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湖南省张家界市永定区2026年初中毕业学业水平考试模拟测试卷(1) 数学
1．若的相反数是2026，则的值是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若点，，，都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　）
A．8 B． C．16 D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．调查大明湖的水质情况，采用普查的方式
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定
C．一组数据3、6、6、7、9的众数是6
D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生
9．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到(　　)
A．P处 B．Q处 C．M处 D．N处
11．因式分解： =　 　.
12．在函数中，自变量的取值范围为　 　．
13．不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．
14．如图，在菱形中，，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分面积为　 　．（结果保留π）
15．如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是　 　．
16．如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的　 　．
①，②，③，④．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）若，说明四边形为菱形．
19．某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
　
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度：
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
20．2025年贺岁片《哪吒2 魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元．
（1）求，两款摆件每个的利润分别是多少？
（2）若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？
21．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求汽车底盘的高度，即点C到的距离；
（2）求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度．
22．如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
23．如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）；
（3）如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
24．在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB=8，AD=6．
（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN=AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2=MN·MD时，求AE的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
，
故选：B．
【分析】
根据互为相反数的数的性质来求解就可以得到答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
选项C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
选项D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B
【分析】
如果一个图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形。根据这两个定义，对每个选项逐一进行分析判断.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵
∴故选：D．
【分析】科学记数法表示大于0且小于1的数：写成a×10-n， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）.

4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为轴，开口向上，
在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
点关于轴对称的点为，
，
，
故选：D．
【分析】
根据二次函数的性质，已知抛物线解析式为，可推出它开口向上，对称轴为轴，结合“抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小”这一性质，即可完成判断.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故选：C
【分析】
先利用三角形外角的性质计算出的度数，再结合平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，即可求出的度数．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【分析】
连接，首先根据三角形面积的性质可以得到，之后结合反比例函数中比例系数的几何意义，可以推出，最后对等式去绝对值，就能得到符合题意的的值.
8．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A、调查大明湖的水质情况，采用抽样调查的方式，说法不符合题意；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，说法不符合题意；
C、一组数据3、6、6、7、9的众数是6，说法符合题意；
D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100，说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平均数、众数的定义及方差的意义解答可得．
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
因为今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，
所以，
因为5只雀、6只燕重量为1斤，
所以，
即．
故选：D．
【分析】
根据题意可知，5只雀加上6只燕的总重量是1斤，题目还给出雀的重量比燕重，且将雀和燕互换一只之后，两边的重量恰好相等，依据这两个等量关系，就可以列出对应的方程组.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】当R从N向P运动时，S△MNR=·MN·NR
∵NR不断增加，
∴S△MNR面积不断增大
当R从P向Q运动时，S△MNR=·MN·NP
∵MN、PN不变，
∴S△MNR面积保持不变
当R从Q向M运动时，S△MNR=·MN·MR
∵MR不断减小，
∴S△MNR面积不断减小
故当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处.
故选：A
【分析】
结合点R的移动规律可知，点R的运动分为三个阶段：路程从0到4时在NP上运动，路程从4到9时在PQ上运动，路程从9到13时在QM上运动，因此当x=4时，点R恰好运动到开始保持高不变的位置，也就是P点处.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4x2-16=4（x-2）（x+2）.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】
结合二次根式的被开方数为非负数，同时分式的分母不能为0这两个要求，就可以求出结果.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中装有5个小球，其中红球有3个，
从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率概率公式求解即可。
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
过点D作于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】
先过点D作，垂足为点E。已知，根据直角三角形两锐角互余，可以推出。根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，再通过勾股定理计算出，由此就可以算出菱形的面积。利用扇形面积公式，分别求出扇形和扇形的面积。本题中阴影部分的面积，恰好等于两个扇形的面积之和减去菱形的面积，按照这个关系计算就能得到最终结果.
15．【答案】．
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于点Q，如图：
∵等边△ABC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△APQ中，PQ＝AP sin∠DAC＝AP sin30° ，
∴BP+AP=BP+PQ，
BP+AP最小即是BP+PQ最小，当B、P、Q共线，Q与H重合时，BP+AP的最小值即是BH的长度，
∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，∠C＝60°，
∴BH＝BC sinC＝1×sin60°＝，
∴BP+AP的最小值是，
故答案为：．
【分析】
过点B作BH垂直AC于点H，BH与AD交于点P'，再过点P作PQ垂直AC于点Q，由此可以推导出PQ，因此要求BP+AP的最小值，就等价于求BP+PQ的最小值。根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一性质可知，当B、P、Q三点共线，且点Q与点H重合时，BH就是最短的距离，据此就可以计算出所求的最小值.
16．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴是直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①不正确；
，故②不正确；
直线经过一、二、四象限，
．
当时，，
，
，
，
，
点A的坐标为．
当直线的时，，
，
．
，故③正确；
联立得，
整理得，
解得，
由图象知：，
，
，故④正确．
综上，正确的命题有③④．
故答案为：③④．
【分析】
先通过抛物线的开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置判断b的符号，以及b和的大小关系；再根据一次函数的图象与性质得到k的取值范围，结合一次函数与二次函数的交点位置判断k和的关系，即可得到最终结论.
17．【答案】（1）解：
=
．

