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　四川省（武胜、岳池、华蓥）2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　）
A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入②
C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入①
3．如图，已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．年月日，中国国际航空航天博览会开幕，空军八一飞行表演队在珠海国际航展中心表演编队飞行．如图是该表演队的部分飞行队形，若在同一平面直角坐标系内，两架飞机的坐标分别为和，则飞机的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．在扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为，则这个扇形所表示的类别占总体的（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．一个正数的两个平方根互为倒数
C．同位角互补，两直线平行
D．垂线段最短
8．如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
9．数学文化《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位，书中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何 ”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长，井深各是多少尺 ”设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为　 　．
12．写出一个解为 的二元一次方程组　 　。
13．已知的值（约）为　 　．
14．如图，直线相交于点平分．若，则的度数为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
15．（1）计算：；
（2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
16．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， ， ，，求的度数．
17．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，在图中画出三角形；
（2）直接写出三角形三个顶点的坐标；
（3）若三角形中一点平移后在三角形中的对应点为，则点的坐标为___________．
18．某校为了解学生平均每天课外阅读的时间，随机调查了该校部分学生一周内平均每天课外阅读的时间（以分钟为单位，并取整数），将有关数据统计整理并绘制成尚不完整的统计图表．
组别 分组 频数 百分比
1 7
2
3 20
4 6
5 5
注：这里的表示大于等于15，同时小于25．
请你根据图表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求调查的学生人数；
（2）直接写出统计表中的和的值，并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有3000名学生，则平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有多少名？
19．已知关于的方程组和的解相同．
（1）求方程组的解；
（2）求的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．下列调查：①了解某班学生完成20道素质测评选择题的正确率；②了解某款手表的防水性能；③对机场乘客进行安检；④了解全国人民对垃圾分类的了解程度．其中适合采用全面调查的有　 　．（请填写序号）
21．已知，则的值为　 　．
22．在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为　 　．
23．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
24．如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？
26．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中为有理数，那么___________，___________；
（2）如果，其中为有理数，求的算术平方根；
（3）如果为有理数，且，试求的值．
27．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间．
（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；
（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数；
（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
A.，是整数，属于有理数，不符合题意；
B.，是整数，属于有理数，不符合题意；
C.是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D.是圆周率，是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数，符合题意，
故选：D.
【分析】
无理数，即无限不循环小数，常见有3种形式，一是开不尽方的数，二是的和差倍积，三是有一定规律但无限不循环的小数.
2．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由①得，，再代入②，
得到，这种变形方法最为简便，
故选：A．
【分析】
由于对方程①变形，可直接用含x的代数式表示y，故选A．
3．【答案】B
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴
故选：B．
【分析】
同旁内角互补两直线平行．
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选D．
【分析】
不等式的基本性质，当两边同时乘以负数时，不等号方向改变．
5．【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵两架飞机的坐标分别为和，
∴建立平面直角坐标系如下：
由平面直角坐标系可得，飞机的坐标为，
故选：．
【分析】
先由A、B两点的坐标可建立平面直角坐标系数，再利用点C到两坐标轴的距离结果点C所在的象限即可得点C的坐标．
6．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：根据题意，得占总体的比例为：，
故选：C．
【分析】
根据题意，由即可求其占总体的百分比．
7．【答案】D
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平方根的概念与表示；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：选项A：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
在平面几何中，无论该点在直线上还是直线外，过该点确实存在且仅存在一条直线与已知直线垂直，但若未明确“同一平面内”，在三维空间中有无数条这样的直线，初中数学默认平面几何，但选项A未明确前提，表述不够严谨，故不选；
选项B：一个正数的两个平方根互为倒数；
正数a的平方根为，其乘积为，而非1，显然不互为倒数，例如，4的平方根为2和，乘积为，故B错误；
选项C：同位角互补，两直线平行；
两直线平行的条件是同位角相等，而非互补，若同位角互补（和为），只有当同位角均为时两直线才平行，但此非普遍结论；故C错误；
选项D：垂线段最短；
根据垂线段性质，直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段长度最短，教材中简化为“垂线段最短”，表述正确，故D正确；
综上，正确答案为D；
故选：D
【分析】
A、过直线外一点有且公有一条直线与已知直线垂直；
B、正数有两个平方根，它们互为相反数；
C、同旁内角互补，两直线平行；
D、垂线段最短.
