确到0.1)
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
4
3
5
–3
2
3
1
6
4
解：原方程变形为–x 2x+5=0.
画出二次函数 y= –x 2x+5的图象，如图所示：
由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在–2和–1之间和3与4之间.
即方程–x 2x–3= –8的两个实数根分别在–2和–1之间和3与4之间.
(接下来根据取值范围，用取平均数的方法逐渐缩小取值范围，从而确定方程的近似解.)
得到方程的两个实数根分别为x1= –1.4，x2=3.4.
还可以通过求抛
物线与直线交点的横
坐标求解.
y= –x 2x+5
图象法求解一元二次方程
方法一：求抛物线与x轴交点的横坐标.
(1)画：在平面直角坐标系中画出对应二次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
方法二：求抛物线与直线交点的横坐标.
(1)画：画出变形后的二次函数和一次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是(　 )
A． －12
C． x<－1 D． x<－1或x>2
D
2.如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一个交点为B(6，0)，则由图可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)
A． x＞6 B． 0＜x＜6
C． x＜－2或x＞6 D． －2＜x＜6
D
3.如图为二次函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象法求不等式x2－2x－3＜5的解集．
解：在题图中作出直线y＝5，观察图象，得直线y＝5与抛物线y＝x2－2x－3的两个交点坐标分别为(－2，5)，(4，5)．由图象可知不等式x2－2x－3<5的解集为－24．如图，抛物线y1＝－(x－1)2＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的函数表达式为y2＝mx＋n.
(1)当y1≥0时，x的取值范围是________；
(2)当y1>3时，x的取值范围是________；
-1≤x≤3
(3)当y10x<0或x>3

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