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四川省绵阳市梓潼县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
2．下列关于体育运动的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一如图，石拱桥整体形状为圆的一部分，已知该石拱桥的桥顶到水面的距离为，水面的长也为，则该石拱桥的半径为（　　）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱（钱：古代货币计量单位）．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（　　）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
9．如图，二次函数的图象经过点和点．给出下列结论：①；②；③当时，的值小于0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．因式分解：　 　．
14．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
15．如图，为的直径，为的弦，且，若，则　 　
16．疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为，，通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是　 　．
17．某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有　 　盒．
18．如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点A落在边上的点E处，则的长度是　 　
三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
20．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为____________人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
21．在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润．
22．如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数（）交于点A，且点A的横坐标为1，连接，B为一次函数图象上的点，连接，且．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标．
23．如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．
24．如图，在中，，D为的中点，E为上的点，平分，F为上的点，与交于点G，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图②，连接，将沿翻折得到，点A的对应点为点M，与交于点N，求的长．
25．如图，已知抛物线y=ax2-4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标；
（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：的绝对值是2．
故选：A．
【分析】本题主要考查绝对值的定义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a|。负数的绝对值等于它的相反数，正数和 0 的绝对值等于它本身。-2 是负数，其相反数为 2，故 |-2| = 2。注意绝对值的结果是非负数。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A.∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
B.∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
C.∵ 不是轴对称图形，
∴不符合题意；
D.∵是轴对称图形，
∴符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别。轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据这一特征，逐项观察各选项中的体育运动图标，判断是否存在一条对称轴使图形折叠后重合，找出符合条件的一项。注意轴对称图形与中心对称图形的区别。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：58000000000，
故选：D．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法。科学记数法是将一个大于 10 的数写成 a 的形式，其中 1a < 10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。数 58000000000 的整数部分有 11 位，将其小数点向左移动 10 位得 5.8，故 n = 10，表示为 5.8。注意 a 必须满足 1 a < 10，且 n 的确定要准确。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意．
故选：A
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，主视图是从物体正面观察所得到的图形。圆锥的主视图是等腰三角形；正方体的主视图是正方形；三棱柱的主视图是矩形（中间可能有一条竖线）；圆柱的主视图是矩形。因此主视图为三角形的是圆锥。注意三棱柱主视图的形状与其放置方向有关，通常为矩形。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
故选：B．
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理的实际应用。连接圆心 O 与弦 AB 的中点 D，则 OD AB，由垂径定理得 AD =AB = 4 m。设圆的半径为 R，则 OC = R，OD = CD - OC = 8 - R（注意 CD 为桥顶到水面的距离，O 在 CD 上）。在 Rt△ OAD 中，由勾股定理 得，展开得 16 + 64 - 16R + R2= R2，即 80 - 16R = 0，解得 R = 5 m。注意图形中圆心位置与已知距离的对应关系。
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x人，物价是y钱，
根据题意得，或．
故选：A．
【分析】本题主要考查列一元一次方程或分式方程解决古代数学问题。设共有 x 人，物价为 y 钱。根据“每人出 8 钱，多出 3 钱”得 8x = y + 3；根据“每人出 7 钱，差 4 钱”得 7x = y - 4。也可消去 x 得。选项 A 与此一致。注意“多出”表示钱数比物价多，“差”表示钱数比物价少，等量关系为人数相等。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0.
故答案为：A.