8．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形向右平移得到三角形，
∴，，
∵四边形的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三角形的周长是，
故选：．
【分析】
由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，则四边形ABFD的周长等于三角形ABE的周长加上AD的2倍．
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意列方程组：
故选：B．
【分析】
设绳长x尺，井深y尺，则由相等关系可列关于x、y的二元一次方程组．
10．【答案】A
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即的整数部分是，
的小数部分是，
即，，
，
故选：A．
【分析】
由于6介于4和9之间，则介于2和3之间，即介于-3和-2之间，则介于1和2之间，所以，， 再利用实数的减法运算求出即可．
11．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
故答案为：．
【分析】
点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：先围绕 列一组算式
如-1+2=1，-1-2=-3
然后用x，y代换
得 等。
同理可得
答案不唯一，符合题意即可。
【分析】所请方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程。在求解时，应先围绕 列一组算式，然后用x，y代换中可列不同的方程组。
13．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】
被开方数的小数点每向左移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左移动1位．
14．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴．
∴，
故答案是：．
【分析】
由角平分线的概念可得，则，再利用邻补角的概念求出，最后应用对顶角的性质即可.
15．【答案】解：（1）原式
．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先分别开方，再去括号并合并同类二次根式即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再利用口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”求出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．
16．【答案】解：，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，根据边之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】
（2）
解：由（）图可得，；
（3）
解：∵点是由点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
（）沿坐标轴方向平移的点的坐标变化特征是：右加左减、上加下减；
（）由（1）知，分别给A、B、C三点的横坐标加2、给纵坐标减4即可得到对应点A1、B1、C1的坐标；
（）由题意知，点P可看作把点P1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，即可分别给点P1的横坐标减2、纵坐标加4即可得点P的坐标．
（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：由（）图可得，；
（3）解：∵点是由点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
18．【答案】（1）解：调查的学生人数为（人）；
（2）；
补全频数分布直方图如答图所示．
（3）全校平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有（名）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2），
补全频数分布直方图如答图所示．
【分析】
（1）直接利用第一组频数7除以其所占百分比即可；
（2）利用总调查人数乘以第2组所占的百分比可得a，再用第4组频数6除以调查总人数可得b，最后再补全频数分布直方图即可；
（3）用样本估计总体，即利用总人数3000乘以第3、4、5组所占的百分数之和即可．
（1）解：调查的学生人数为（人）；
（2），
补全频数分布直方图如答图所示．
（3）全校平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有（名）．
19．【答案】（1）解：方程组和的解相同，
，
，得，解得，
将代入①，得，解得，
方程组的解为；
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
，解得.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】
（1）根据同解方程的含义可得关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）利用方程组解的概念可得关于a、b的二元一次方程组并求解即可 .
（1）解：方程组和的解相同，
，
，得，解得，
将代入①，得，解得，
方程组的解为；
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
，解得.
20．【答案】①③
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：②④适合抽样调查；①③适合全面调查．
故答案为：①③．
【分析】
全面调查与抽样调查，全面调查适用于小范围、高精度任务，抽样调查适用于大范围、有破坏性或资源有限的情况．
21．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同时开立方得：．
故答案为： ．
【分析】
先移常数项并合并同类项，再直接开立方即可．
22．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵点，直线与轴平行，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【分析】
由于平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同，即可得关于a的一元一次方程并求解得；再由绝对值的概念和意义可得关于b的绝对值方程并求解得或．
23．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴解①得，，
解②得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先求得不等式组的每个不等式的解集，再根据口诀“大于大的且小于小的无解”可得关于m的不等式并求解即可．
24．【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：设，，
由题意可知平分，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
即；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即．
故填：．
【分析】本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义的应用，可以设，.根据角平分线的定义，可以推出；再结合平行线的性质，可以得到，由此可以整理得到。之后再次利用平行线的性质以及垂直的定义，可以推出，变形后就能得到结论.
