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23.2 中位数与众数
第二十三章 数据分析与统计估计
1.理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数.
2.了解中位数、平均数、众数各自的特点，体会中位数、众数在估计数据集中趋势中的作用，体会平均数的特点和局限性.
3.会利用平均数、中位数、众数作为数据的代表值，对数据进行分析，选择恰当的数据代表对数据作出自己的判断，并在具体情境中加以应用.
小琴的英语听力成绩一直很好，在七次测试中，前六次的得分(满分30分)分别为：28分、25分、27分、28分、30分、29分.第七次测试时，因耳机出现故障只得了8分.如何评价小琴英语听力的实际水平呢
(1)用7个分数的平均数评价小琴英语听力的实际水平合理吗
(2)如果不合理，那么应该用哪个数作为评价结果呢
(8+25+27+28+28+29+30)=25，不符合正常发挥水平.
平均数与一组数据中的每个数据都有关系，任何一个数的变动都会引起平均数的变动.
在上述问题中，将这7个数据由小到大排列为8，25，27，28，28，29，30，处于中间位置的数是28，用28分代表小琴英语听力的实际水平比用平均数更合理些.
当每个数据的大小差异不大时，平均数是这组数据的一个较好的代表值；
当有个别数据与其他数据的大小差异很大时，平均数就不是一个比较好点的代表值了.
若n为奇数，则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数.
如图(1)，7个数据的中位数为x4.
若n为偶数，则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数.
如图(2)，6个数据的中位数为(x3+x4).
注意：中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数中.
一般地，将n个数据按大小顺序排序：
如：数据1，1，2，3，3，5中的中位数是×(2+3)=2.5.
2.如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
3.如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中等水平．
1.中位数是一种位置量数.
某班采用无记名投票的方式选班长，5名候选人分别编为1号，2号，3号，4号，5号.投票结果如下表：
候选人 1号 2号 3号 4号 5号 合计
票数 7 18 10 9 6 50
在这个问题中，若要选出班长，我们最关注的是什么？
票数最多的人
参加投票的50人，每人选择一名候选人的号码，把这50个号码看成一组数据.由于2号出现的次数最多，按规则，2号候选人应当选为班长.
一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作众数.
当一组数据中有较多的重复数据时，可以用众数作为这组数据的代表值.
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.
注意：①众数一定是原数据中的数，可以是一个、多个或没有.
②众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3.
如1，1，2，3，3，5中众数是1和3
数据出现的次数相同时没有众数
反映一组数据的“多数水平”
某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量，结果如下表:
6月份销量/件 1500 1360 500 460 400
人数/名 1 1 5 4 3
(1)分别求销量数据的平均数、中位数和众数.
14个销量数据的平均数为600，中位数为480，众数为500.
(2)公司在制订销售人员月销量定额时，有以下三种观点:
观点一：平均数是数据的代表值，应该用平均数作为销量定额.
观点二：只有两人的销量超过平均数，应该用中位数作为销量定额.
观点三：众数出现的次数最多，应该用众数作为销量定额.
你认为哪种观点更合理些
某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量，结果如下表:
6月份销量/件 1500 1360 500 460 400
人数/名 1 1 5 4 3
平均数为600，中位数为480，众数为500.
①如果将平均数600件定为销量定额，从表格中发现只有2人可以完成，多数员工不能完成.
某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量，结果如下表:
6月份销量/件 1500 1360 500 460 400
人数/名 1 1 5 4 3
②若将中位数480件作为销量定额，则有一半的人可以完成.
③若将众数500件作为销量定额，则有一半的人可以完成.
平均数为600，中位数为480，众数为500.
多数员工难以完成，容易挫伤积极性
销量定额合理，一半员工可以完成，有效调动员工的积极性
所以平均数作为定额不合适，中位数或众数作为销量定额较合适.
取平均数、中位数和众数都是刻画一组数据集中趋势的方法，因为方法不同，所以得到的结论也可能不同.不同的方法没有对错之分，能够更客观的反映实际背景的方法要好一些.
在上面14个销量数据中，有较大的两个数据，他们会导致平均数偏大.因此，用中位数或众数要比平均数更客观一些.
例 某企业50名职工的月工资分为5个档次，分布情况如下表：
月工资额/元 3500 4000 4500 5000 5500
人数/名 6 12 18 10 4
(1)求月工资的平均数、中位数和众数.
解:(1)月工资的平均数为(3500×6+400012+450018+500010+
55004)=4440(元).
50个数由小到大排列，最中间的两个数(即第25个数和第26个数)均为4500，所以中位数为4500元.
出现次数最多的数是4500元，所以众数为4500元.
例 某企业50名职工的月工资分为5个档次，分布情况如下表：
(2)相对来说，企业经理关心哪个数 普通职工关心哪个数
(2)相对来说，企业经理关心平均工资，因为知道了平均工资，就知道了工资总额.普通职工关心中位数，因为知道了中位数，就知道了自己工资水平大概的位置.
月工资额/元 3500 4000 4500 5000 5500
人数/名 6 12 18 10 4
交流讨论 用平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表值，用来描述这组数据的集中趋势，它们各有哪些优缺点？
类别 优点 缺点
平均数 所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息 易受极端值的影响
中位数 计算简单，不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中有异常值时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的信息
众数 众数的大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义
中位数和众数
中位数
众数
平均数、中位数、众数的特征
平均数、中位数、众数的实际应用
将n个数据从小到大排列
如果n是偶数，中位数为排列后第和+1个数的平均数；如果n是奇数，中位数为排列后第个数.
一组数据中出现次数最多的那个数据
可能有1个、多个或没有
平均数表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”
2.某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是(　　)
A．7　　 　 B．6　　 　 C．5.5　　 　 D．5
B
1.已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是(　 )
A.89　　 B.94　　 C.95 　　 D.98
C
3.已知一组数据1，0，-3，5，x，2，-3的平均数是1，则这组数据的众数是 (　 )
A.-3和5　　 B.5　 　 C.-3　　 D.1和3
A
4.一鞋店试销一款女鞋，老板想了解哪些尺码的鞋最畅销，则下列关于尺码的统计量中最有参考意义的是 (　 )
A.中位数　　 B.平均数
C.众数　　 D.中位数或平均数
C
5.某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制订某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，数据如下.
销售件数 1 800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1)这15位营销人员该月销售量的平均数是320件，中位数是　 件，众数是 件.
210
210
(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理 为什么 如果不合理，请你制订一个较合理的销售定额，并说明理由.
(3)某天，一位销售员辞职了，若其他销售员的销售量不变，平均销售量降低了，你认为辞职的可能是销售量为多少的销售员
解：(2)销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件是不合理的，理由:由题中表格中的数据可知，大部分营销人员达不到要求，故不合理.可以将210件作为销售定额，理由:由题中表格中的数据可知，有一半以上的营销人员达到要求，故将210件作为销售定额是合理的.
(3)之前的平均数是320件，由题中表格中的数据可知，辞职的可能是销售量为1 800件或510件的销售员.

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