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21.4 二次函数的应用
21.4 课时1 面积问题
1.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决面积问题.
二次函数
还记得如何求二次函数的最值吗？
最大高度
最大高度
二次函数的
最值
观察物体运动形成的路线，说一说与什么函数图象类似？
二次函数
a的范围
图象
最值
顶点坐标
a＞0
a＜0
（ , ）
y有最小值
（ , ）
y有最大值
(a≠0)
如何利用二次函数解决面积问题呢？
你能画一个周长为60 cm的矩形吗？
这些矩形的面积一定相等吗？
不一定
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
分组交流讨论：
1.学生分组交流讨论；
2.各组展示探究方法和过程；
3.教师带领大家完善探究过程.
x
30 x
S矩形 x(30 x)
S矩形 x 30x
S最大 –15 30 15 225
15 cm
15 cm
225 cm
求S的最大值
对应的函数值
交流
当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？
设未知数
建立二次函数模型
求最值
当边长为15 cm时，矩形的面积最大.
利用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤：
1.设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量；
2.利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型，并指明自变量的范围；
3.利用二次函数的性质求最值.
【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？
分析：首先要找出围成的水面面积与边长之间的关系.
水面面积 = 一条边长×另一条边长
x m
(20–x)m
S m
S=x(20–x)
S= –x2 +20x
x的取值有什么限制吗？
（0＜x＜20）
解：设围成的矩形水面的一边长为x m，那么，矩形水面的另一边长应为(20 x) m.若它的面积是S m2，则有
S=x(20 x)
将这个函数表达式配方，得：
S= (x 10) +100 (0＜x＜20).
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是(10，100).
S/m2
x/m
(10，100)
图中为何有两个空心点？
S/m2
x/m
(10，100)
当x=10时，函数取得最大值，即 S最大=100(m2).
此时，另一边长=20 10=10(m).
答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2.
1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
B
解析：设直角三角形的一直角边长为x cm，那么，另一直角边长应为(20 x) cm.若它的面积是S cm2，则有S= x(20 x)
将这个函数表达式配方，得：
S= (x 10) +50 (0＜x＜20).
当x=10时，函数取得最大值，即 S最大=50(cm2).
2.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 .
144 m2
解析：设矩形的一边长为x m，那么，另一边长应为(24 x) m.若它的面积是S m2，则有
S= x(24 x)
将这个函数表达式配方，得：
S= (x 12) +144 (0＜x＜24).
当x=12时，函数取得最大值，即 S最大=144(m2).
3．若把一根长为120 cm的铁丝分成两部分 ，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？
解：设将铁丝分成长为x cm，(120－x )cm的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为 cm， cm．
设它们的面积和为y cm2，则
　　　　　　　
当x=60时，y的最小值为450．
所以，它们的面积和最小为450 cm2．
二次函数的最值：
二次函数的应用
(a≠0)
求面积最值等实际问题与二次函数的联系：
实际问题
二次函数
建立模型
二次函数的最值

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