25．【答案】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
根据题意，得解得
答：应该生产种产品8件，种产品2件．
（2）解：设生产产品件，则生产产品件，
根据题意，得
解得．
为正整数，
的值为5，6或7，
该工厂有三种生产方案：
方案①：生产种产品5件，种产品5件；
方案②：生产种产品6件，种产品4件；
方案③：生产种产品7件，种产品3件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据相等关系“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”可得关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设生产产品件，则生产产品件，根据不等关系“ 投入资金不多于35万元，且获利多于14万元 ”可得关于m一元一次不等式组并求出m的正整数解即可．
（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
根据题意，得解得
答：应该生产种产品8件，种产品2件．
（2）解：设生产产品件，则生产产品件，
根据题意，得
解得．
为正整数，
的值为5，6或7，
该工厂有三种生产方案：
方案①：生产种产品5件，种产品5件；
方案②：生产种产品6件，种产品4件；
方案③：生产种产品7件，种产品3件．
26．【答案】（1）；3
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
解得
当时，的值为1；
当时，的值为．
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】
（1）
解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
【分析】
（1）由题意知当，等式才能成立，再分别求解关于a、b的一元一次方程即可；
（2）由题意可得关于a、b的二元一次方程组并求解得，再利用有理数的加减乘除混合运算求出指定代数式的值，最后再求算术平方根即可；
（3） 由题意可得关于a、b的方程组并求解得，然后分两种情况代值计算即可．
（1）解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
解得
当时，的值为1；
当时，的值为．
27．【答案】（1）
（2）解：由题意可知，过点E作，如图所示，
，
，．
，
，
；
（3）解：存在，有两种情况；
①当点E在上方时，如图所示；
，
，
，
∴射线与所夹锐角的度数为．
②当点E在下方时，如图所示；
，
，
即，
．
∴射线与所夹锐角．
综上所述，射线与所夹锐角的度数为或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）解：，
，
又，
．
故填：．
【分析】这道题考查的核心是平行线的性质，解题时要熟练掌握平行线的性质，不要遗漏分类讨论的情况，这是解题的关键.
（1）根据题目给出的条件，结合平行线的性质可以得到，由此就能算出对应角度的结果.
（2）根据题目条件，先计算出的度数，就可以求出题目的答案.
（3）根据题意，需要分两种不同的情况讨论：分别是点E在上方，和点E在下方，分别计算两种情况即可得到结果.
（1）解：，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：由题意，过点E作，如图，
，
，．
，
，
；
（3）解：存在，有两种情况；
①当点E在上方时，如图；
，
，
，
∴射线与所夹锐角的度数为．
②当点E在下方时，如图；
，
，
即，
．
∴射线与所夹锐角．
综上所述射线与所夹锐角的度数为或．
1 / 1　四川省（武胜、岳池、华蓥）2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
A.，是整数，属于有理数，不符合题意；
B.，是整数，属于有理数，不符合题意；
C.是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D.是圆周率，是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数，符合题意，
故选：D.
【分析】
无理数，即无限不循环小数，常见有3种形式，一是开不尽方的数，二是的和差倍积，三是有一定规律但无限不循环的小数.
2．用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　）
A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入②
C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入①
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由①得，，再代入②，
得到，这种变形方法最为简便，
故选：A．
【分析】
由于对方程①变形，可直接用含x的代数式表示y，故选A．
3．如图，已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴
故选：B．
【分析】
同旁内角互补两直线平行．
4．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选D．
【分析】
不等式的基本性质，当两边同时乘以负数时，不等号方向改变．
5．年月日，中国国际航空航天博览会开幕，空军八一飞行表演队在珠海国际航展中心表演编队飞行．如图是该表演队的部分飞行队形，若在同一平面直角坐标系内，两架飞机的坐标分别为和，则飞机的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵两架飞机的坐标分别为和，
∴建立平面直角坐标系如下：
由平面直角坐标系可得，飞机的坐标为，
故选：．
【分析】
先由A、B两点的坐标可建立平面直角坐标系数，再利用点C到两坐标轴的距离结果点C所在的象限即可得点C的坐标．
6．在扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为，则这个扇形所表示的类别占总体的（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：根据题意，得占总体的比例为：，
故选：C．
【分析】
根据题意，由即可求其占总体的百分比．
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．一个正数的两个平方根互为倒数
C．同位角互补，两直线平行
D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平方根的概念与表示；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：选项A：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
在平面几何中，无论该点在直线上还是直线外，过该点确实存在且仅存在一条直线与已知直线垂直，但若未明确“同一平面内”，在三维空间中有无数条这样的直线，初中数学默认平面几何，但选项A未明确前提，表述不够严谨，故不选；
选项B：一个正数的两个平方根互为倒数；
正数a的平方根为，其乘积为，而非1，显然不互为倒数，例如，4的平方根为2和，乘积为，故B错误；
选项C：同位角互补，两直线平行；
两直线平行的条件是同位角相等，而非互补，若同位角互补（和为），只有当同位角均为时两直线才平行，但此非普遍结论；故C错误；
选项D：垂线段最短；
根据垂线段性质，直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段长度最短，教材中简化为“垂线段最短”，表述正确，故D正确；
综上，正确答案为D；
故选：D
【分析】
A、过直线外一点有且公有一条直线与已知直线垂直；
B、正数有两个平方根，它们互为相反数；
C、同旁内角互补，两直线平行；
D、垂线段最短.