【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下，对称轴位于轴的右侧，且与轴交于负半轴可得，
，
所以选项①正确，符合题意；
②由抛物线和轴的交点可得，抛物线的对称轴在点的右侧，
，
解得，
所以选项②正确，符合题意；
③由抛物线的图象可知，当时，的值小于0，
所以选项③正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点符号以及函数值的范围判断。由图象开口向下得 a < 0；对称轴在 y 轴右侧得 > 0，结合 a < 0 得 b > 0；图象与 y 轴交于负半轴得 c < 0，故①正确。由图象过 (3，0) 且对称轴在 x = 1.5 右侧，得> 1.5，即 -b < 3a，移项得 3a + b > 0，故②正确。由图象知当 x > 3 时，抛物线在 x 轴下方，故 y < 0，③正确。注意对称轴与 x 轴交点横坐标的关系推导。
10．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用圆锥的侧面展开图的面积公式求解即可。
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
故选：A．
【分析】本题以正方形中的动点与中点为背景，综合考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定（AAS）以及方程思想。过点 H 作 HN CD 于 N，HM BC 交 BC 延长线于 M，连接 EH，由 AB = 6，BE = 4 得 CE = 2，在 Rt△ DCE 中由勾股定理，则，H 为 DF 中点得 DH = 2，且 EH = DH。由 MEH = NDH 及 EH = DH 证，得 NH = MH，故四边形 CMHN 为正方形。设 NC = NH = x，则 DN = 6 - x，在 Rt△ DNH 中由勾股定理，解得 x = 2 或 x = 4（舍去，因 EM = 2 + 4 = 6 > 2 不合题意），故。注意全等三角形对应边相等及正方形判定的应用。
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，且，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，则，
∵的周长为，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
∴，
故选：C ．
【分析】本题以平行四边形和角平分线为背景，综合考查平行四边形的性质（对边平行）、角平分线的定义、等腰三角形的判定（等角对等边）、相似三角形的判定与性质（AA）、勾股定理以及锐角三角函数的应用。由平行四边形得 ABCD，ADBC，结合 AF 平分 BAD 得 BAE =DAE =AEB，故 AB = BE；同理 CEF = AEB = F，得 CE = CF。设 AB = BE = x，由 AB =BC 得 BC =x，则 CE = CF =x，由△CEF 周长为 8 得 EF = 8 - x。由 AB CF 得，则，即=，故 AE = 2(8 - x)。过点 B 作 BG AE，由 AB = BE 得 G 为 AE 中点，故 AG = 8 - x，由 得，在 Rt△ ABG 中由勾股定理，解得 x = 6（舍去 x = 12 因 EF = 8 - x > 0），则 AE = 2(8 - 6) = 4。注意相似三角形对应边成比例及等腰三角形“三线合一”的运用。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）以及平行线的性质（内错角相等）。由COB = 46，根据圆周角定理得 CAB = COB = 23。由 CDAB 得 ACD = CAB = 23。注意平行线的识别与角度转化。
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图为：
共有9种等可能的情况，其中小王和小李从不同通道测温进校园的有6种情况，
小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是，
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．【答案】15
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设甲种礼品盒有x盒，
由题意得，，
整理得，，
解得：，
甲种礼品盒至少有15盒，
故答案为：15．
【分析】本题以商品包装销售为背景，综合考查一元一次不等式的应用。设甲种礼品盒有 x 盒，则甲种礼品盒装罐数为 4x 罐，剩余茶叶数量为 120 - 4x 罐，这些茶叶按乙种礼品盒包装，每盒装 6 罐，故乙种礼品盒数量为 盒。每盒甲种礼品盒利润为 240 - 430 = 120 元，每盒乙种礼品盒利润为 300 - 6 30 = 120 元。总利润为 120x + 120 3000，化简得 120x + 20(120 - 4x) 3000，即 120x + 2400 - 80x 3000，40x600，x 15，故甲种礼品盒至少有 15 盒。注意乙种礼品盒数量需为整数，但不等式求最小值时可先取整。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题以直角三角形中的折叠为背景，综合考查折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用。由折叠得 ACD = ECD，因 E 落在 BC 上，且 ACB = 90°，故 ACD =ECD = 45°。过点 D 作 DH AC 于 H，则△ CDH 为等腰直角三角形，得 CH = DH。在 Rt△ ABC 中，tan A = = 2，在 Rt△ ADH 中，tan A =，故= 2，即 DH = 2AH，结合 CH = DH 得 AC = AH + CH = AH + 2AH = 3AH = 1，解得 AH =，DH =。在 Rt△ ADH 中由勾股定理得。注意折叠后角平分线性质的运用。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算以及分式的化简求值。
