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湖南省岳阳市弘毅新华中学2025年中考模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（　　）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
5．如图，点，，在上，连接，，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在水槽底部A处安装一支射灯，当水槽无任何介质时会在右侧槽壁上B处形成一个亮斑；当向池内注入某种透明溶液至图中位置时，会在右侧槽壁上C处形成一个亮斑．已知入射角，折射角，且，则前后两个亮斑B，C之间的距离为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若使二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
12．某校举行“文韵流芳”经典诵读比赛，比赛得分按形象占、内容占、效果占进行计算．雅韵队这三项得分依次为90，95，92，则雅韵队的最终比赛成绩为　 　分．
13．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为　 　．
14．课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，，1的卡片上，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片面的数字是有理数的概率是　 　．
15．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　．
16．如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为　 　．
17．如图，在中，，．以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧在的右侧交于点P，作射线BP交AC于点D，则的大小为度　 　．
18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则　 　；　 　．（以上均用含a，b的代数式表示）
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的人数为　 　人；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②中C所对应的圆心角为　 　；
（4）根据调查结果，请你为学校开展非遗文化传承活动提出一条合理的建议．
22．如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
23．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用．
24．【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为　 　；
（2）求点在函数图象上的“积值”；
（3）已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
25．如图1，在正方形中，点M，N分别是，上的点，，点E是上一点，将沿折叠，使点B落在N上的点F处．
（1）若，证明：点M是上的中点．
（2）如图2，延长与的延长线交于点G，交于点H，延长交于点P．
①求证：；
②当点E是的中点时，探究与的数量关系，并证明．
26．如图，抛物线与y轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限，设点P的横坐标为m．
（1）点A，B的坐标分别为：A__________，B__________；
（2）如图1，作射线与y轴交于点M，连接与y轴交于点N，连接，求证：；
（3）如图2，连接，，两线段交于点E．在线段上取点F，使，连接，当达到最小值时，请求出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，可得俯视图如下：
故选：D．
【分析】根据俯视图定义（从上边看得到的平面图形）即可解答．
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】分别根据合并同类项，完全平方公式、积的乘方和幂的乘方等计算法则求解判断即可．
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将从小到大排列为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5， 3.5，3.5
其中3.5出现的次数最多，则众数为3.5，
中位数为：．
故选B．
【分析】根据众数和中位数的定义，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，取中间的数，众数：在一组数据中出现次数最多的数．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是所对的圆心角，是所对的圆周角，
．
故选：B．
【分析】首先根据垂直的定义求出圆心角，再利用”在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍“这一性质即可求解.
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入一元一次方程，
可得：，
解得：．
故选：A．
【分析】将代入一元一次方程，求出的值即可．
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；矩形的性质；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A为假命题，故A选项错误；
B. 矩形的对角线相等，但不一定垂直，故为假命题，故B选项错误；
C. 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C为假命题，故C选项错误；
D. 将代入中，得，故五边形的内角和是，故D为真命题，故D选项正确，
故选：D．
【分析】
依次根据菱形，矩形的性质，平行四边形的性质及多边形内角和公式判断选项即可．
8．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与全等，故本选项符合题意；
B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据已知条件AB=DE，BC=EF，结合每个选项给的条件，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
则，
∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】通过已知的角度和线段长度，利用三角函数求出相应线段的长度，进而求出前后两个亮斑之间的距离即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
12．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，（分）．
∴最终比赛成绩为分，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律"上加下减常数项”保持斜率不变，将原函数常数项加上平移单位即可．
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：依题意，，0，，，1中有3个有理数，分别是0，，1，
∴混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，取出的卡片正面的数字是有理数的概率是，
故答案为：．
【分析】先根据有理数的定义确定有理数的个数，再用有理数的个数除以总卡片数得到概率即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∴实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据方程有两个不相等的实数根列出不等式，求解得出c的取值范围.
