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四川省内江市2024-2025学年八年级下学期下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】A、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意；
B、此选项中的式子是分式，故此选项符合题意；
C、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意；
D、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如，A、B表示两个整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
2．北斗导航是我国的定位神器，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，能为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达12纳米（即米），则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，故纵坐标绝对值为，即，得．
点到轴的距离为，故横坐标绝对值为，即，得．
第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，故，．
因此，点的坐标为，
故选：D．
【分析】
平面直角坐标系中任一点到x轴的距离为纵坐标绝对值，到y轴的距离为横坐标绝对值；第四象限坐标符号特征为（+，-）．
4．将分式中的的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．扩大为原来的9倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题可知，
当分式中的与分别扩大为原料的3被后：，
．
则扩大为原料的3倍．
故选：A．
【分析】
由题意知，x、y同时扩大3倍后，分子扩大了9倍而分母扩大了3倍，则分式的值扩大3倍．
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限；
当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．
观察图形可知，只有A选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
先分析当k＞0时，一次函数和反比例函数所过象限；再分析k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，即可解答．
6．如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，则由等角对等边可得BE=AB=DC=CF，再利用线段的和差关系即可．
7．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（　　）
A．①对角相等 B．③对边相等
C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补
【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：选项：平行四边形本身就具有对角相等的性质，仅根据对角相等无法判定平行四边形是矩形，因此该选项错误；
选项：矩形本身对边就相等，仅对边相等无法判定矩形是正方形，因此该选项错误；
选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形就是菱形，该说法符合判定规则，因此该选项正确；
选项：菱形本身邻角互补，仅根据邻角互补无法判定菱形是正方形，因此该选项错误；
故选：．
【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定定理，需要结合矩形、菱形、正方形的判定规则，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握各类特殊平行四边形的判定条件是解答这道题的核心.
8．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，且，
∴．
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时双曲线的两个分支分别在第二、四象限，而且在每个象限内y随x增大而增大，即可得到．
9．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设点的坐标为，因为在反比例函数上，所以。
已知是的中点，且垂直于轴，因此，。
的面积为，题目中的面积为，即，所以。
故答案为：A。
【分析】 本题通过反比例函数的几何意义，结合三角形面积与中点性质，建立等量关系求解 k 的值。
10．若关于的方程无解，那么的值是（　　）
A．4 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：将原分式方程化为整式方程，可得。整理后可得，
因为原分式方程无解，说明方程的根是增根，即分母为0，因此可得，
将x=-3代入可得，
解得。
故选：A.
【分析】本题考查分式方程根的相关情况，解题的关键是掌握分式方程无解的两种条件：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是求得的根是分式方程的增根.
先把分式方程化为整式方程，再找出让最简公分母为0的增根，代入整式方程计算，或者根据整式方程无解的情况推导参数的值即可.
11．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（　　）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】如图，连接，作点关于点的对称点，连接
四边形是矩形
，
∵
，
的最小值为
故选：D．
【分析】
由矩形的性质结合AE=CF，可延长BA到B`使AB=AB`，再连接EB`，则可利用SAS可证明，则B`E=DF，即可转化为，再由两点之间线段最短可知当C、E、B`三点共线时最小，此时再利用勾股定理求出即可 ．
12．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意不能证明，
故①不正确；
连接PC，
∵ 正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴ 四边形PECF是矩形；
∴PC=EF， ∠EPF=∠PFC=∠PEC=90°，
根据正方形是轴对称图形可得：AP=PC，
∴AP=EF；
延长AP，交EF于点N，
由题意可得：AB∥PE，
则∠EPN=∠BAP，
由正方形的对称性可得：∠BAP=∠BCP，
由矩形的对称性可得：∠PCE=∠EFP，
∴ ∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，故③正确；
∵∠EPN+∠NPF=90°，
∴∠PFN+∠FPN=90°，
∴∠PNF=90°，
∴ AP⊥EF；故②正确；
当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值，
∵正方形边长为2，
∴AP的最小值为，
∵，
∴EF的最小值为，故④正确；
由题意可得：，
∵BP是对角线，
∴△PDF是等腰直角三角形，同理：△BPE是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即， 故⑤正确；
故选：D．
【分析】
①由于点P是对角线BD的动点，则PB可能等于AB，也可能不等于AB；
②连接PC，则由矩形的判定与性质可得EF=PC，再由正方形的轴对称性质可得PA=PC，则AP= EF； 延长AP，交EF于点N，由平行线的性质可得∠EPN=∠BAP，由轴对称知∠BCP=∠BAP，由矩形的性质得∠BCP=∠PFE，等量代换得∠EPN=∠PFE，再由直角三角形两锐角互余可得∠PNF=90°；
③由②知∠EPN=∠PFE=∠BAP；
④由垂线段最短知当AP垂BD时AP最小，此时EF最小，此时先由勾股定理可得BD的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质即可得AP的长；
⑤由于PA=PC，则由勾股定理可得PC2等于PE与EC的平方和，再由矩形、等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得PB2=2PE2，PD2=2PF2，再等量代换即可．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上）
13．使分式有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≠3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣3≠0，解可得答案．