（1）涉及负整数指数幂= 4、零指数幂 = 1、绝对值 |3| = 3 以及特殊角的三角函数值 tan 45 = 1，代入计算得 4 + 1 + 3 - 2 = 6；
（2）先将括号内通分得，再将除法化为乘法，因式分解后约分得最简结果 x + 1，代入 x = - 1 得。注意分式化简时的符号处理及分母不为零的条件。
20．【答案】（1）40人
（2）108°
（3）解：C类别人数为（人），
补全图形如下：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，∴参加这次调查的学生总人数为（人），
故答案为：40；
（2）解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
【分析】本题以“碳中和、碳达峰”知识知晓情况调查为背景，考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联、圆心角计算及用列表法或树状图求概率。
（1）由A类人数6人及占比15%得总人数40人。
（2）B类12人，占，圆心角为。
（3）求出C类18人，补全条形图。
（4）树状图列出所有等可能结果共12种，一男一女共8种，概率为。
21．【答案】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元．由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）解：．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以乡村振兴中的产品生产与销售为背景，综合考查分式方程的应用、二次函数的实际应用以及二次函数在给定区间上的最值问题。
（1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元，根据“用 900 元收购 A 原料比收购 B 原料少 100 kg”列分式方程，解得 m = 3，则 A 原料单价 4.5 元，每盒成本 = 元；
（2）设售价为 x 元，则涨价 (x - 60) 元，销售量为 500 - 10(x - 60) = 1100 - 10x 盒，利润；
（3）由 w = -10(x - 70)2 + 16000，对称轴 x = 70，开口向下。当 时，x = 70 时最大利润为 16000 元；当 60 < a < 70 时，函数在区间上递增，x = a 时利润最大，为（ ）元。注意分式方程需检验，二次函数最值需考虑对称轴与区间端点的位置关系。
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）．
（3）抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
22．【答案】（1）解：已知一次函数与轴交于点，
将代入
得，
解得，
即一次函数的解析式为
点A的横坐标为1，且点A在一次函数的图象上，
点
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点A作轴于点，过点作轴于点
则，
，
．
又，
，
．
由（1）可得，
，
，
即．
设，则，
点，
点在一次函数的图象上．
，
解得，
则，
点的坐标为
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数交点为背景，综合考查待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质（AA）、锐角三角函数的定义以及点的坐标求解。
（1）将 (-7，0) 代入一次函数得 b =，解析式为；将 x = 1 代入得 A(1，4)，再代入反比例函数得 k = 4，解析式为；
（2）过点 A 作 AC x 轴于 C，过点 B 作 BD x 轴于 D，由AOB = 90得 AOC + BOD = 90，结合 AOC + CAO = 90° 得 CAO =BOD，故，则，即 tanAOC = = 4 =，设 BD = m，则 OD = 4m，点 B(-4m， m) 在一次函数上，代入解得 m =，故 B注意相似三角形对应边成比例的转化及点在函数图象上的条件。
（1）解：已知一次函数与轴交于点，
将代入
得，
解得，
即一次函数的解析式为
点A的横坐标为1，且点A在一次函数的图象上，
点
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）如图，过点A作轴于点，过点作轴于点
则，
，
．
又，
，
．
由（1）可得，
，
，
即．
设，则，
点，
点在一次函数的图象上．
，
解得，
则，
点的坐标为
23．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝＝，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，
