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第1章 相交线与平行线
一．选择题（共8小题）
1．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角
【答案】C
【分析】根据对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角的特征判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A不符合题意；
B．∠1与∠3是同位角，故B不符合题意；
C．∠1与∠4不是内错角，故C符合题意；
D．∠B与∠D是同旁内角，故D不符合题意；
故选：C．
2．如图，能推断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠5 B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠2+∠3 D．∠D+∠4+∠5＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理（①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）判断即可．
【解答】解：A、∵∠3＝∠5，
∴BC∥AD，不能推出AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠BAD，
∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；
D、∵∠D+∠4+∠5＝180°，
∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；
故选：B．
3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【分析】先根据平角的定义求出∠BOC的度数，再根据垂线的定义得出∠COD＝90°，从而求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝125°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣125°＝55°，
∵OC⊥OD．
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，则推导出“∠AOD＝∠BOC”，下列依据中，最合理的是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
【答案】C
【分析】根据题意知∠AOD与∠BOC都是∠AOC的补角，根据同角的补角相等，得出∠AOD＝∠BOC．
【解答】解：∵∠AOD与∠BOC都是∠AOC的补角，
∴∠AOD＝∠BOC（同角的补角相等）．
故选：C．
5．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”以及角的和差关系求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3，
∵∠1＝80°，∠2＝40°，
∴∠3＝40°，
故选：B．
7．如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面积＝三角形ABC的面积，
∴阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）．
故选：A．
8．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确；
∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°，
故②正确；
∵∠1＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴BC∥AD．
故③正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠E＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，
故④正确．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
9．在同一平面内，过一点有　有且只有一　 条直线与已知直线垂直．
【答案】有且只有一
【分析】根据垂线的性质解答即可．
【解答】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故答案为：有且只有一．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，∠BOE＝25°，则∠DOE＝ 　35　 °．
【答案】35
【分析】根据对顶角相等得出∠AOC＝∠BOD＝60°，结合∠BOE＝25°，即可求出∠DOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠BOE＝25°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60°﹣25°＝35°，
故答案为：35．
11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝30°，则∠1的度数为 　60°　 ．
【答案】60°．
【分析】由三角板的直角∠ACB＝90°，∠2＝30°，即可求得∠3的度数，又根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1的度数．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，∠2＝30°，
∴∠3＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝60°．
故答案为：60°．
12．如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 　50°　 ．
【答案】50°．
【分析】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′∠BEB′＝50°，
故答案为：50°．
三．解答题（共2小题）
13．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD．（ 　已知　 ）
∴∠2＝　∠3　 ．（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
又∵∠1＝∠2，（ 　已知　 ）
∴∠1＝∠3．（ 　等量代换　 ）
∴AB∥DG ．（ 　内错角相等，两直线平行　 ）
∴∠BAC+　∠DGA ＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）
又∵∠BAC＝70°．（ 　已知　 ）
∴∠AGD＝　110°　 ．（ 　等式性质　 ）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可．
【解答】解：∵EF∥AD．（已知）
∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠DGA＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC＝70°．（已知）
∴∠AGD＝110°．（等式性质）
故答案为：已知；∠3，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行；∠DGA，两直线平行，同旁内角互补；已知，110°，等式性质．
14．已知 AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．
【阅读探究】
（1）平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM 和∠CFM 通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM＝45°，∠CFM＝25°时，则∠EMF＝ 　70　 ．
【方法运用】
（2）①如图2，试说明∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM
【应用拓展】
②如图3，作∠AEM 和∠CFM 的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF 的度数．
【答案】（1）70°；
（2）答案见解答过程；
（3）150°或30°．
【分析】（1）过点M作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EMN＝∠AEM，∠NMF＝∠CFM，据此得∠EMF＝∠AEM+∠CFM，进而可求出∠EMF的度数；
（2）由平角的定义得∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM，再由（1）的结论可得出结论；
（3）先由角平分线的定义得∠AEM＝2∠PEM，∠CFM＝2∠PFM，再由（2）的结论得∠EMF＝360°﹣2（∠PEM+∠PFM），据此得∠PEM+∠PFM＝150°，最后再根据四边形的内角和等于360°可求出∠EPF的度数．
【解答】解：（1）过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠EMN＝∠AEM，∠NMF＝∠CFM，
∴∠EMN+∠NMF＝∠AEM+∠CFM，
即：∠EMF＝∠AEM+∠CFM，
∵∠AEM＝45°，∠CFM＝25°
∴∠EMF＝70°；
故答案为：70°．
（2）∵∠AEM+∠BEM＝180°，∠CFM+∠DFM＝180°，
∴∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM，
由（1）可知：∠EMF＝∠BEM+∠DFM，
∴∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM．
（3）依题意有以下两种情况：
①当点M在点E，点F的右侧时，如图3①所示：
∵PE是∠AEM的平分线，PF是∠CFM的平分线，
∴∠AEM＝2∠PEM，∠CFM＝2∠PFM，
由（2）可知：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM．
∴∠EMF＝360°﹣2（∠PEM+∠PFM），
∴∠PEM+∠PFM＝180°∠EMF，
∵∠EMF＝60°，
∴∠PEM+∠PFM＝180°﹣1/2×60°＝150°，
根据四边形的内角和等于360°得：∠EPF+∠EMF+∠PEM+∠PFM＝360°，
即：∠EPF+60°+150°＝360°，
∴∠EPF＝150°；
②当点M在点E，点F的左侧时，如图3②所示：
由（1）得：∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝60°，∠EPF＝∠AEP+∠CPF，∵∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP交于点P，∴∠AEP∠AEM，∠CPF∠CFM，∴∠AEP+∠CPF（∠AEM+∠CFM）＝30°，∴∠EPF＝30°，综上所述：∠EPF的度数是150°或30°．第1章 相交线与平行线
一．选择题（共8小题）
1．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角
2．如图，能推断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠5 B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠2+∠3 D．∠D+∠4+∠5＝180°
3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
4．如图，直线AB、CD相交于点O，则推导出“∠AOD＝∠BOC”，下列依据中，最合理的是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
5．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
7．如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2
8．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
二．填空题（共4小题）
9．在同一平面内，过一点有　 　 条直线与已知直线垂直．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，∠BOE＝25°，则∠DOE＝ 　 　 °．
11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝30°，则∠1的度数为 　 　 ．
12．如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
13．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD．（ 　 　 ）
∴∠2＝　 　 ．（ 　 　 ）
又∵∠1＝∠2，（ 　 　 ）
∴∠1＝∠3．（ 　 　 ）
∴AB∥　 　 ．（ 　 　 ）
∴∠BAC+　 　 ＝180°．（ 　 　 ）
又∵∠BAC＝70°．（ 　 　 ）
∴∠AGD＝　 　 ．（ 　 　 ）
14．已知 AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．
【阅读探究】
（1）平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM 和∠CFM 通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM＝45°，∠CFM＝25°时，则∠EMF＝ 　 　 ．
【方法运用】
（2）①如图2，试说明∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM
【应用拓展】
②如图3，作∠AEM 和∠CFM 的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF 的度数．

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