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苏州市2025-2026学年第二学期初二数学期末模拟卷（13）
命题：汤志良；试卷分值130，内容涵盖：八下：6,7,8；九上一元二次方程，九下：相似形
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是………………………………………………………………………………( )
A. ； B. ； C. ； D. ；
2.下列调查适合普查的是………………………………………………………………………………………( )
A. 北京冬奥会开幕式的收视率 B. 一批灯的使用寿命
C. 长江中现有鱼的种类 D. 全班同学最喜爱的歌曲
3.下列事件中，是必然事件的是………………………………………………………………………………( )
A. 抛出的篮球不会下落 B. 买一张电影票，座位号是奇数
C. 早晨太阳从东方升起 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为
4.如图， ，两条直线与这三条平行线分别交于点 和点 已知 ， ，则 的长为……………………………………………………………………………………………………( )
A. B. C. D.
第4题 第6题 第7题
5.在中，，则的度数为…………………………………………………………( )
A. B. C. D.
6.如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是………………( )
A. B. C. D.
7.北方的冬天已经迎来了冬雪为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道如图阴影部分为通道，保留了块积雪活动区已知矩形空地的长为，宽为，通道面积是整个矩形空地面积的若设通道的宽为，则根据题意可得方程………………………………………………………( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
8.如图，在△中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为…………………………………………………………………………………………………( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊曾在试验中掷均匀的硬币次，正面朝上的次数是，频率约为，则估计掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
10.已知是关于的一元二次方程，则的值是 ．
11.已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为 ．
12.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ；
13.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为，则的长为__ __．
第8题 第13题 第14题 第15题
14.如图，在矩形中，，分别是，上的点，、分别是、的中点，，，则线段的长为 ．
15.如图，，分别是的边，上的点，，若，则的值为 ．
16.如图，矩形中，，，点是边上的一动点点不与点，重合，连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为 ．
四、解答题：本题共10小题，共82分。解答应写出文字说明，
17.本小题分解下列一元二次方程：
； ．
18.本小题分
为深化课程改革，提高延时服务的多样性，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级部分学生进行调查，从：书法，：美食，：话剧，：编程与机器人四门课程中选出你喜欢的课程被调查者限选一项，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
本次调查的总人数为_______人，扇形统计图中部分的圆心角是______度．
请补全条形统计图．
根据本次调查，该校八年级名学生中，估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为多少？
19.本小题分
如图，在四边形中，，点在上，．
求证：四边形为平行四边形；
若，平分，，求四边形的周长．
20.本小题分
如图，在中，点、分别在边、上，，．
求证：；
若，，连接，求的值．
21.本小题分
如图，矩形中，对角线与交于点，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．
求证：；
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的周长．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
以原点为位似中心，按在轴的左侧将放大为，画出．
在的条件下，
是边上的任意一点，请直接写出位似变换后点的对应点的坐标
在图中的线段上找一点，连接，使．
23.本小题分
为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域长方形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门不用栅栏建成后栅栏总长．
若活动区域长方形的一边长为，则另一边 ．
若活动区域长方形的面积为，求边的长．
24.本小题分
综合与实践．
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．
如图，在正方形 中， ，则 的值为 ．
如图，在矩形 中， ，且 ，求 的值．
如图，在四边形 中， ，为 上一点，连接 ，过点作 的垂线交 的延长线于点，交 的延长线于点，且 求 的长．
25.本小题分
如图，在四边形中，，，为中点，连接．
求证：；
如图，过点作，垂足为，交于点．
求证：；
若，，求的长．
26.本小题分
如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度做往返运动， 、 两点同时出发，当点 返回点时，点 也随之停止运动，设点 的运动时间为 秒．
求 的长；
当以 为顶点的四边形是矩形时，求 的值；
当 时，求 的值；
若点 是 边上的一点，且 ，如图， 是平面内一点，是否存在点 、 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出 的长，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程．
根据一元二次方程的定义判断各选项即可．
【详解】解：一元二次方程需满足：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数为．
：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
：中，为参数，若，则不是二次方程，不一定是一元二次方程；
：是整式方程，只含未知数，且最高次数为，符合一元二次方程的定义；
：中含有两个未知数和，不符合一元二次方程的定义；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、北京冬奥会开幕式的收视率，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、一批灯的使用寿命，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、全班同学最喜爱的歌曲，适合普查，故D符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：选项A抛出的篮球不会下落是不可能事件，不符合要求；
选项B买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合要求；
选项C早晨太阳从东方升起是必然事件，符合要求；
选项D掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为是随机事件，不符合要求。
故选C。
4.【答案】
【解析】根据平行线分线段成比例定理得到的长，即可得到 的长．
【详解】解： ，
，
，
5.【答案】
【解析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
．
6.【答案】
【解析】由菱形的判定定理逐项验证即可．
【详解】解：、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形；
B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意；
C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形；
D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设通道的宽为，根据积雪活动区的面积，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
8.【答案】
【解析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据是的中点，可得，进而解答即可．
【详解】解：如图，作交于，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
9.【答案】
【解析】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在左右，掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率约是．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且，特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】
解：是关于的一元二次方程，
且，
解得．
故答案为．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】本题考查了解一元二次方程配方法．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值，然后计算的值．
【详解】解：，
，
，
，
所以，
所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解答．
【详解】解：四边形是菱形，
菱形的面积为：，，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
．
14.【答案】
【解析】解：连接，如图，
四边形是矩形，，，
，，
在中，，
、分别是、的中点，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】或
【解析】由折叠和矩形的性质可得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
设，则，
如图，当点落在边所在的直线上时，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
即；
如图，当点落在边所在的直线上时，则，