∴tanB＝tan∠CAD＝＝，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝，
∴BC＝．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆中直径与切线证明为背景，考查了切线的判定、锐角三角函数的应用、勾股定理及等腰三角形的性质。
（1）由AB为直径得∠B+∠BAC=90°，结合∠CAD=∠B推得∠BAD=90°，即AD⊥OA，证得切线。
（2）过D作DM⊥AD，由tan∠CAD=及AD=4得DM=2。通过角度推理得DC=DM=2，在Rt△OAD中由勾股定理求OA=3，则AB=6。由tanB=tan∠CAD=得BC=2AC，在Rt△ABC中由勾股定理求AC，进而得BC。
24．【答案】（1）证明：在中，为的中点，
．
设．
平分
．
又
．
（2）解：如图③，过点作于点
．
在中，
．
由（1）可得
．
又
是等腰直角三角形，
即．
．
又
．
在中，
．
（3）解：如图④，过点作于点于点
四边形是矩形．
，
矩形是正方形，
将沿翻折得到后，三点共线，
．
．
又
，
，
是等腰三角形．
是的中点，
．
又
．
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的角平分线、垂线及翻折为背景，综合考查等腰三角形的性质（三线合一）、全等三角形的判定（AAS、ASA）、勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定以及解直角三角形的应用。
（1）由 AB = AC，D 为 BC 中点得 AD BC， BAD = CAD，设 BAD =，由 EF AC 得 EGD = 90 - = EBD，结合 DE 平分 BDG 及公共边 DE 证，得 DG = BD；
（2）由 BC = AD = 4 得 BD = CD = 2，在 RtABD 中由勾股定理得 AB = 2，由（1）得 EDB = 45，过 E 作 EHBC 于 H，得 Rt EHD 为等腰直角三角形，由 tan BEH = 及相似得 BE =AB = = GE，又 AG = AD - DG = 2，在 Rt AGF 中由 tan GAF = 得 GF =，故 EF = GE + GF =；
（3）过点 D 作 DP ME，DQ AC，证四边形 DPFQ 为正方形，由翻折得 E， F， M 共线，证得 MN = AG = 2，GF = NF，又 DN = DG = 2，得 MN = DN，再证 得 QN = FN，从而 CN = 2NF = 2GF =。注意辅助线构造及等腰三角形的性质运用。
（1）证明：在中，为的中点，
．
设．
平分
．
又
．
（2）解：如图③，过点作于点
．
在中，
．
由（1）可得
．
又
是等腰直角三角形，
即．
．
又
．
在中，
．
（3）解：如图④，过点作于点于点
四边形是矩形．
，
矩形是正方形，
将沿翻折得到后，三点共线，
．
．
又
，
，
是等腰三角形．
是的中点，
．
又
．
25．【答案】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+3，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3
（2）令y＝x2﹣4x+3中x＝0，则y＝3，令y＝x2﹣4x+3中y＝0，则x＝1或3，
∴点C（0，3）、点B（3，0）；
当PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，
∴线段BC的中点坐标为（，），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C坐标代入得
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设BC中垂线解析式为y=x+c，将点（，）代入得c=0，
∴BC中垂线解析式为y＝x
解得或
∴点P坐标为（，）或（，）；
（3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，
∵△MAB∽△ACB，
∴，
∴MB＝，
过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，
∵OB＝OC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∴MH＝HB＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝，
即点M（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线 y=ax2-4x+3（a≠0）算出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）分别令抛物线解析式中的x=0、y=0算出对应的y与x的值，即可得到点C、B的坐标；当PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标为（，），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式；根据互相垂直直线斜率乘积为-1，再利用待定系数法求出BC中垂线解析式，联立抛物线与BC中垂线解析式，求解即可得出点P的坐标；
（3）M为线段BC上点（不含端点），由相似三角形对应边成比例得，据此求出MB＝，过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，根据等腰直角三角形的性质算出MH＝HB＝MB×＝，则OH＝OB﹣BH＝，从而即可求出点M的坐标.