（2）解：
=
=．

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）计算时分别按照对应规则求出特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的结果，再依次运算即可；
（2）先通分计算括号内的分式加法，再分别对分子、分母因式分解，最后约分即可完成化简.
（1）解：
=
．
（2）解：
=
=．
18．【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）通过连接对角线AC，利用平行四边形互相平分的性质，结合已知条件BE=DF，证明四边形AFCE的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形，进而得出对边相等AF=CE；
（2）第（1）问已证明四边形AFCE为平行四边形的基础上，结合已知条件AF=CF，利用菱形的判定定理即可得证.
（1）证明：连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
19．【答案】（1）①200；②
C组人数为（名），
③54
（2）解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名），
答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）；
故答案为：200；
③，
故答案为：54；
【分析】
（1）①已知B组的人数和B组对应的百分比，根据“样本容量=某组人数÷该组所占百分比”即可计算出本次调查的样本容量；②用计算得到的总样本容量，减去A、B、D三组的人数，即可得到C组的人数，据此即可补全对应的统计图形③利用圆周角为，用乘C组人数占总人数的比例，即可得到扇形统计图中C组对应的圆心角度数；
（2）先计算出样本中行走步数为D类的人数所占的比例，再用这个比例乘该社区总人数，即可估计出该社区行走步数在D类的总人数.
（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）；
故答案为：200；
②C组人数为（名），
③，
故答案为：54；
（2）解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名），
答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人．
20．【答案】（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元；
（2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：（元），
此时（个），
答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先设每件款摆件的利润为元，根据题目信息，每件款摆件的利润就是元，再根据题干给出的“销售20件款摆件、销售30件款摆件的总利润为440元”这一条件，列出一元一次方程求解即可得到两款摆件各自的单件利润；
（2）设商店购进款摆件个，那么购进款摆件的数量就是个，根据“款摆件的购进数量不超过款摆件数量的”建立不等式，即可确定y的取值范围；之后设销售两款摆件的总利润为元，得到总利润关于购进数量的一次函数关系式，最后结合一次函数的单调性，就能求出最大利润以及对应的进货方案.
（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元；
（2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：（元），
此时（个），
答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元．
21．【答案】（1）解：如下图，过点作于点，
根据题意，可知，，，，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴车底盘的高度，即点C到的距离为；

（2）如下图，过点作于点，
由旋转的性质可知，
又∵，
∴，
∴打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度

【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）过点作，垂足为点，先证得，再通过三角函数计算出的长度，接着确定的数值，就可以得到对应结论；
（2）过点作，垂足为点，根据图形旋转的性质可以得到，再利用三角函数计算出的长度，就能得到对应结论.
（1）解：如下图，过点作于点，
根据题意，可知，，，，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴车底盘的高度，即点C到的距离为；
（2）如下图，过点作于点，
由旋转的性质可知，
又∵，
∴，
∴打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度．
22．【答案】（1）证明：如图，连接
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）解：如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
；