16．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】先利用直角三角形性质求出DE，再结合等腰三角形三线合一求BE，最后通过线段和差求BC即可．
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图痕迹知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理求得，由作图知平分，可求得，最后再根据三角形的外角性质，即可解答．
18．【答案】；
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，
∵正方形的面积为，
，
∵阴影部分的面积为，
，
，
，
，即，
（负值已舍），
，
故答案为：，．
【分析】根据阴影部分的面积为和正方形的面积得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到
19．【答案】解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角形函数值，化简二次根式，最后计算加减即可．
20．【答案】解：
，
把代入，得
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内分式加法，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简分式，最后把代入计算，即可作答．
21．【答案】（1）200
（2）解：（人），
补齐条形统计图，如图所示：

（3）54
（4）解：因为手工刺绣的人数最少，
∴应当多些宣传并开展手工刺绣非遗文化传承活动
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数为5025％=200（人）
（3）C所对应的圆心角为360°=54°；
【分析】（1）利用组的人数除以占比，求出本次调查的总人数即可．
（2）利用总人数分别减去组的人数，即可得出组的人数，再补齐条形统计图，．
（3）计算C项目人数占总人数比例，然后用比例乘以360°即可．
（4）从统计图中可以看出，知晓手工刺绣人数最少即可解答．
（1）解：依题意，（人），
故答案为：，
（2）解：（人），
补齐条形统计图，如图所示：
（3）解：，
故答案为：54；
（4）解：因为手工刺绣的人数最少，
∴应当多些宣传并开展手工刺绣非遗文化传承活动．
22．【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线
（2）解：过点作，连接，，如图所示：
设为，
由（1）得，
∵，
则，
在中，则，
则，
解得，
∴
由（1）得，
∵
则，
∵点E是的中点，
∴平分，
∵，，
∴，
则，
即，
则，
∴
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接OE，通过证明是的中位线，则，所以，结合PEAC可证明OEPE，再用切线判定定理即可作答．
（2）根据勾股定理，得出，，由（1）知和，则有，运用三线合一得平分，得，最后根据等面积法进行列式计算，即可作答．
（1）解：连接，如图所示：
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作，连接，，如图所示：
设为，
由（1）得，
∵，
则，
在中，则，
则，
解得，
∴
由（1）得，
∵
则，
∵点E是的中点，
∴平分，
∵，，
∴，
则，
即，
则，
∴．
23．【答案】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得：，
答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
（2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
∵，
∴随m的增大而减小，
故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）通过设未知数，根据题中购买情况列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）首先根据数量关系和约束条件确定变量范围，再建立总费用表达式，通过分析函数的单调性找到最小值即可．
（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得：，
答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
（2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
∵，
∴随m的增大而减小，
故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元．
24．【答案】（1）5
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即
【知识点】反比例函数的概念；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据定义点B（x，y)在函数y=上，因此xy=x=5；
【分析】（1）直接利用函数表达式计算点的横纵坐标乘积．
（2）先通过点在函数图象上的条件求出横坐标，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表示出积值的二次函数表达式，根据对称轴与给定区间的位置关系确定最小值点，再通过最小值求解常数b．
（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
故答案为：；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题知和MNBC可得，由已知条件根据直角三角形中的边角关系得：，由折叠可知：，从而可得结论；
（2）①由折叠可知：，根据正方形的性质得：，，再根据相似三角形的判定定理得：，最后根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换得出结论；
②设，则，从而根据直角三角形中的边角关系得，由折叠可知：，，从而得到，连接，由直角三角形的判定可证明：，得到：，根据平角的定义可得：，根据“同角的余角相等”得到：，从而得到：，即有，进而得到：，根据 “平行于三角形一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”证明：，得到：，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点；
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或．
26．【答案】（1）
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】解直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
【分析】（1）通过解一元二次方程求x轴交点，代入x=0求y轴交点；
（2）先求出，根据点在第四象限的抛物线上，且，得到，待定系数法求出直线的解析式，再求出，待定系数法求出直线的解析式，再求出，即可得，，利用“等高三角形面积比等于底边比”的性质可得．
（3）根据题意得出，在轴正半轴取一点，使，连接，在上取一点M使，连接，可得出都是等腰直角三角形，则有，通过全等三角形的判定（SAS)证明，可得出，故，由题意知点C在x轴下方，点M在x轴上方，得出当点C、F、M三点共线时，最小，可得出，再根据勾股定理求出进而可得到，即可求解．
（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
．
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
1 / 1湖南省岳阳市弘毅新华中学2025年中考模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，可得俯视图如下：
故选：D．
【分析】根据俯视图定义（从上边看得到的平面图形）即可解答．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】分别根据合并同类项，完全平方公式、积的乘方和幂的乘方等计算法则求解判断即可．
4．“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（　　）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将从小到大排列为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5， 3.5，3.5
其中3.5出现的次数最多，则众数为3.5，
中位数为：．
故选B．
【分析】根据众数和中位数的定义，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，取中间的数，众数：在一组数据中出现次数最多的数．
5．如图，点，，在上，连接，，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是所对的圆心角，是所对的圆周角，
．
故选：B．
【分析】首先根据垂直的定义求出圆心角，再利用”在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍“这一性质即可求解.