1 / 1四川省绵阳市梓潼县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：的绝对值是2．
故选：A．
【分析】本题主要考查绝对值的定义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a|。负数的绝对值等于它的相反数，正数和 0 的绝对值等于它本身。-2 是负数，其相反数为 2，故 |-2| = 2。注意绝对值的结果是非负数。
2．下列关于体育运动的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A.∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
B.∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
C.∵ 不是轴对称图形，
∴不符合题意；
D.∵是轴对称图形，
∴符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别。轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据这一特征，逐项观察各选项中的体育运动图标，判断是否存在一条对称轴使图形折叠后重合，找出符合条件的一项。注意轴对称图形与中心对称图形的区别。
3．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：58000000000，
故选：D．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法。科学记数法是将一个大于 10 的数写成 a 的形式，其中 1a < 10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。数 58000000000 的整数部分有 11 位，将其小数点向左移动 10 位得 5.8，故 n = 10，表示为 5.8。注意 a 必须满足 1 a < 10，且 n 的确定要准确。
4．在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B、主视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是矩形，故D不符合题意．
故选：A
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，主视图是从物体正面观察所得到的图形。圆锥的主视图是等腰三角形；正方体的主视图是正方形；三棱柱的主视图是矩形（中间可能有一条竖线）；圆柱的主视图是矩形。因此主视图为三角形的是圆锥。注意三棱柱主视图的形状与其放置方向有关，通常为矩形。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方法则判断A的正误；根据合并同类项法则判断B的正误；根据同底数幂的乘法法则判断C的正误；根据完全平方公式判断D的正误.
6．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一如图，石拱桥整体形状为圆的一部分，已知该石拱桥的桥顶到水面的距离为，水面的长也为，则该石拱桥的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
故选：B．
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理的实际应用。连接圆心 O 与弦 AB 的中点 D，则 OD AB，由垂径定理得 AD =AB = 4 m。设圆的半径为 R，则 OC = R，OD = CD - OC = 8 - R（注意 CD 为桥顶到水面的距离，O 在 CD 上）。在 Rt△ OAD 中，由勾股定理 得，展开得 16 + 64 - 16R + R2= R2，即 80 - 16R = 0，解得 R = 5 m。注意图形中圆心位置与已知距离的对应关系。
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱（钱：古代货币计量单位）．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x人，物价是y钱，
根据题意得，或．
故选：A．
【分析】本题主要考查列一元一次方程或分式方程解决古代数学问题。设共有 x 人，物价为 y 钱。根据“每人出 8 钱，多出 3 钱”得 8x = y + 3；根据“每人出 7 钱，差 4 钱”得 7x = y - 4。也可消去 x 得。选项 A 与此一致。注意“多出”表示钱数比物价多，“差”表示钱数比物价少，等量关系为人数相等。
8．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（　　）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0.
故答案为：A.
【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断.
9．如图，二次函数的图象经过点和点．给出下列结论：①；②；③当时，的值小于0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下，对称轴位于轴的右侧，且与轴交于负半轴可得，
，
所以选项①正确，符合题意；
②由抛物线和轴的交点可得，抛物线的对称轴在点的右侧，
，
解得，
所以选项②正确，符合题意；
③由抛物线的图象可知，当时，的值小于0，
所以选项③正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点符号以及函数值的范围判断。由图象开口向下得 a < 0；对称轴在 y 轴右侧得 > 0，结合 a < 0 得 b > 0；图象与 y 轴交于负半轴得 c < 0，故①正确。由图象过 (3，0) 且对称轴在 x = 1.5 右侧，得> 1.5，即 -b < 3a，移项得 3a + b > 0，故②正确。由图象知当 x > 3 时，抛物线在 x 轴下方，故 y < 0，③正确。注意对称轴与 x 轴交点横坐标的关系推导。
