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21.4 二次函数的应用21.4 课时3 运动中的抛物线型问题
1.能从实际问题中建立二次函数模型，并根据二次函数的图象和性质解决实际问题.
利用二次函数解决实际问题的一般思路是什么？
实际问题
二次函数模型
二次函数的图象和性质
转化
利用
解决
前面我们学习了利用二次函数能解决哪些实际问题？
利用二次函数还能解决哪些实际问题呢？
几何图形面积问题
桥梁建筑类抛物线型问题
……
运动时,在不计空气阻力的情况下,上抛物体的高度h(单位:m)，与时间t(单位:s)有如下的表达式：
其中v0(单位:m/s)是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10 m/s2).
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)排球上升的最大高度是多少？
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？(精确到0.1s)
分析：
(t≥0)
h为关于t的二次函数
排球上升的最大高度
t≥0时h的最大值
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)排球上升的最大高度是多少？
解：(1)根据题意，得
由函数表达式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为(1，5).
顶点是它的最高点.
答：排球上升的最大高度是5 m.
分析：
令h=2.5 m，求出对应的t值，结合实际求解即可.
解：(2)当h=2.5 m时，得
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5 m高度，但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3 s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
解方程，得
答：该运动员在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳.
如果这位运动员来不及在0.3 s时扣球，她还可在何时扣球？
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？(精确到0.1s)
解决运动中的抛物线型实际问题的一般步骤：
① 根据题意求出函数解析式(有时需建立合适的直角坐标系)；
② 根据二次函数的图象和性质求解；
③ 结合实际问题选择合适的解.
注意：实际问题中自变量的取值范围.
【例】行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
分析：
知道了制动距离，如何求得相应的制动速度？
求出制动距离与制动时车速的函数表达式即可.
如何求出函数解析式呢？
先根据表格中的数据画出大致的函数图象.
制动时车速/km·h 1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.
y/m
x/km·h 1
观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设y=ax +bx+c.
在已知数据中任选三组，如取(0，0)，
(10，0.3)， (20，1.0)，分别代入所设函数的表达式，得
y/m
x/km·h 1
解方程组，得
制动时车速/km·h 1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
即所求函数的表达式为
把y=46.5代入上式，得
46.5=0.002x2+0.01x.
解方程组，得
(舍去).
答：制动时车速为150 km/h(＞110 km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶.
对于不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h 4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
解析：当h=0 m时，得 4.9t2+19.6t 0
解方程，得
根据题意得球在4 s后落地.
4
x
y
O
2
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
分析：求出y的最大值即可.
3.在篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
3米
4米
4米
x
y
O
米
A
B
C
判断C点是否在抛物线上
解：如图建立直角坐标系.则点A(0， )，B(4，4)，C(8，3).
因此可设抛物线的解析式是y=a(x 4)2+4 ①.
把点A(0， )代入①得
解得
当x=8时，则
所以此球不能投中.
所以抛物线的解析式为
解决运动中的抛物线型实际问题的一般步骤：
二次函数的应用
注意：
1.根据题意求出函数解析式(有时需建立合适的直角坐标系)；
2.根据二次函数的图象和性质求解；
3.结合实际问题选择合适的解.
对于不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.

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