6．关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入一元一次方程，
可得：，
解得：．
故选：A．
【分析】将代入一元一次方程，求出的值即可．
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；矩形的性质；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A为假命题，故A选项错误；
B. 矩形的对角线相等，但不一定垂直，故为假命题，故B选项错误；
C. 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C为假命题，故C选项错误；
D. 将代入中，得，故五边形的内角和是，故D为真命题，故D选项正确，
故选：D．
【分析】
依次根据菱形，矩形的性质，平行四边形的性质及多边形内角和公式判断选项即可．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
9．如图，在与中，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与全等，故本选项符合题意；
B．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C．，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D．，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据已知条件AB=DE，BC=EF，结合每个选项给的条件，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
10．如图，在水槽底部A处安装一支射灯，当水槽无任何介质时会在右侧槽壁上B处形成一个亮斑；当向池内注入某种透明溶液至图中位置时，会在右侧槽壁上C处形成一个亮斑．已知入射角，折射角，且，则前后两个亮斑B，C之间的距离为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
则，
∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】通过已知的角度和线段长度，利用三角函数求出相应线段的长度，进而求出前后两个亮斑之间的距离即可.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若使二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
12．某校举行“文韵流芳”经典诵读比赛，比赛得分按形象占、内容占、效果占进行计算．雅韵队这三项得分依次为90，95，92，则雅韵队的最终比赛成绩为　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，（分）．
∴最终比赛成绩为分，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可解答．
13．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移规律"上加下减常数项”保持斜率不变，将原函数常数项加上平移单位即可．
14．课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，，1的卡片上，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片面的数字是有理数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：依题意，，0，，，1中有3个有理数，分别是0，，1，
∴混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，取出的卡片正面的数字是有理数的概率是，
故答案为：．
【分析】先根据有理数的定义确定有理数的个数，再用有理数的个数除以总卡片数得到概率即可．
15．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∴实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据方程有两个不相等的实数根列出不等式，求解得出c的取值范围.
16．如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】先利用直角三角形性质求出DE，再结合等腰三角形三线合一求BE，最后通过线段和差求BC即可．
17．如图，在中，，．以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧在的右侧交于点P，作射线BP交AC于点D，则的大小为度　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图痕迹知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理求得，由作图知平分，可求得，最后再根据三角形的外角性质，即可解答．
18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则　 　；　 　．（以上均用含a，b的代数式表示）
【答案】；
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，
∵正方形的面积为，
，
∵阴影部分的面积为，
，
，
，
，即，
（负值已舍），
，
故答案为：，．
【分析】根据阴影部分的面积为和正方形的面积得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角形函数值，化简二次根式，最后计算加减即可．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
把代入，得
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内分式加法，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简分式，最后把代入计算，即可作答．
21．某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的人数为　 　人；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②中C所对应的圆心角为　 　；
（4）根据调查结果，请你为学校开展非遗文化传承活动提出一条合理的建议．
【答案】（1）200
（2）解：（人），
补齐条形统计图，如图所示：

（3）54
（4）解：因为手工刺绣的人数最少，
∴应当多些宣传并开展手工刺绣非遗文化传承活动
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数为5025％=200（人）
（3）C所对应的圆心角为360°=54°；
【分析】（1）利用组的人数除以占比，求出本次调查的总人数即可．
（2）利用总人数分别减去组的人数，即可得出组的人数，再补齐条形统计图，．
