资源简介

天津市和平区九年级2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
3．2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.1×1011 B．1×1010 C．1×1011 D．10×109
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a
6．的值等于（　　）
A． B． C． D．
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C．2 D．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
11．如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论：
①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是；
②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元；
③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元．
其中，正确的结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是　 　.
14．计算的结果为　 　．
15．计算的结果为　 　．
16．把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为　 　．
17．如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接．
①线段的长为　 　；
②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．
①线段的长为　 　；
②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　　；
（2）解不等式②，得　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　　．
20．为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？
21．已知：中，，以为直径的分别交，于点，．
（1）如图①，若点为的中点，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为．
（1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）；
（2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，．
23．已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小明离开家的时间 6 25 36 158
小明离家的距离
②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ；
③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ；
④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．
（1）填空：如图①，当时，点的坐标为　 　，点的坐标为　 　 ；
（2）如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
（3）若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点．
（1）若，，且．
①求抛物线的解析式；
②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标；
（2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：的俯视图是
故选：A
【分析】
根据俯视图的定义：从物体正上方往下看所得到的平面图形即可判断．
2．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即的值在5和6之间．
故选：A
【分析】
首先找出29介于哪两个连续整数的平方之间，再开平方确定范围即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：解： 10000000000 =1×1010.
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示较大的数时，表示为a×10n，其中，n是正整数，正确数出小数点移动的位数即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：图形两部分折叠后可完全重合，逐个判断选项中的汉字即可．
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】
∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
故选C.
【分析】根据数轴确定a和b的正负性，进而利用相反数的性质判断-a、-b的正负，最后根据“负数＜0＜整数”即可判断．
6．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故选：D．
【分析】
先明确特殊角的三角函数值，再按运算法则顺序计算乘法，最后进行加减运算即可．
7．【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
先将两个分式的分母化为相同，再进行分子的加减运算，最后化简结果即可．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
【分析】
先根据反比例函数性质判断各点所在象限及函数增减性，再分别计算各点纵坐标并比较大小即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为，
故答案为：C．
【分析】根据题中的两个相等关系"将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤"即可列关于x、y的方程组．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图方法可得平分，
∴，
∴，
∴，
由作图方法可得垂直平分，
∴，
过点P作，
∴，
∴到的距离为，
故选：B．
【分析】
通过作辅助线可得AG是角平分线，MN是线段AD的垂直平分线，从而可求出AD的长和的度数，最后利用三角函数求解距离即可．
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到，
∴，
∴，，，，
当时，才成立，故选项A不一定正确；
现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确；
如图，与交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选项D一定正确；
故选：D．
【分析】
通过三角形旋转得到对应边和对应角相等，再利用三角形内角和定理及角之间的关系判断各个选项的正确性即可.
12．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是，
故①正确，符合题意；
②设利润为W元，
，
由题意可得：，
∴，
∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大，
∴时，W 最大为8840元，
故②不正确，不符合题意；
③令，
解得，，
∵，
∴，
即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元，
故③不正确，不符合题意；
综上所述，正解的有①，一共1个．
故选：B．
【分析】
①根据售价与销量的关系确定函数解析式即可；
②设利润为W元，建立利润函数，再根据该商品的利润率不能超过列出不等式，最后根据二次函数的性质求最值即可；
③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为；
故答案为.
【分析】
首先确定绿球的数量和总球数，再用绿球的数量除以总球数得到取出绿球的可能性即可．
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可解答．
15．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：3．
【分析】
根据平方差公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，
∴，
∴把代入，
得，
解得．
故答案为：
【分析】
需先根据直线平移规律得到平移后的直线方程，再将点的坐标代入方程求解b的值即可.
17．【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
设直线解析式：，
则代入点得到：，
解得：，
∴直线解析式：，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】
（1）通过建立平面直角坐标系，利用正方形对角线BD的解析式确定点P的坐标，再利用勾股定理求出AP的长即可；
（2）利用AP⊥PE这一垂直关系，结合勾股定理或相似三角形性质求出点E的位置，进而确定线段PE的中点M的位置，最后构造直角三角形利用勾股定理求出DM的长即可.