10．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用圆锥的侧面展开图的面积公式求解即可。
11．如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
故选：A．
【分析】本题以正方形中的动点与中点为背景，综合考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定（AAS）以及方程思想。过点 H 作 HN CD 于 N，HM BC 交 BC 延长线于 M，连接 EH，由 AB = 6，BE = 4 得 CE = 2，在 Rt△ DCE 中由勾股定理，则，H 为 DF 中点得 DH = 2，且 EH = DH。由 MEH = NDH 及 EH = DH 证，得 NH = MH，故四边形 CMHN 为正方形。设 NC = NH = x，则 DN = 6 - x，在 Rt△ DNH 中由勾股定理，解得 x = 2 或 x = 4（舍去，因 EM = 2 + 4 = 6 > 2 不合题意），故。注意全等三角形对应边相等及正方形判定的应用。
12．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，且，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，则，
∵的周长为，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
∴，
故选：C ．
【分析】本题以平行四边形和角平分线为背景，综合考查平行四边形的性质（对边平行）、角平分线的定义、等腰三角形的判定（等角对等边）、相似三角形的判定与性质（AA）、勾股定理以及锐角三角函数的应用。由平行四边形得 ABCD，ADBC，结合 AF 平分 BAD 得 BAE =DAE =AEB，故 AB = BE；同理 CEF = AEB = F，得 CE = CF。设 AB = BE = x，由 AB =BC 得 BC =x，则 CE = CF =x，由△CEF 周长为 8 得 EF = 8 - x。由 AB CF 得，则，即=，故 AE = 2(8 - x)。过点 B 作 BG AE，由 AB = BE 得 G 为 AE 中点，故 AG = 8 - x，由 得，在 Rt△ ABG 中由勾股定理，解得 x = 6（舍去 x = 12 因 EF = 8 - x > 0），则 AE = 2(8 - 6) = 4。注意相似三角形对应边成比例及等腰三角形“三线合一”的运用。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
14．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
15．如图，为的直径，为的弦，且，若，则　 　
【答案】
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）以及平行线的性质（内错角相等）。由COB = 46，根据圆周角定理得 CAB = COB = 23。由 CDAB 得 ACD = CAB = 23。注意平行线的识别与角度转化。
16．疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．某校有3个测温通道，分别记为，，通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图为：
共有9种等可能的情况，其中小王和小李从不同通道测温进校园的有6种情况，
小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是，
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．某茶叶销售商计划将m罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒至少有　 　盒．
【答案】15
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设甲种礼品盒有x盒，
由题意得，，
整理得，，
解得：，
甲种礼品盒至少有15盒，
故答案为：15．
【分析】本题以商品包装销售为背景，综合考查一元一次不等式的应用。设甲种礼品盒有 x 盒，则甲种礼品盒装罐数为 4x 罐，剩余茶叶数量为 120 - 4x 罐，这些茶叶按乙种礼品盒包装，每盒装 6 罐，故乙种礼品盒数量为 盒。每盒甲种礼品盒利润为 240 - 430 = 120 元，每盒乙种礼品盒利润为 300 - 6 30 = 120 元。总利润为 120x + 120 3000，化简得 120x + 20(120 - 4x) 3000，即 120x + 2400 - 80x 3000，40x600，x 15，故甲种礼品盒至少有 15 盒。注意乙种礼品盒数量需为整数，但不等式求最小值时可先取整。
18．如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点A落在边上的点E处，则的长度是　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】本题以直角三角形中的折叠为背景，综合考查折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用。由折叠得 ACD = ECD，因 E 落在 BC 上，且 ACB = 90°，故 ACD =ECD = 45°。过点 D 作 DH AC 于 H，则△ CDH 为等腰直角三角形，得 CH = DH。在 Rt△ ABC 中，tan A = = 2，在 Rt△ ADH 中，tan A =，故= 2，即 DH = 2AH，结合 CH = DH 得 AC = AH + CH = AH + 2AH = 3AH = 1，解得 AH =，DH =。在 Rt△ ADH 中由勾股定理得。注意折叠后角平分线性质的运用。
三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算以及分式的化简求值。