8．如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形向右平移得到三角形，
∴，，
∵四边形的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三角形的周长是，
故选：．
【分析】
由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，则四边形ABFD的周长等于三角形ABE的周长加上AD的2倍．
9．数学文化《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位，书中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何 ”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长，井深各是多少尺 ”设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意列方程组：
故选：B．
【分析】
设绳长x尺，井深y尺，则由相等关系可列关于x、y的二元一次方程组．
10．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即的整数部分是，
的小数部分是，
即，，
，
故选：A．
【分析】
由于6介于4和9之间，则介于2和3之间，即介于-3和-2之间，则介于1和2之间，所以，， 再利用实数的减法运算求出即可．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
故答案为：．
【分析】
点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值．
12．写出一个解为 的二元一次方程组　 　。
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：先围绕 列一组算式
如-1+2=1，-1-2=-3
然后用x，y代换
得 等。
同理可得
答案不唯一，符合题意即可。
【分析】所请方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程。在求解时，应先围绕 列一组算式，然后用x，y代换中可列不同的方程组。
13．已知的值（约）为　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】
被开方数的小数点每向左移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左移动1位．
14．如图，直线相交于点平分．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴．
∴，
故答案是：．
【分析】
由角平分线的概念可得，则，再利用邻补角的概念求出，最后应用对顶角的性质即可.
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
15．（1）计算：；
（2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：（1）原式
．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先分别开方，再去括号并合并同类二次根式即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再利用口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”求出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．
16．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， ， ，，求的度数．
【答案】解：，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，根据边之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
17．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，在图中画出三角形；
（2）直接写出三角形三个顶点的坐标；
（3）若三角形中一点平移后在三角形中的对应点为，则点的坐标为___________．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】
（2）
解：由（）图可得，；
（3）
解：∵点是由点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
（）沿坐标轴方向平移的点的坐标变化特征是：右加左减、上加下减；
（）由（1）知，分别给A、B、C三点的横坐标加2、给纵坐标减4即可得到对应点A1、B1、C1的坐标；
（）由题意知，点P可看作把点P1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，即可分别给点P1的横坐标减2、纵坐标加4即可得点P的坐标．
（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：由（）图可得，；
（3）解：∵点是由点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
18．某校为了解学生平均每天课外阅读的时间，随机调查了该校部分学生一周内平均每天课外阅读的时间（以分钟为单位，并取整数），将有关数据统计整理并绘制成尚不完整的统计图表．
组别 分组 频数 百分比
1 7
2
3 20
4 6
5 5
注：这里的表示大于等于15，同时小于25．
请你根据图表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求调查的学生人数；
（2）直接写出统计表中的和的值，并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有3000名学生，则平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有多少名？
【答案】（1）解：调查的学生人数为（人）；
（2）；
补全频数分布直方图如答图所示．
（3）全校平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有（名）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2），
补全频数分布直方图如答图所示．
【分析】
（1）直接利用第一组频数7除以其所占百分比即可；
（2）利用总调查人数乘以第2组所占的百分比可得a，再用第4组频数6除以调查总人数可得b，最后再补全频数分布直方图即可；
（3）用样本估计总体，即利用总人数3000乘以第3、4、5组所占的百分数之和即可．
（1）解：调查的学生人数为（人）；
（2），
补全频数分布直方图如答图所示．
（3）全校平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有（名）．
19．已知关于的方程组和的解相同．
（1）求方程组的解；
（2）求的值．
【答案】（1）解：方程组和的解相同，
，
，得，解得，
将代入①，得，解得，
方程组的解为；
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
，解得.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】
（1）根据同解方程的含义可得关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）利用方程组解的概念可得关于a、b的二元一次方程组并求解即可 .