18．【答案】；连接AD与网格线相交于点O和点E，点O即为圆心：连接PE并延长与网格线相交于点F，连接FD与圆相交于点G，连接GO并延长与圆相交于点M，则点M即为所求
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①；
②解：如图所示为所求：
连接与网格线相交于点和点，点即为圆心连接，
∵，
∴是圆的直径，
由网格知点的中点，即点O是圆心，
由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵是的切线，
，
∴是的切线，
∴．
【分析】
①通过构造直角三角形，利用勾股定理求解AC的长度即可；
②通过作辅助线，根据圆周角定理的推论可得点O是圆心，再根据平行四边形的判定定理对边平行可得出DFOP，根据GM是圆的直径可得=90°，根据已知条件和全等三角形的判定定理SAS可得出=，最后根据切线的性质可得PM=PD，进而可得出点M．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），
移项，得，
合并同类项，得，
（2），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
（4）结合（3）的图中信息得出，原不等式组的解集为，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【分析】按照解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的性质，分别求出（1）和（2）中的x的取值范围即可；
（3）结合（1）和（2）的计算结果，在数轴上表示解题即可；
（4）根据（3）的画图结果，写出x的公共部分即可得出解集。
20．【答案】（1）50，16，2，2
（2）解：观察条形统计图：，
这组数据的平均数是1.98；
（3）解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占，
根据样本数据，估计该校学生2400人中，
该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则，
估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，（名），
，
则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2；
∵一共调查名学生，
∴中位数排在第位，
则，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2；
故答案为：50，16，2，2；
【分析】
（1）利用”部分数量对应百分比=总数量“求出a，再利用“部分数量总数量100％=对应百分比”求出m，最后根据众数和中位数定义求解即可．
（2）利用平均数公式进行计算即可．
（3）用样本中某部分的占比乘以总体数量即可解答．
（1）解：依题意，（名），
，
则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2；
∵一共调查名学生，
∴中位数排在第位，
则，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2；
故答案为：50，16，2，2；
（2）解：观察条形统计图：，
这组数据的平均数是1.98；
（3）解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占，
根据样本数据，估计该校学生2400人中，
该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则，
估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人．
21．【答案】（1）解：如图，连接，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；

（2）解：如图，连接，过点作，
，
为的切线，
，即，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，即半径的长为．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用圆周角定理及等弧对等角，结合直径所对圆周角为直角，可证明=；进而求出；利用圆内接四边形对角互补及平角定义，可得出答案
（2）通过作辅助线构造矩形，利用切线性质和平行线性质证明为等腰三角形，进而得出AC=AB；在直角三角形中利用三角函数表示线段长，建立关于半径的方程即可.
（1）解：如图，连接，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作，
，
为的切线，
，即，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，即半径的长为．
22．【答案】（1）解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为
（2）解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
∴∠GAE=45°=∠AEG，
∴AG=GE，
，
答：这座山的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型；矩形底座模型
【解析】【分析】（1）在Rt△BDC中，由∠CBD的正切函数表示出CD，在Rt△EBD中，由∠EBD的正切函数表示出ED，然后根据CE=ED-CD建立方程，求解即可得出答案；
（2）过E作EG⊥AB于G，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BDEG是矩形，由矩形对边相等得GE=BD，GB=ED，由等腰直角三角形性质得AG=GE，最后根据AB=AG+GB=GE+GB可算出答案.
（1）解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为；
（2）解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
在中，，
，
，
答：这座山的高度为．
23．【答案】（1）①，，；②120；③；④当时，；当时，
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①根据函数图象，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为；
故答案为：，，；
②
∴小明在科技馆参观学习花费的时间为；
故答案为：120；
③
∴小明从科技馆返回家的速度为；
故答案为：；
④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，
依题意，把，代入得，
，
解得，
∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）
解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，
当小明离开科技馆时，小明已经走了，
设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为，
∴，
解得，
则，
∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是．
【分析】
（1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可；
②运用时间相减即可作答；
③根据路程除以时间等于速度，即可作答．
④根据函数图象的转折点可将区间分为两段：当时，与的函数解析式为；设当时，与的函数解析式为，再分别利用待定系数法进行作答即可．
（2）需明确两人出发时间的差异，利用路程相等建立方程求解即可.