，
在和中，
，
即，
，
解得：，
即；
综上所述，的长为或．
17.【答案】【小题】
解：
，
，
，
，
【小题】
，
则或，
解得，

【解析】
此题考查了解一元二次方程．
利用公式法解一元二次方程即可；

利用因式分解法解一元二次方程即可．
18.【答案】【小题】
解：人；
扇形统计图中部分的圆心角是；
【小题】
解：组的人数为人，
补全条形统计图如图
【小题】
解：估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为人．

【解析】
据的人数除以占比得出总人数，根据的占比乘以，即可求得扇形统计图中部分的圆心角；

先求得组的人数，再补全统计图，即可求解；

根据样本估计总体，即可求解．
19.【答案】【小题】
证明：，
又，
四边形为平行四边形
【小题】
解：在中，，
又平分，
，
，
在中，，
，
由知，四边形为平行四边形，
．

【解析】
先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形；

先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答．
20.【答案】【小题】
证明：，
，，
，
又，
．
【小题】
解：，，，，
，，
，，
根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，
，
．

【解析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
首先得到，然后结合即可证明；
由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案．
21.【答案】【小题】
证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
；
【小题】
证明：，，
四边形为平行四边形，
由得，
四边形为菱形；
【小题】
解：由得，，
四边形为菱形，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
，整理得，
解得：，舍去，
，
四边形的周长为．

【解析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形的性质可得，由，，则，然后通过直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求证；
先证明四边形为平行四边形，再由即可求证；
由得，，又四边形为菱形，则，设，则，，然后通过勾股定理得，再求出的值即可．
22.【答案】【小题】
如图，即为所求．
【小题】
．
如图，点即为所求．

【解析】 略

提示：取格点，，连接交于点理由：连接，因为，所以，所以，所以，所以．
23.【答案】【小题】
【小题】
解：设，则，依题意得：
，
解得：，
，
，
当时，，符合题意．
答：边的长为．

【解析】
由栅栏总长为，即可求出的长；解：；

设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
24.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，设 与 交于点，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题】
解：过点作 交 的延长线于点，如图所示：
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
．

【解析】
证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，由此即可得到答案；
解：设 与 交于点，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
设 与 交于点，证明 ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
过点作 交 的延长线于点，证明 ，列出比例式，即可得到答案．
25.【答案】【小题】
如图所示，连接．

，为中点，
．
在和中
．
．
【小题】
，，
，．
，
．
．
，．
，
．
．
．
，，
，．
．
．
，，
．
，
．
．
．
，，
．
．
，，
．
．
．
．
．
，，
．
．
．
．
．
的长为．

【解析】
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
连接，证明，即可解决问题．
结合利用角的和差证明，即可解决问题；证明，可得，然后利用勾股定理求出的长，再证明，得，代入值即可解决问题．
26.【答案】【小题】
解： ，
，
如图所示，过点 作 于点，则 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ；
【小题】
解： ，点 从点 出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度运动，
点的运动时间为 秒，
，点 从点 出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度做往返运动，
点从 的运动时间为 秒，点从 的运动时间为 秒，
当点从 所用时间和为秒，此时点，重合，
设点 的运动时间为 秒，
当 时， ， ，则 ，
若 时，由 得到此时的四边形 是矩形，
，
解得 ；
当 时， ， ， ，
若 时，由 得到此时的四边形 是矩形，
，
解得 ；
综上所述，当以 为顶点的四边形是矩形时， 的值为 或 ；
【小题】
解：由可知， ，若 时，
当 时， ， ， ，如图所示，过点 作 于点，
同理可得，四边形 是矩形， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得 ；
当 时，如图所示，则四边形 是矩形， ，
同理可得， ，则 ，
，
又 ，
，
解得 ，此时点，重合；
综上所述， 的值为 或 ；
【小题】
解：点 是 边上的一点，且 ，
如图所示，当四边形 是菱形时，
；
如图所示，四边形 是菱形时，设 交于点，
则 ， ，
同理可得，四边形 是矩形，
，
；
如图所示，四边形 是菱形时， ，
在 中， ，
，
在 中， ；
综上所述， 的值为或 或 ．

【解析】 如图所示，过点 作 于点，则 ，得到四边形 是矩形，可得 ，在 中由勾股定理即可求解；
根据题意，分类讨论：当 时；当 时；结合矩形的性质列方程求解即可；
根据题意，分类讨论：当 时， ， ， ；当 时， ， ；由此列式求解即可；
根据题意，分类讨论：当四边形 是菱形；四边形 是菱形时；四边形 是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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