（3）解：如图，设交于，
由（1）（2）知，，，，
，，
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接，可以证明得到，因此可得，进一步推导就能得到结论；
（2）推导可以得到，结合关系式，可以计算出，进一步就能得到最终结果；
（3）结合（1）和（2）的结论，可以推导出，，，分别求出和扇形的面积后，就可以计算得到最终结果．
（1）证明：如图，连接
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）解：如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，设交于，
由（1）（2）知，，，，
，，
．
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴抛物线解析式为：
∴
∴顶点D的坐标为
（2）
（3）解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得：
时，
则，
∴
时：
则
∴
∴
即：
∴
∴
∴
时：
∵，而
∴
∴此种情况不成立
综上所述：或，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
当三点共线时，的值最大
此时，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点P坐标为，
故答案为：
【分析】
（1）已知抛物线经过点和点，因此可以设抛物线的交点式为，整理后即可得到抛物线的解析式；
（2）根据三角形三边关系可知，当三点共线时，可以取得最大值，按照这个思路即可计算出结果；
（3）等腰三角形需要满足至少两边相等，因此分情况讨论：①MN=DM；②NM=DN；③DN=DM三种情况，分别计算对应点的坐标即可.
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴抛物线解析式为：
∴
∴顶点D的坐标为
（2）解：如图所示：
当三点共线时，的值最大
此时，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点P坐标为，
故答案为：
（3）解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得：
时，
则，
∴
时：
则
∴
∴
即：
∴
∴
∴
时：
∵，而
∴
∴此种情况不成立
综上所述：或，
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示：延长NF，EA相交于H，
∴，，
∵EF平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
（1）利用矩形的性质可知，且题目给出正方形EFGH，因此。根据直角三角形两锐角互余的性质，可以推出，由此可判定。根据全等三角形的对应边相等，再结合图形中线段的和差关系，即可推导出所求结论；
（2）延长，与的延长线交于点，由正方形的性质可得，结合矩形性质可得。题目给出平分，因此，由此可判定，根据全等性质得。再结合正方形的性质可进一步判定，得到对应边，最后结合图形中线段的和差关系，即可完成证明。
（3）过点G作GP⊥AD，交AD的延长线于点P，结合题目已知条件可以推出比例式，根据两边成比例且夹角相等，可以判定，根据相似三角形对应角相等，可得，进一步可推出，因此可得是等腰直角三角形，即满足。再通过角度之间的和差计算，可得，结合全等三角形的判定定理，可证得，根据全等三角形的对应边相等，可得，，最后结合线段之间的和差关系，就能推导出最终结论.
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示：延长NF，EA相交于H，
∴，，
∵EF平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
1 / 1湖南省张家界市永定区2026年初中毕业学业水平考试模拟测试卷(1) 数学
1．若的相反数是2026，则的值是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
，
故选：B．
【分析】
根据互为相反数的数的性质来求解就可以得到答案.
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
选项C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
选项D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B
【分析】
如果一个图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形。根据这两个定义，对每个选项逐一进行分析判断.
3．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵
∴故选：D．
【分析】科学记数法表示大于0且小于1的数：写成a×10-n， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）.