（1）解：①根据函数图象，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为；
故答案为：，，；
②
∴小明在科技馆参观学习花费的时间为；
故答案为：120；
③
∴小明从科技馆返回家的速度为；
故答案为：；
④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，
依题意，把，代入得，
，
解得，
∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，
当小明离开科技馆时，小明已经走了，
设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为，
∴，
解得，
则，
∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是．
24．【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）由折叠得
，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
故（）；
（3）解：①当时，如图，
此时折叠该纸片后与重叠部分为，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
；
③当时，如图，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
综上所述：．
【分析】
（1）先根据点的坐标求出直线OB的解析式，再利用折叠性质和直角三角形的边角关系求出点Q和点O’的坐标；
（2）根据折叠性质可知AE=A’E，利用正切函数得，再根据直角三角形的特征得，即可求解；
（3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解．
（1）解：延长交轴于，
，，
，，
，
，
，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：由折叠得
，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
故（）；
（3）解：①当时，如图，
此时折叠该纸片后与重叠部分为，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
；
③当时，如图，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
综上所述：．
25．【答案】（1）解：（1）①，
点的坐标为，抛物线解析式为．
，
．
．
抛物线与轴相交于点，
，解得．
抛物线解析式为．
②抛物线与轴相交于点，
当时，．
点的坐标为．
如图，过点作，与相交于点．
，
．．．
．
点为的中点．设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴与抛物线相交于点，
点，，．可得方程．
解得，（舍）．
点的坐标为．
（2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．
，．
点，点，点，
，，．
在中，，
．
，
．
又，
．
，．．
是等边三角形．
．
．
当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．．
在中，．
，解得．
，，．
设抛物线解析式为，
把代入，解得．
的值为．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）①将c=3代入抛物线方程，利用2a-b=0得到b=2，再将点A坐标代入求出a的值；②先求出点C的坐标，通过面积关系得出H为DM的中点，求出直线AC的解析式，利用中点坐标公式列方程求解m即可；
（2）通过构造等边三角形ACQ，通过全等三角形的判定定理证明，可得到QM=QN，再将CM+MN转化为CM+QM最小值为CQ，求出c的值，再代入抛物线方程求出a的值．
（1）解：①，
点的坐标为，抛物线解析式为．
，
．
．
抛物线与轴相交于点，
，解得．
抛物线解析式为．
②抛物线与轴相交于点，
当时，．
点的坐标为．
如图，过点作，与相交于点．
，
．．．
．
点为的中点．设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴与抛物线相交于点，
点，，．可得方程．
解得，（舍）．
点的坐标为．
（2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．
，．
点，点，点，
，，．
在中，，
．
，
．
又，
．
，．．
是等边三角形．
．
．
当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．．
在中，．
，解得．
，，．
设抛物线解析式为，
把代入，解得．
的值为．
1 / 1天津市和平区九年级2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：的俯视图是
故选：A
【分析】
根据俯视图的定义：从物体正上方往下看所得到的平面图形即可判断．
2．估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即的值在5和6之间．
故选：A
【分析】
首先找出29介于哪两个连续整数的平方之间，再开平方确定范围即可.
3．2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.1×1011 B．1×1010 C．1×1011 D．10×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：解： 10000000000 =1×1010.
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示较大的数时，表示为a×10n，其中，n是正整数，正确数出小数点移动的位数即可得到答案.
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：图形两部分折叠后可完全重合，逐个判断选项中的汉字即可．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】
∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
故选C.
【分析】根据数轴确定a和b的正负性，进而利用相反数的性质判断-a、-b的正负，最后根据“负数＜0＜整数”即可判断．
6．的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故选：D．
【分析】
先明确特殊角的三角函数值，再按运算法则顺序计算乘法，最后进行加减运算即可．
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
先将两个分式的分母化为相同，再进行分子的加减运算，最后化简结果即可．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
【分析】
先根据反比例函数性质判断各点所在象限及函数增减性，再分别计算各点纵坐标并比较大小即可.
9．成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为，
故答案为：C．
【分析】根据题中的两个相等关系"将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤"即可列关于x、y的方程组．
10．如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图方法可得平分，
∴，
∴，
∴，
由作图方法可得垂直平分，
∴，
过点P作，
∴，
∴到的距离为，
故选：B．
【分析】
通过作辅助线可得AG是角平分线，MN是线段AD的垂直平分线，从而可求出AD的长和的度数，最后利用三角函数求解距离即可．
11．如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到，
∴，
∴，，，，
当时，才成立，故选项A不一定正确；
现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确；
如图，与交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选项D一定正确；
故选：D．
【分析】
通过三角形旋转得到对应边和对应角相等，再利用三角形内角和定理及角之间的关系判断各个选项的正确性即可.