14．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的方差是　 　．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数是：，
则方差；
故答案为．
【分析】
方差指一组数据的平均值与各数据完全平方差的平均值．
15．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】四边形是菱形，
平分，，
又
，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
【分析】
延长DP交BC于点E，由菱形的性质可得PE=PF，即DE=3，再由直角三角形两锐角互余可得三角形DEC是等腰直角三角形，则CE=DE=3，再利用勾股定理求出CD，最后再利用平行四边形面积公式即可．
16．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，
根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积，
平行四边形的面积平行四边形的面积，…，
∴平行四边形的面积，
∴平行四边形的面积，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质和平行四边形的性质知，，，依次类推可得．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
∵，
∴
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算乘方，再求绝对值，最后再进行加减即可；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母通分再作减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为整式或最简分式，再根据已知可得，再整体代入计算即可．
18．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长和的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，
四边形是平形四边形；
（2）解：由（1）可知四边形是平形四边形，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用：
（1）由，根据平行线的同旁内角互补性质可得，结合已知条件，等量代换可得，由此可推出，结合两组对边分别平行即可完成证明；
（2）先利用勾股定理计算得到，结合平行四边形对角线互相平分的性质可得，再次运用勾股定理计算得到，即可得到最终结果.
（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平形四边形；
（2）解：∵四边形是平形四边形，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
19．中华优秀传统文化源远流长．《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》是我国“四大古典名著”．某中学为打造“人爱读书，人人好读书”的书香校园，开展以“整本书阅读——我喜欢的古典名著”阅读情况调查活动，就“四大古典名著你读完了几部”的问题从全校各年级抽取部分学生进行了调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）学校抽取被调查的学生总人数为________，并将条形统计图补充完整；
（2）本次调查“四大古典名著你读完了几部”所得数据的众数是________，中位数是________；
（3）“名著达人”的评选条件是读完了其中3部及以上，在全校1200名学生中，估计有多少名同学可以入选“名著达人”．
【答案】（1）40人；
补全统计图如下
（2）1；2
（3）解：（人），
∴估计有540名同学可以入选“名著达人”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：（人），
∴一共调查了40人，
∴“2部”的人数为（人），
补全统计图如下
（2）
解：∵1部的人数最多，
∴众数为1部，
∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，
∴中位数为2部；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用1部的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出2部的人数即可补全统计图即可；
（2）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；中位数指一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；
（3）用样本估计总体，即用1200乘以样本中3部和4部的人数占比即可．
（1）解：（人），
∴一共调查了40人，
∴“2部”的人数为（人），
补全统计图如下
（2）解：∵1部的人数最多，
∴众数为1部，
∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，
∴中位数为2部；
（3）解：（人），
∴估计有540名同学可以入选“名著达人”．
20．教育部印发《义务教育课程方案和课程标准》，将劳动课程从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地每捆种菜苗价格的2倍，用500元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的种菜苗少10捆．
（1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共200捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，求本次购买最少花费多少元．
【答案】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元；
（2）解：设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，根据题意得：，
解得：．
设本次购买共花费w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：本次购买最少花费是6000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，根据相等关系“500元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的A种菜苗少10捆”可列出关于x的分式方程并求解即可；
（2）设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，根据不等关系可列出关于m的一元一次不等式并求解可得m的取值范围，再设本次购买共花费w元，则可得出w是关于m的一次函数且一次项系数为负，即w随m的增大而减小，再利用一次函数的性质结合m的取值范围求出w的最小值即可．
（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元；
（2）解：设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，
根据题意得：，
解得：．
设本次购买共花费w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：本次购买最少花费是6000元．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点关于原点的对称点是点，求的面积．
【答案】（1）解：把、，代入，得：，解得：，
∴、，
∴，
∴；
（2）
（3）解：由（1）知：、，
∴，
设直线的解析式为：，则：，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：等式的解集为；
【分析】
（1）先由直线点的坐标特征可得点A或B的坐标，再利用待定系数法即可；
（2）不等式的解集即直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围；
（3）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出点坐标，再利用割补法求解即可．
（1）解：把、，代入，得：，
解得：，
∴、，
∴，
∴；
（2）由图象可知：等式的解集为；
（3）由（1）知：、，
∴，
设直线的解析式为：，则：，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴．
22．小田同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的数是关系，下面是他的思考过程．