4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
5．若点，，，都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为轴，开口向上，
在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
点关于轴对称的点为，
，
，
故选：D．
【分析】
根据二次函数的性质，已知抛物线解析式为，可推出它开口向上，对称轴为轴，结合“抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小”这一性质，即可完成判断.
6．如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故选：C
【分析】
先利用三角形外角的性质计算出的度数，再结合平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，即可求出的度数．
7．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【分析】
连接，首先根据三角形面积的性质可以得到，之后结合反比例函数中比例系数的几何意义，可以推出，最后对等式去绝对值，就能得到符合题意的的值.
8．下列说法正确的是（　　）
A．调查大明湖的水质情况，采用普查的方式
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定
C．一组数据3、6、6、7、9的众数是6
D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A、调查大明湖的水质情况，采用抽样调查的方式，说法不符合题意；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，说法不符合题意；
C、一组数据3、6、6、7、9的众数是6，说法符合题意；
D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100，说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平均数、众数的定义及方差的意义解答可得．
9．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
因为今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，
所以，
因为5只雀、6只燕重量为1斤，
所以，
即．
故选：D．
【分析】
根据题意可知，5只雀加上6只燕的总重量是1斤，题目还给出雀的重量比燕重，且将雀和燕互换一只之后，两边的重量恰好相等，依据这两个等量关系，就可以列出对应的方程组.
10．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到(　　)
A．P处 B．Q处 C．M处 D．N处
【答案】A
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】当R从N向P运动时，S△MNR=·MN·NR
∵NR不断增加，
∴S△MNR面积不断增大
当R从P向Q运动时，S△MNR=·MN·NP
∵MN、PN不变，
∴S△MNR面积保持不变
当R从Q向M运动时，S△MNR=·MN·MR
∵MR不断减小，
∴S△MNR面积不断减小
故当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处.
故选：A
【分析】
结合点R的移动规律可知，点R的运动分为三个阶段：路程从0到4时在NP上运动，路程从4到9时在PQ上运动，路程从9到13时在QM上运动，因此当x=4时，点R恰好运动到开始保持高不变的位置，也就是P点处.
11．因式分解： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4x2-16=4（x-2）（x+2）.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解。
12．在函数中，自变量的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】
结合二次根式的被开方数为非负数，同时分式的分母不能为0这两个要求，就可以求出结果.
13．不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中装有5个小球，其中红球有3个，
从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率概率公式求解即可。
14．如图，在菱形中，，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分面积为　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
过点D作于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】
先过点D作，垂足为点E。已知，根据直角三角形两锐角互余，可以推出。根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，再通过勾股定理计算出，由此就可以算出菱形的面积。利用扇形面积公式，分别求出扇形和扇形的面积。本题中阴影部分的面积，恰好等于两个扇形的面积之和减去菱形的面积，按照这个关系计算就能得到最终结果.
15．如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是　 　．
【答案】．
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于点Q，如图：
∵等边△ABC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△APQ中，PQ＝AP sin∠DAC＝AP sin30° ，
∴BP+AP=BP+PQ，
BP+AP最小即是BP+PQ最小，当B、P、Q共线，Q与H重合时，BP+AP的最小值即是BH的长度，
∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，∠C＝60°，
∴BH＝BC sinC＝1×sin60°＝，
∴BP+AP的最小值是，
故答案为：．
【分析】
过点B作BH垂直AC于点H，BH与AD交于点P'，再过点P作PQ垂直AC于点Q，由此可以推导出PQ，因此要求BP+AP的最小值，就等价于求BP+PQ的最小值。根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一性质可知，当B、P、Q三点共线，且点Q与点H重合时，BH就是最短的距离，据此就可以计算出所求的最小值.
16．如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的　 　．
①，②，③，④．
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴是直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①不正确；
，故②不正确；
直线经过一、二、四象限，
．
当时，，
，
，
，
，
点A的坐标为．
当直线的时，，
，
．
，故③正确；
联立得，
整理得，
解得，
由图象知：，
，
，故④正确．
综上，正确的命题有③④．
故答案为：③④．
【分析】
先通过抛物线的开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置判断b的符号，以及b和的大小关系；再根据一次函数的图象与性质得到k的取值范围，结合一次函数与二次函数的交点位置判断k和的关系，即可得到最终结论.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=
．

（2）解：
=
=．

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）计算时分别按照对应规则求出特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的结果，再依次运算即可；
（2）先通分计算括号内的分式加法，再分别对分子、分母因式分解，最后约分即可完成化简.
（1）解：
=
．
（2）解：
=
=．
18．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）若，说明四边形为菱形．
【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）通过连接对角线AC，利用平行四边形互相平分的性质，结合已知条件BE=DF，证明四边形AFCE的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形，进而得出对边相等AF=CE；
（2）第（1）问已证明四边形AFCE为平行四边形的基础上，结合已知条件AF=CF，利用菱形的判定定理即可得证.
（1）证明：连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
19．某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
　
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度：
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
【答案】（1）①200；②
C组人数为（名），
③54
（2）解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名），
答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）；
故答案为：200；
③，
故答案为：54；
【分析】
（1）①已知B组的人数和B组对应的百分比，根据“样本容量=某组人数÷该组所占百分比”即可计算出本次调查的样本容量；②用计算得到的总样本容量，减去A、B、D三组的人数，即可得到C组的人数，据此即可补全对应的统计图形③利用圆周角为，用乘C组人数占总人数的比例，即可得到扇形统计图中C组对应的圆心角度数；
（2）先计算出样本中行走步数为D类的人数所占的比例，再用这个比例乘该社区总人数，即可估计出该社区行走步数在D类的总人数.
（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）；
故答案为：200；
②C组人数为（名），
③，
故答案为：54；
（2）解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名），
答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人．
20．2025年贺岁片《哪吒2 魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元．
（1）求，两款摆件每个的利润分别是多少？
（2）若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元；
（2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：（元），
此时（个），
答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先设每件款摆件的利润为元，根据题目信息，每件款摆件的利润就是元，再根据题干给出的“销售20件款摆件、销售30件款摆件的总利润为440元”这一条件，列出一元一次方程求解即可得到两款摆件各自的单件利润；
（2）设商店购进款摆件个，那么购进款摆件的数量就是个，根据“款摆件的购进数量不超过款摆件数量的”建立不等式，即可确定y的取值范围；之后设销售两款摆件的总利润为元，得到总利润关于购进数量的一次函数关系式，最后结合一次函数的单调性，就能求出最大利润以及对应的进货方案.
（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元；
（2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：（元），
此时（个），
答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元．
21．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求汽车底盘的高度，即点C到的距离；
（2）求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度．
【答案】（1）解：如下图，过点作于点，
根据题意，可知，，，，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴车底盘的高度，即点C到的距离为；