12．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论：
①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是；
②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元；
③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元．
其中，正确的结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是，
故①正确，符合题意；
②设利润为W元，
，
由题意可得：，
∴，
∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大，
∴时，W 最大为8840元，
故②不正确，不符合题意；
③令，
解得，，
∵，
∴，
即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元，
故③不正确，不符合题意；
综上所述，正解的有①，一共1个．
故选：B．
【分析】
①根据售价与销量的关系确定函数解析式即可；
②设利润为W元，建立利润函数，再根据该商品的利润率不能超过列出不等式，最后根据二次函数的性质求最值即可；
③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为；
故答案为.
【分析】
首先确定绿球的数量和总球数，再用绿球的数量除以总球数得到取出绿球的可能性即可．
14．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可解答．
15．计算的结果为　 　．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：3．
【分析】
根据平方差公式计算即可．
16．把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，
∴，
∴把代入，
得，
解得．
故答案为：
【分析】
需先根据直线平移规律得到平移后的直线方程，再将点的坐标代入方程求解b的值即可.
17．如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接．
①线段的长为　 　；
②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为　 　．
【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
设直线解析式：，
则代入点得到：，
解得：，
∴直线解析式：，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】
（1）通过建立平面直角坐标系，利用正方形对角线BD的解析式确定点P的坐标，再利用勾股定理求出AP的长即可；
（2）利用AP⊥PE这一垂直关系，结合勾股定理或相似三角形性质求出点E的位置，进而确定线段PE的中点M的位置，最后构造直角三角形利用勾股定理求出DM的长即可.
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．
①线段的长为　 　；
②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】；连接AD与网格线相交于点O和点E，点O即为圆心：连接PE并延长与网格线相交于点F，连接FD与圆相交于点G，连接GO并延长与圆相交于点M，则点M即为所求
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①；
②解：如图所示为所求：
连接与网格线相交于点和点，点即为圆心连接，
∵，
∴是圆的直径，
由网格知点的中点，即点O是圆心，
由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵是的切线，
，
∴是的切线，
∴．
【分析】
①通过构造直角三角形，利用勾股定理求解AC的长度即可；
②通过作辅助线，根据圆周角定理的推论可得点O是圆心，再根据平行四边形的判定定理对边平行可得出DFOP，根据GM是圆的直径可得=90°，根据已知条件和全等三角形的判定定理SAS可得出=，最后根据切线的性质可得PM=PD，进而可得出点M．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　　；
（2）解不等式②，得　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　　．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），
移项，得，
合并同类项，得，
（2），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
（4）结合（3）的图中信息得出，原不等式组的解集为，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【分析】按照解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的性质，分别求出（1）和（2）中的x的取值范围即可；
（3）结合（1）和（2）的计算结果，在数轴上表示解题即可；
（4）根据（3）的画图结果，写出x的公共部分即可得出解集。
20．为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？
【答案】（1）50，16，2，2
（2）解：观察条形统计图：，
这组数据的平均数是1.98；
（3）解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占，
根据样本数据，估计该校学生2400人中，
该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则，
估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，（名），
，
则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2；
∵一共调查名学生，
∴中位数排在第位，
则，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2；
故答案为：50，16，2，2；
【分析】
（1）利用”部分数量对应百分比=总数量“求出a，再利用“部分数量总数量100％=对应百分比”求出m，最后根据众数和中位数定义求解即可．
（2）利用平均数公式进行计算即可．
（3）用样本中某部分的占比乘以总体数量即可解答．
（1）解：依题意，（名），
，
则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2；
∵一共调查名学生，
∴中位数排在第位，
则，
故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2；
故答案为：50，16，2，2；
（2）解：观察条形统计图：，
这组数据的平均数是1.98；
（3）解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占，
根据样本数据，估计该校学生2400人中，
该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则，
估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人．
21．已知：中，，以为直径的分别交，于点，．
（1）如图①，若点为的中点，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；

（2）解：如图，连接，过点作，
，
为的切线，
，即，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，即半径的长为．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用圆周角定理及等弧对等角，结合直径所对圆周角为直角，可证明=；进而求出；利用圆内接四边形对角互补及平角定义，可得出答案
（2）通过作辅助线构造矩形，利用切线性质和平行线性质证明为等腰三角形，进而得出AC=AB；在直角三角形中利用三角函数表示线段长，建立关于半径的方程即可.