（1）探究一
如图1，正方形的边长为，则．
如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示）
（2）探究二
①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示）
②如图4，小田发现在中，若，，则①的结论依然成立，小田同学已写出部分证明过程，请你跟随小田的思路，完成余下的证明过程．
证明：如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，易证，
，，……
（3）拓展应用
在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为点，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①
②如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，
易证，
，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】
（1）
解：根据菱形的性质，得，，
根据勾股定理得，
变形得，
整理得．
故答案为：．
（2）
①解：根据矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）
解：根据题意，中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵点B绕点O旋转，点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，则
（2）①由矩形的性质结合勾股定理可得，则；
②如图分别过点A、D作BC的垂线段AE、DF，则由矩形的判定与性质可得AD=DF、BE=CF，再等量代换可得CE=BC-BE，BF=BC+BE，再利用勾股定理即可证明结论成立；
（3）如图，先由（2）的结论可得BD的长，再由平行四边形的性质可得AC的长，此时再过点D作OB`的垂线段DH，当顺时针旋转时，由矩形的判定与性质可得OH=CH，DH =OC，又OB`=OB，则B`H可得，再利用勾股定理求出DB`即可；当逆时针旋转时，先求出B``H的长，再利用勾股定理即可．
（1）解：根据菱形的性质，得，，
根据勾股定理得，
变形得，
整理得．
故答案为：．
（2）①解：根据矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
②如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，
易证，
，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）解：根据题意，中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵点B绕点O旋转，点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
1 / 1四川省内江市2024-2025学年八年级下学期下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．北斗导航是我国的定位神器，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，能为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达12纳米（即米），则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．将分式中的的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．扩大为原来的9倍 D．不变
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
7．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（　　）
A．①对角相等 B．③对边相等
C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补
8．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
10．若关于的方程无解，那么的值是（　　）
A．4 B． C． D．3
11．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（　　）
A． B．6 C．4 D．
12．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上）
13．使分式有意义的x的取值范围是　 　．
14．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的方差是　 　．
15．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为　 　．
16．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
18．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长和的长．
19．中华优秀传统文化源远流长．《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》是我国“四大古典名著”．某中学为打造“人爱读书，人人好读书”的书香校园，开展以“整本书阅读——我喜欢的古典名著”阅读情况调查活动，就“四大古典名著你读完了几部”的问题从全校各年级抽取部分学生进行了调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）学校抽取被调查的学生总人数为________，并将条形统计图补充完整；
（2）本次调查“四大古典名著你读完了几部”所得数据的众数是________，中位数是________；
（3）“名著达人”的评选条件是读完了其中3部及以上，在全校1200名学生中，估计有多少名同学可以入选“名著达人”．
20．教育部印发《义务教育课程方案和课程标准》，将劳动课程从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地每捆种菜苗价格的2倍，用500元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的种菜苗少10捆．
（1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共200捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，求本次购买最少花费多少元．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点关于原点的对称点是点，求的面积．
22．小田同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的数是关系，下面是他的思考过程．
（1）探究一
如图1，正方形的边长为，则．
如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示）
（2）探究二
①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示）
②如图4，小田发现在中，若，，则①的结论依然成立，小田同学已写出部分证明过程，请你跟随小田的思路，完成余下的证明过程．
证明：如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，易证，
，，……
（3）拓展应用
在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为点，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】A、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意；
B、此选项中的式子是分式，故此选项符合题意；
C、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意；
D、此选项中的式子分母中不含有字母，不是分式，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如，A、B表示两个整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，故纵坐标绝对值为，即，得．
点到轴的距离为，故横坐标绝对值为，即，得．
第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，故，．
因此，点的坐标为，
故选：D．
【分析】