（1）涉及负整数指数幂= 4、零指数幂 = 1、绝对值 |3| = 3 以及特殊角的三角函数值 tan 45 = 1，代入计算得 4 + 1 + 3 - 2 = 6；
（2）先将括号内通分得，再将除法化为乘法，因式分解后约分得最简结果 x + 1，代入 x = - 1 得。注意分式化简时的符号处理及分母不为零的条件。
20．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为____________人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40人
（2）108°
（3）解：C类别人数为（人），
补全图形如下：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，∴参加这次调查的学生总人数为（人），
故答案为：40；
（2）解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
【分析】本题以“碳中和、碳达峰”知识知晓情况调查为背景，考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联、圆心角计算及用列表法或树状图求概率。
（1）由A类人数6人及占比15%得总人数40人。
（2）B类12人，占，圆心角为。
（3）求出C类18人，补全条形图。
（4）树状图列出所有等可能结果共12种，一男一女共8种，概率为。
21．在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润．
【答案】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元．由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）解：．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以乡村振兴中的产品生产与销售为背景，综合考查分式方程的应用、二次函数的实际应用以及二次函数在给定区间上的最值问题。
（1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元，根据“用 900 元收购 A 原料比收购 B 原料少 100 kg”列分式方程，解得 m = 3，则 A 原料单价 4.5 元，每盒成本 = 元；
（2）设售价为 x 元，则涨价 (x - 60) 元，销售量为 500 - 10(x - 60) = 1100 - 10x 盒，利润；
（3）由 w = -10(x - 70)2 + 16000，对称轴 x = 70，开口向下。当 时，x = 70 时最大利润为 16000 元；当 60 < a < 70 时，函数在区间上递增，x = a 时利润最大，为（ ）元。注意分式方程需检验，二次函数最值需考虑对称轴与区间端点的位置关系。
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
由题意，得，解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
，
∴每盒产品的成本为（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）．
（3）抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，取70时有最大利润，此时，
即每天的最大利润为16000元．
当时，每天的最大利润（）元．
22．如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数（）交于点A，且点A的横坐标为1，连接，B为一次函数图象上的点，连接，且．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标．
【答案】（1）解：已知一次函数与轴交于点，
将代入
得，
解得，
即一次函数的解析式为
点A的横坐标为1，且点A在一次函数的图象上，
点
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点A作轴于点，过点作轴于点
则，
，
．
又，
，
．
由（1）可得，
，
，
即．
设，则，
点，
点在一次函数的图象上．
，
解得，
则，
点的坐标为
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数交点为背景，综合考查待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质（AA）、锐角三角函数的定义以及点的坐标求解。
（1）将 (-7，0) 代入一次函数得 b =，解析式为；将 x = 1 代入得 A(1，4)，再代入反比例函数得 k = 4，解析式为；
（2）过点 A 作 AC x 轴于 C，过点 B 作 BD x 轴于 D，由AOB = 90得 AOC + BOD = 90，结合 AOC + CAO = 90° 得 CAO =BOD，故，则，即 tanAOC = = 4 =，设 BD = m，则 OD = 4m，点 B(-4m， m) 在一次函数上，代入解得 m =，故 B注意相似三角形对应边成比例的转化及点在函数图象上的条件。
（1）解：已知一次函数与轴交于点，
将代入
得，
解得，
即一次函数的解析式为
点A的横坐标为1，且点A在一次函数的图象上，
点
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）如图，过点A作轴于点，过点作轴于点
则，
，
．
又，
，
．
由（1）可得，
，
，
即．
设，则，
点，
点在一次函数的图象上．
，
解得，
则，
点的坐标为
23．如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝＝，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，
∴tanB＝tan∠CAD＝＝，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝，