（1）解：如图，连接，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作，
，
为的切线，
，即，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，即半径的长为．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为．
（1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）；
（2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，．
【答案】（1）解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为
（2）解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
∴∠GAE=45°=∠AEG，
∴AG=GE，
，
答：这座山的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型；矩形底座模型
【解析】【分析】（1）在Rt△BDC中，由∠CBD的正切函数表示出CD，在Rt△EBD中，由∠EBD的正切函数表示出ED，然后根据CE=ED-CD建立方程，求解即可得出答案；
（2）过E作EG⊥AB于G，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BDEG是矩形，由矩形对边相等得GE=BD，GB=ED，由等腰直角三角形性质得AG=GE，最后根据AB=AG+GB=GE+GB可算出答案.
（1）解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为；
（2）解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
在中，，
，
，
答：这座山的高度为．
23．已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小明离开家的时间 6 25 36 158
小明离家的距离
②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ；
③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ；
④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①，，；②120；③；④当时，；当时，
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①根据函数图象，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为；
故答案为：，，；
②
∴小明在科技馆参观学习花费的时间为；
故答案为：120；
③
∴小明从科技馆返回家的速度为；
故答案为：；
④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，
依题意，把，代入得，
，
解得，
∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）
解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，
当小明离开科技馆时，小明已经走了，
设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为，
∴，
解得，
则，
∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是．
【分析】
（1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可；
②运用时间相减即可作答；
③根据路程除以时间等于速度，即可作答．
④根据函数图象的转折点可将区间分为两段：当时，与的函数解析式为；设当时，与的函数解析式为，再分别利用待定系数法进行作答即可．
（2）需明确两人出发时间的差异，利用路程相等建立方程求解即可.
（1）解：①根据函数图象，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为，
小明离家时，离家的距离为；
故答案为：，，；
②
∴小明在科技馆参观学习花费的时间为；
故答案为：120；
③
∴小明从科技馆返回家的速度为；
故答案为：；
④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，
依题意，把，代入得，
，
解得，
∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，
当小明离开科技馆时，小明已经走了，
设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为，
∴，
解得，
则，
∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是．
24．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．
（1）填空：如图①，当时，点的坐标为　 　，点的坐标为　 　 ；
（2）如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
（3）若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）由折叠得
，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
故（）；
（3）解：①当时，如图，
此时折叠该纸片后与重叠部分为，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
；
③当时，如图，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
综上所述：．
【分析】
（1）先根据点的坐标求出直线OB的解析式，再利用折叠性质和直角三角形的边角关系求出点Q和点O’的坐标；
（2）根据折叠性质可知AE=A’E，利用正切函数得，再根据直角三角形的特征得，即可求解；
（3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解．
（1）解：延长交轴于，
，，
，，
，
，
，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：由折叠得
，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
故（）；
（3）解：①当时，如图，
此时折叠该纸片后与重叠部分为，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
；
③当时，如图，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
综上所述：．
25．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点．
（1）若，，且．
①求抛物线的解析式；
②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标；
（2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值．
【答案】（1）解：（1）①，
点的坐标为，抛物线解析式为．
，
．
．
抛物线与轴相交于点，
，解得．
抛物线解析式为．
②抛物线与轴相交于点，
当时，．
点的坐标为．
如图，过点作，与相交于点．
，
．．．
．
点为的中点．设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴与抛物线相交于点，
点，，．可得方程．
解得，（舍）．
点的坐标为．
（2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．
，．
点，点，点，
，，．
在中，，
．
，
．
又，
．
，．．
是等边三角形．
．
．
当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．．
在中，．
，解得．
，，．
设抛物线解析式为，
把代入，解得．
的值为．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）①将c=3代入抛物线方程，利用2a-b=0得到b=2，再将点A坐标代入求出a的值；②先求出点C的坐标，通过面积关系得出H为DM的中点，求出直线AC的解析式，利用中点坐标公式列方程求解m即可；
（2）通过构造等边三角形ACQ，通过全等三角形的判定定理证明，可得到QM=QN，再将CM+MN转化为CM+QM最小值为CQ，求出c的值，再代入抛物线方程求出a的值．
（1）解：①，
点的坐标为，抛物线解析式为．
，
．
．
抛物线与轴相交于点，
，解得．
抛物线解析式为．
②抛物线与轴相交于点，
当时，．
点的坐标为．
如图，过点作，与相交于点．
，
．．．
．
点为的中点．设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴与抛物线相交于点，
点，，．可得方程．
解得，（舍）．
点的坐标为．
（2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．
，．
点，点，点，
，，．
在中，，
．
，
．
又，
．
，．．
是等边三角形．
．
．
当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．．
在中，．
，解得．
，，．
设抛物线解析式为，
把代入，解得．
的值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