平面直角坐标系中任一点到x轴的距离为纵坐标绝对值，到y轴的距离为横坐标绝对值；第四象限坐标符号特征为（+，-）．
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题可知，
当分式中的与分别扩大为原料的3被后：，
．
则扩大为原料的3倍．
故选：A．
【分析】
由题意知，x、y同时扩大3倍后，分子扩大了9倍而分母扩大了3倍，则分式的值扩大3倍．
5．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限；
当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．
观察图形可知，只有A选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
先分析当k＞0时，一次函数和反比例函数所过象限；再分析k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，即可解答．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，则由等角对等边可得BE=AB=DC=CF，再利用线段的和差关系即可．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：选项：平行四边形本身就具有对角相等的性质，仅根据对角相等无法判定平行四边形是矩形，因此该选项错误；
选项：矩形本身对边就相等，仅对边相等无法判定矩形是正方形，因此该选项错误；
选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形就是菱形，该说法符合判定规则，因此该选项正确；
选项：菱形本身邻角互补，仅根据邻角互补无法判定菱形是正方形，因此该选项错误；
故选：．
【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定定理，需要结合矩形、菱形、正方形的判定规则，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握各类特殊平行四边形的判定条件是解答这道题的核心.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，且，
∴．
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时双曲线的两个分支分别在第二、四象限，而且在每个象限内y随x增大而增大，即可得到．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设点的坐标为，因为在反比例函数上，所以。
已知是的中点，且垂直于轴，因此，。
的面积为，题目中的面积为，即，所以。
故答案为：A。
【分析】 本题通过反比例函数的几何意义，结合三角形面积与中点性质，建立等量关系求解 k 的值。
10．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：将原分式方程化为整式方程，可得。整理后可得，
因为原分式方程无解，说明方程的根是增根，即分母为0，因此可得，
将x=-3代入可得，
解得。
故选：A.
【分析】本题考查分式方程根的相关情况，解题的关键是掌握分式方程无解的两种条件：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是求得的根是分式方程的增根.
先把分式方程化为整式方程，再找出让最简公分母为0的增根，代入整式方程计算，或者根据整式方程无解的情况推导参数的值即可.
11．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】如图，连接，作点关于点的对称点，连接
四边形是矩形
，
∵
，
的最小值为
故选：D．
【分析】
由矩形的性质结合AE=CF，可延长BA到B`使AB=AB`，再连接EB`，则可利用SAS可证明，则B`E=DF，即可转化为，再由两点之间线段最短可知当C、E、B`三点共线时最小，此时再利用勾股定理求出即可 ．
12．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意不能证明，
故①不正确；
连接PC，
∵ 正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴ 四边形PECF是矩形；
∴PC=EF， ∠EPF=∠PFC=∠PEC=90°，
根据正方形是轴对称图形可得：AP=PC，
∴AP=EF；
延长AP，交EF于点N，
由题意可得：AB∥PE，
则∠EPN=∠BAP，
由正方形的对称性可得：∠BAP=∠BCP，
由矩形的对称性可得：∠PCE=∠EFP，
∴ ∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，故③正确；
∵∠EPN+∠NPF=90°，
∴∠PFN+∠FPN=90°，
∴∠PNF=90°，
∴ AP⊥EF；故②正确；
当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值，
∵正方形边长为2，
∴AP的最小值为，
∵，
∴EF的最小值为，故④正确；
由题意可得：，
∵BP是对角线，
∴△PDF是等腰直角三角形，同理：△BPE是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即， 故⑤正确；
故选：D．
【分析】
①由于点P是对角线BD的动点，则PB可能等于AB，也可能不等于AB；
②连接PC，则由矩形的判定与性质可得EF=PC，再由正方形的轴对称性质可得PA=PC，则AP= EF； 延长AP，交EF于点N，由平行线的性质可得∠EPN=∠BAP，由轴对称知∠BCP=∠BAP，由矩形的性质得∠BCP=∠PFE，等量代换得∠EPN=∠PFE，再由直角三角形两锐角互余可得∠PNF=90°；
③由②知∠EPN=∠PFE=∠BAP；
④由垂线段最短知当AP垂BD时AP最小，此时EF最小，此时先由勾股定理可得BD的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质即可得AP的长；
⑤由于PA=PC，则由勾股定理可得PC2等于PE与EC的平方和，再由矩形、等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得PB2=2PE2，PD2=2PF2，再等量代换即可．
13．【答案】x≠3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣3≠0，解可得答案．
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数是：，
则方差；
故答案为．
【分析】
方差指一组数据的平均值与各数据完全平方差的平均值．
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】四边形是菱形，
平分，，
又
，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
【分析】
延长DP交BC于点E，由菱形的性质可得PE=PF，即DE=3，再由直角三角形两锐角互余可得三角形DEC是等腰直角三角形，则CE=DE=3，再利用勾股定理求出CD，最后再利用平行四边形面积公式即可．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，
根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积，
平行四边形的面积平行四边形的面积，…，
∴平行四边形的面积，
∴平行四边形的面积，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质和平行四边形的性质知，，，依次类推可得．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
；
∵，
∴
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算乘方，再求绝对值，最后再进行加减即可；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母通分再作减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为整式或最简分式，再根据已知可得，再整体代入计算即可．
18．【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，
四边形是平形四边形；
（2）解：由（1）可知四边形是平形四边形，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用：
（1）由，根据平行线的同旁内角互补性质可得，结合已知条件，等量代换可得，由此可推出，结合两组对边分别平行即可完成证明；
（2）先利用勾股定理计算得到，结合平行四边形对角线互相平分的性质可得，再次运用勾股定理计算得到，即可得到最终结果.