（3）计算C项目人数占总人数比例，然后用比例乘以360°即可．
（4）从统计图中可以看出，知晓手工刺绣人数最少即可解答．
（1）解：依题意，（人），
故答案为：，
（2）解：（人），
补齐条形统计图，如图所示：
（3）解：，
故答案为：54；
（4）解：因为手工刺绣的人数最少，
∴应当多些宣传并开展手工刺绣非遗文化传承活动．
22．如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线
（2）解：过点作，连接，，如图所示：
设为，
由（1）得，
∵，
则，
在中，则，
则，
解得，
∴
由（1）得，
∵
则，
∵点E是的中点，
∴平分，
∵，，
∴，
则，
即，
则，
∴
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接OE，通过证明是的中位线，则，所以，结合PEAC可证明OEPE，再用切线判定定理即可作答．
（2）根据勾股定理，得出，，由（1）知和，则有，运用三线合一得平分，得，最后根据等面积法进行列式计算，即可作答．
（1）解：连接，如图所示：
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作，连接，，如图所示：
设为，
由（1）得，
∵，
则，
在中，则，
则，
解得，
∴
由（1）得，
∵
则，
∵点E是的中点，
∴平分，
∵，，
∴，
则，
即，
则，
∴．
23．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用．
【答案】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得：，
答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
（2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
∵，
∴随m的增大而减小，
故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）通过设未知数，根据题中购买情况列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）首先根据数量关系和约束条件确定变量范围，再建立总费用表达式，通过分析函数的单调性找到最小值即可．
（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得：，
答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
（2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
∵，
∴随m的增大而减小，
故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元．
24．【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为　 　；
（2）求点在函数图象上的“积值”；
（3）已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【答案】（1）5
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即
【知识点】反比例函数的概念；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据定义点B（x，y)在函数y=上，因此xy=x=5；
【分析】（1）直接利用函数表达式计算点的横纵坐标乘积．
（2）先通过点在函数图象上的条件求出横坐标，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表示出积值的二次函数表达式，根据对称轴与给定区间的位置关系确定最小值点，再通过最小值求解常数b．
（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
故答案为：；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即．
25．如图1，在正方形中，点M，N分别是，上的点，，点E是上一点，将沿折叠，使点B落在N上的点F处．
（1）若，证明：点M是上的中点．
（2）如图2，延长与的延长线交于点G，交于点H，延长交于点P．
①求证：；
②当点E是的中点时，探究与的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题知和MNBC可得，由已知条件根据直角三角形中的边角关系得：，由折叠可知：，从而可得结论；
（2）①由折叠可知：，根据正方形的性质得：，，再根据相似三角形的判定定理得：，最后根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换得出结论；
②设，则，从而根据直角三角形中的边角关系得，由折叠可知：，，从而得到，连接，由直角三角形的判定可证明：，得到：，根据平角的定义可得：，根据“同角的余角相等”得到：，从而得到：，即有，进而得到：，根据 “平行于三角形一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”证明：，得到：，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点；
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或．
26．如图，抛物线与y轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限，设点P的横坐标为m．
（1）点A，B的坐标分别为：A__________，B__________；
（2）如图1，作射线与y轴交于点M，连接与y轴交于点N，连接，求证：；
（3）如图2，连接，，两线段交于点E．在线段上取点F，使，连接，当达到最小值时，请求出此时的值．
【答案】（1）
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】解直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
【分析】（1）通过解一元二次方程求x轴交点，代入x=0求y轴交点；
（2）先求出，根据点在第四象限的抛物线上，且，得到，待定系数法求出直线的解析式，再求出，待定系数法求出直线的解析式，再求出，即可得，，利用“等高三角形面积比等于底边比”的性质可得．
（3）根据题意得出，在轴正半轴取一点，使，连接，在上取一点M使，连接，可得出都是等腰直角三角形，则有，通过全等三角形的判定（SAS)证明，可得出，故，由题意知点C在x轴下方，点M在x轴上方，得出当点C、F、M三点共线时，最小，可得出，再根据勾股定理求出进而可得到，即可求解．
（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
．
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
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