∴BC＝．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆中直径与切线证明为背景，考查了切线的判定、锐角三角函数的应用、勾股定理及等腰三角形的性质。
（1）由AB为直径得∠B+∠BAC=90°，结合∠CAD=∠B推得∠BAD=90°，即AD⊥OA，证得切线。
（2）过D作DM⊥AD，由tan∠CAD=及AD=4得DM=2。通过角度推理得DC=DM=2，在Rt△OAD中由勾股定理求OA=3，则AB=6。由tanB=tan∠CAD=得BC=2AC，在Rt△ABC中由勾股定理求AC，进而得BC。
24．如图，在中，，D为的中点，E为上的点，平分，F为上的点，与交于点G，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图②，连接，将沿翻折得到，点A的对应点为点M，与交于点N，求的长．
【答案】（1）证明：在中，为的中点，
．
设．
平分
．
又
．
（2）解：如图③，过点作于点
．
在中，
．
由（1）可得
．
又
是等腰直角三角形，
即．
．
又
．
在中，
．
（3）解：如图④，过点作于点于点
四边形是矩形．
，
矩形是正方形，
将沿翻折得到后，三点共线，
．
．
又
，
，
是等腰三角形．
是的中点，
．
又
．
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的角平分线、垂线及翻折为背景，综合考查等腰三角形的性质（三线合一）、全等三角形的判定（AAS、ASA）、勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定以及解直角三角形的应用。
（1）由 AB = AC，D 为 BC 中点得 AD BC， BAD = CAD，设 BAD =，由 EF AC 得 EGD = 90 - = EBD，结合 DE 平分 BDG 及公共边 DE 证，得 DG = BD；
（2）由 BC = AD = 4 得 BD = CD = 2，在 RtABD 中由勾股定理得 AB = 2，由（1）得 EDB = 45，过 E 作 EHBC 于 H，得 Rt EHD 为等腰直角三角形，由 tan BEH = 及相似得 BE =AB = = GE，又 AG = AD - DG = 2，在 Rt AGF 中由 tan GAF = 得 GF =，故 EF = GE + GF =；
（3）过点 D 作 DP ME，DQ AC，证四边形 DPFQ 为正方形，由翻折得 E， F， M 共线，证得 MN = AG = 2，GF = NF，又 DN = DG = 2，得 MN = DN，再证 得 QN = FN，从而 CN = 2NF = 2GF =。注意辅助线构造及等腰三角形的性质运用。
（1）证明：在中，为的中点，
．
设．
平分
．
又
．
（2）解：如图③，过点作于点
．
在中，
．
由（1）可得
．
又
是等腰直角三角形，
即．
．
又
．
在中，
．
（3）解：如图④，过点作于点于点
四边形是矩形．
，
矩形是正方形，
将沿翻折得到后，三点共线，
．
．
又
，
，
是等腰三角形．
是的中点，
．
又
．
25．如图，已知抛物线y=ax2-4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标；
（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．
【答案】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+3，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3
（2）令y＝x2﹣4x+3中x＝0，则y＝3，令y＝x2﹣4x+3中y＝0，则x＝1或3，
∴点C（0，3）、点B（3，0）；
当PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，
∴线段BC的中点坐标为（，），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C坐标代入得
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设BC中垂线解析式为y=x+c，将点（，）代入得c=0，
∴BC中垂线解析式为y＝x
解得或
∴点P坐标为（，）或（，）；
（3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，
∵△MAB∽△ACB，
∴，
∴MB＝，
过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，
∵OB＝OC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∴MH＝HB＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝，
即点M（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线 y=ax2-4x+3（a≠0）算出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）分别令抛物线解析式中的x=0、y=0算出对应的y与x的值，即可得到点C、B的坐标；当PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标为（，），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式；根据互相垂直直线斜率乘积为-1，再利用待定系数法求出BC中垂线解析式，联立抛物线与BC中垂线解析式，求解即可得出点P的坐标；
（3）M为线段BC上点（不含端点），由相似三角形对应边成比例得，据此求出MB＝，过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，根据等腰直角三角形的性质算出MH＝HB＝MB×＝，则OH＝OB﹣BH＝，从而即可求出点M的坐标.
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