（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平形四边形；
（2）解：∵四边形是平形四边形，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）40人；
补全统计图如下
（2）1；2
（3）解：（人），
∴估计有540名同学可以入选“名著达人”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：（人），
∴一共调查了40人，
∴“2部”的人数为（人），
补全统计图如下
（2）
解：∵1部的人数最多，
∴众数为1部，
∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，
∴中位数为2部；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用1部的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出2部的人数即可补全统计图即可；
（2）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；中位数指一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；
（3）用样本估计总体，即用1200乘以样本中3部和4部的人数占比即可．
（1）解：（人），
∴一共调查了40人，
∴“2部”的人数为（人），
补全统计图如下
（2）解：∵1部的人数最多，
∴众数为1部，
∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，
∴中位数为2部；
（3）解：（人），
∴估计有540名同学可以入选“名著达人”．
20．【答案】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元；
（2）解：设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，根据题意得：，
解得：．
设本次购买共花费w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：本次购买最少花费是6000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，根据相等关系“500元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的A种菜苗少10捆”可列出关于x的分式方程并求解即可；
（2）设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，根据不等关系可列出关于m的一元一次不等式并求解可得m的取值范围，再设本次购买共花费w元，则可得出w是关于m的一次函数且一次项系数为负，即w随m的增大而减小，再利用一次函数的性质结合m的取值范围求出w的最小值即可．
（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元；
（2）解：设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，
根据题意得：，
解得：．
设本次购买共花费w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：本次购买最少花费是6000元．
21．【答案】（1）解：把、，代入，得：，解得：，
∴、，
∴，
∴；
（2）
（3）解：由（1）知：、，
∴，
设直线的解析式为：，则：，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：等式的解集为；
【分析】
（1）先由直线点的坐标特征可得点A或B的坐标，再利用待定系数法即可；
（2）不等式的解集即直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围；
（3）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出点坐标，再利用割补法求解即可．
（1）解：把、，代入，得：，
解得：，
∴、，
∴，
∴；
（2）由图象可知：等式的解集为；
（3）由（1）知：、，
∴，
设直线的解析式为：，则：，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）①
②如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，
易证，
，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】
（1）
解：根据菱形的性质，得，，
根据勾股定理得，
变形得，
整理得．
故答案为：．
（2）
①解：根据矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）
解：根据题意，中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵点B绕点O旋转，点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，则
（2）①由矩形的性质结合勾股定理可得，则；
②如图分别过点A、D作BC的垂线段AE、DF，则由矩形的判定与性质可得AD=DF、BE=CF，再等量代换可得CE=BC-BE，BF=BC+BE，再利用勾股定理即可证明结论成立；
（3）如图，先由（2）的结论可得BD的长，再由平行四边形的性质可得AC的长，此时再过点D作OB`的垂线段DH，当顺时针旋转时，由矩形的判定与性质可得OH=CH，DH =OC，又OB`=OB，则B`H可得，再利用勾股定理求出DB`即可；当逆时针旋转时，先求出B``H的长，再利用勾股定理即可．
（1）解：根据菱形的性质，得，，
根据勾股定理得，
变形得，
整理得．
故答案为：．
（2）①解：根据矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
②如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，
易证，
，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）解：根据题意，中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵点B绕点O旋转，点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
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