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河北石家庄市、张家口市部分校2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题
一、单选题
1．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.21 B．0.22 C．0.28 D．0.32
4．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ）
A．12种 B．18种 C．30种 D．48种
5．月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．已知，，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
C．已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10．盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（ ）
A．恰有1个球是红色的 B．3个球全是蓝色的
C．恰有2个球是红色的 D．至多有2个球是蓝色的
11．高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（ ）
A．五名同学的报名情况共有种
B．“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种
C．“五名同学最终只报了两个科目”的概率是
D．
三、填空题
12．已知随机变量，若，，则__________．
13．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________．
14．已知能够被15整除，其中，则__________．
四、解答题
15．代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立．
(1)求该用户选择代驾准时到达的概率；
(2)在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值．
16．DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．
(1)在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．
17．宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80
13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2
(1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
(2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值．
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
②
161 29 20400 109 603
③，
18．为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
(1)求甲答对每道题的概率；
(2)已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值．
19．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：
产品 合格 不合格 合计
调试前 80 60 140
调试后 40 20 60
合计 120 80 200
(1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；
(2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考答案
1．A
【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是负相关，相关系数小于0，
图2和图4是正相关，相关系数大于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，
由此可得．
2．C
【详解】由题得，解得.
的通项为.
令，则系数为.
3．B
【详解】随机变量服从正态分布，
则
4．C
【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择；
剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种.
当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择；
剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种.
两类相加，总共有种.
5．C
【详解】，都服从二项分布，即，
则，，
所以.
6．D
【详解】由全概率公式，得，
又，，，，
代入得，解得.
7．C
【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，，
因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以，
单日只戴墨镜不戴帽子的概率为，
表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，，
.
8．D
【详解】由题意知，随机变量可能的取值为.
；
.
所以.
所以当时，取得最大值，最大值为.
9．BD
【详解】选项A：在一元线性回归方程中，若线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故错误，
选项B：回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，正确，
选项C：将，代入方程解得：，故错误，
选项D：可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，正确.
10．BC
【详解】对于A，事件“恰有1个球是红色的”概率为，不是，A错误；
对于B，事件“3个球全是蓝色的”概率为，B正确；
对于C，事件“恰有2个球是红色的”概率为，C正确；
对于D，事件“至多有2个球是蓝色的”概率为，不是，D错误.
11．ABD
【详解】对于A：五名同学每人都有4种报名选择，根据分步乘法计数原理，总报名情况数为 种，A正确；
对于B：“每个科目都有人报名”，5人分到4个科目，人数分布只能是 ，
先从5人中选2人作为一组，剩余3人各成一组，共 种分组方式；
再将4组全排列分配给4个科目，共 种排列方式；
总情况数为 种，B正确；
对于C：“五名同学只报了两个科目”，先从4个科目选2个，共 种选法；
再减去5人全选第一个科目、全选第二个科目的2种情况，总符合情况数为 ；
总报名情况为 ，概率为 ，C错误；
对于D：事件要求恰3人同科目，其余两人各在不同科目，
先选人所在科目有种不同的选法，选人有不同的选法，
将剩余两人安排到剩余的3个科目中的两个，每人一科，有种不同的选法，
可得；
要求发生且只有小明1人报化学，
因此3人同科目只能从非化学的3个科目选，再从剩余4人选3人，最后剩余1人从剩余2个非化学科目选，
得 ，
因此 ，D正确.
12．64
【详解】∵ 随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，.
∴ ，解得，∴ .
13．/
【详解】珠子在每个岔路口向左、向右下滑的概率均为，从顶端到最下方出口，一共需要经过5次独立的向左/向右选择；
要从编号5的出口出来，需要在5次选择中恰好选4次向右、1次向左，
根据独立重复试验的概率公式：．
14．14
【详解】
.
因为75可以被整除，
所以可以被整除.
由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以.
15．(1)0.89
(2)10
【详解】（1）令事件“代驾准时到达”，“选择网，“选择网”．
依题意，，，，，
由全概率公式得，
所以该用户选择代驾准时到达的概率为．
（2）依题意，，
则．
由的方差大于，得，
解得，所以的最小值为．
16．(1)
1 2 3
(2)
【详解】（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：
1 2 3
所以．
（2）记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，，
记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，，
所以．
17．(1)
(2)35万元．
【详解】（1）令，则可转化为，由表可知，
得到，，
由最小二乘法公式得， ，
所以 ，所以回归方程为 .
（2）设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元，
则投入生产药用枸杞片的资金为万元，
其中，设2026年总收益为万元，
则，，
令，令，得，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故年总收益的最大值约为35万元．
18．(1)
(2)
【详解】（1）甲答对题目分为两种互斥情况：
① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ；
因此甲答对每道题的概率为： .
（2）设甲答对题数为，乙答对题数为，
则，，，
包含三种互斥情况： ；； ，
分别计算概率： ，，
，，，
因此：
，
根据题意列不等式： ，整理得 ，
结合，解得，
因此的最小值为.
19．(1)认为参数调试与产品质量无关联．
(2)
0 1 2
．
(3)
【详解】（1）解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联，
根据列联表中的数据，计算得到，
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，
因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联．
（2）由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中，
合格产品有件，则不合格产品有2件，
的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
故的分布列为：
0 1 2
则.
（3）由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则，，，，，
由，
故由可得，
又，则当时，．
由可得，即当时，，
故当事件“”的概率最大时，．

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