（1）解：方程组和的解相同，
，
，得，解得，
将代入①，得，解得，
方程组的解为；
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
，解得.
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．下列调查：①了解某班学生完成20道素质测评选择题的正确率；②了解某款手表的防水性能；③对机场乘客进行安检；④了解全国人民对垃圾分类的了解程度．其中适合采用全面调查的有　 　．（请填写序号）
【答案】①③
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：②④适合抽样调查；①③适合全面调查．
故答案为：①③．
【分析】
全面调查与抽样调查，全面调查适用于小范围、高精度任务，抽样调查适用于大范围、有破坏性或资源有限的情况．
21．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同时开立方得：．
故答案为： ．
【分析】
先移常数项并合并同类项，再直接开立方即可．
22．在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵点，直线与轴平行，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【分析】
由于平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同，即可得关于a的一元一次方程并求解得；再由绝对值的概念和意义可得关于b的绝对值方程并求解得或．
23．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴解①得，，
解②得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先求得不等式组的每个不等式的解集，再根据口诀“大于大的且小于小的无解”可得关于m的不等式并求解即可．
24．如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：设，，
由题意可知平分，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
即；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即．
故填：．
【分析】本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义的应用，可以设，.根据角平分线的定义，可以推出；再结合平行线的性质，可以得到，由此可以整理得到。之后再次利用平行线的性质以及垂直的定义，可以推出，变形后就能得到结论.
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？
【答案】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
根据题意，得解得
答：应该生产种产品8件，种产品2件．
（2）解：设生产产品件，则生产产品件，
根据题意，得
解得．
为正整数，
的值为5，6或7，
该工厂有三种生产方案：
方案①：生产种产品5件，种产品5件；
方案②：生产种产品6件，种产品4件；
方案③：生产种产品7件，种产品3件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据相等关系“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”可得关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设生产产品件，则生产产品件，根据不等关系“ 投入资金不多于35万元，且获利多于14万元 ”可得关于m一元一次不等式组并求出m的正整数解即可．
（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
根据题意，得解得
答：应该生产种产品8件，种产品2件．
（2）解：设生产产品件，则生产产品件，
根据题意，得
解得．
为正整数，
的值为5，6或7，
该工厂有三种生产方案：
方案①：生产种产品5件，种产品5件；
方案②：生产种产品6件，种产品4件；
方案③：生产种产品7件，种产品3件．
26．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中为有理数，那么___________，___________；
（2）如果，其中为有理数，求的算术平方根；
（3）如果为有理数，且，试求的值．
【答案】（1）；3
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
解得
当时，的值为1；
当时，的值为．
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】
（1）
解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
【分析】
（1）由题意知当，等式才能成立，再分别求解关于a、b的一元一次方程即可；
（2）由题意可得关于a、b的二元一次方程组并求解得，再利用有理数的加减乘除混合运算求出指定代数式的值，最后再求算术平方根即可；
（3） 由题意可得关于a、b的方程组并求解得，然后分两种情况代值计算即可．
（1）解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
解得
当时，的值为1；
当时，的值为．
27．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间．
（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；
（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数；
（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由题意可知，过点E作，如图所示，
，
，．
，
，
；
（3）解：存在，有两种情况；
①当点E在上方时，如图所示；
，
，
，
∴射线与所夹锐角的度数为．
②当点E在下方时，如图所示；
，
，
即，
．
∴射线与所夹锐角．
综上所述，射线与所夹锐角的度数为或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）解：，
，
又，
．
故填：．
【分析】这道题考查的核心是平行线的性质，解题时要熟练掌握平行线的性质，不要遗漏分类讨论的情况，这是解题的关键.
（1）根据题目给出的条件，结合平行线的性质可以得到，由此就能算出对应角度的结果.
（2）根据题目条件，先计算出的度数，就可以求出题目的答案.
（3）根据题意，需要分两种不同的情况讨论：分别是点E在上方，和点E在下方，分别计算两种情况即可得到结果.
（1）解：，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：由题意，过点E作，如图，
，
，．
，
，
；
（3）解：存在，有两种情况；
①当点E在上方时，如图；
，
，
，
∴射线与所夹锐角的度数为．
②当点E在下方时，如图；
，
，
即，
．
∴射线与所夹锐角．
综上所述射线与所夹锐角的度数为或．
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