（2）如下图，过点作于点，
由旋转的性质可知，
又∵，
∴，
∴打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度

【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）过点作，垂足为点，先证得，再通过三角函数计算出的长度，接着确定的数值，就可以得到对应结论；
（2）过点作，垂足为点，根据图形旋转的性质可以得到，再利用三角函数计算出的长度，就能得到对应结论.
（1）解：如下图，过点作于点，
根据题意，可知，，，，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴车底盘的高度，即点C到的距离为；
（2）如下图，过点作于点，
由旋转的性质可知，
又∵，
∴，
∴打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度．
22．如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）解：如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
；

（3）解：如图，设交于，
由（1）（2）知，，，，
，，
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接，可以证明得到，因此可得，进一步推导就能得到结论；
（2）推导可以得到，结合关系式，可以计算出，进一步就能得到最终结果；
（3）结合（1）和（2）的结论，可以推导出，，，分别求出和扇形的面积后，就可以计算得到最终结果．
（1）证明：如图，连接
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）解：如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，设交于，
由（1）（2）知，，，，
，，
．
23．如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）；
（3）如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴抛物线解析式为：
∴
∴顶点D的坐标为
（2）
（3）解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得：
时，
则，
∴
时：
则
∴
∴
即：
∴
∴
∴
时：
∵，而
∴
∴此种情况不成立
综上所述：或，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
当三点共线时，的值最大
此时，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点P坐标为，
故答案为：
【分析】
（1）已知抛物线经过点和点，因此可以设抛物线的交点式为，整理后即可得到抛物线的解析式；
（2）根据三角形三边关系可知，当三点共线时，可以取得最大值，按照这个思路即可计算出结果；
（3）等腰三角形需要满足至少两边相等，因此分情况讨论：①MN=DM；②NM=DN；③DN=DM三种情况，分别计算对应点的坐标即可.
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴抛物线解析式为：
∴
∴顶点D的坐标为
（2）解：如图所示：
当三点共线时，的值最大
此时，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点P坐标为，
故答案为：
（3）解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得：
时，
则，
∴
时：
则
∴
∴
即：
∴
∴
∴
时：
∵，而
∴
∴此种情况不成立
综上所述：或，
24．在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB=8，AD=6．
（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN=AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2=MN·MD时，求AE的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示：延长NF，EA相交于H，
∴，，
∵EF平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
（1）利用矩形的性质可知，且题目给出正方形EFGH，因此。根据直角三角形两锐角互余的性质，可以推出，由此可判定。根据全等三角形的对应边相等，再结合图形中线段的和差关系，即可推导出所求结论；
（2）延长，与的延长线交于点，由正方形的性质可得，结合矩形性质可得。题目给出平分，因此，由此可判定，根据全等性质得。再结合正方形的性质可进一步判定，得到对应边，最后结合图形中线段的和差关系，即可完成证明。
（3）过点G作GP⊥AD，交AD的延长线于点P，结合题目已知条件可以推出比例式，根据两边成比例且夹角相等，可以判定，根据相似三角形对应角相等，可得，进一步可推出，因此可得是等腰直角三角形，即满足。再通过角度之间的和差计算，可得，结合全等三角形的判定定理，可证得，根据全等三角形的对应边相等，可得，，最后结合线段之间的和差关系，就能推导出最终结论.
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示：延长NF，EA相交于H，
∴，，
∵EF平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
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∴，
∴，
∵，
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（3）解：如图所示，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
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