资源简介

广东省深圳市育才教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题
1．春节期间，深圳市的气温变化频繁．某天，最高气温下降了，最低气温上升了．如果气温下降记为，则上升记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果气温下降记为，则上升记为．
故答案为：B
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，下降的温度记为负数，与之相反的上升温度应记为正数，直接根据相反意义确定的记法即可。
2．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形
C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体是底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥
∴从正面看，其主视图是一个直角三角形，故A选项正确，D选项错误；
从左面看，其左视图是一个直角三角形，故B选项错误；
从上面看，其俯视图是一个矩形（含一条对角线），故C选项错误．
故选A．
【分析】本题考查几何体三视图的判断，分别从正面、左面、上面观察“阳马”，因侧棱垂直底面，主视图和左视图均为直角三角形，俯视图是带对角线的矩形，据此逐一验证选项。
3．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①②
③④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4张卡片，随机抽取时每个结果是等可能的，∴所有等可能的结果总数为4．
∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，
∴符合条件的结果数为1．
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为．
故答案为：D
【分析】本题考查简单概率计算，依据概率公式，总共有4种等可能结果，其中生成物含沉淀的只有1种，代入公式计算概率。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意；
B.，故正确，符合题意；
C.，故错误，不合题意；
D.，故错误，不合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，只有同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，完全平方公式为，根据这些规则逐一判断选项。
5．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示．
故选A．
【分析】先分别算出两个不等式组的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来，逐项判断即可．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
7．已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元．
上升元后，日销量下降件，此时日销量为件．
可列方程为．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的销售利润应用，总利润=单件利润×销售量，售价上升元后单件利润为，销量随售价上升每2元降4件，上升元销量降件，此时销量为，据此列方程。
8．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题考查正方形、旋转、全等与相似三角形的综合应用，作辅助线构造全等三角形得出线段长度，证明正方形与全等三角形求出，再利用相似三角形的比例关系求出，最终将两段长度相加得。
9．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．若关于的分式方程的解为2，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得：
整理得：
因为分式方程的解为
故答案为：3．
【分析】本题主要考查分式方程解的意义以及代入法求参数的值.解题的关键是将已知的方程解代入原方程（或整理后的整式方程），从而构造出关于参数m的方程并求解.最后务必检验参数是否使原方程中的分母为零，确保解有意义.
11．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数 和反比例函数（）的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∵其中一个交点的坐标为，
∴另一个交点为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数图象的中心对称性.两个函数与（）的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点也必然关于原点对称.即若一个交点为(a，b)则另一个交点必为( a， b).已知一个交点坐标为(1，2026)，由对称性可得另一个交点为( 1， 2026)，无需具体计算k值.
12．如图，是内接正边形的一条边，若，则　 　．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点，连接、、、．四边形是的内接四边形，
∴．
∵，．
∴．
∵是内接正边形的一条边，
∴．
∴．
解得．
故答案为：5
【分析】本题考查圆内接正多边形与圆周角定理，在优弧上取点构造圆内接四边形，求出圆周角，再由圆周角定理得中心角，最后根据正边形中心角公式计算。
13．如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设、，则、，
点D为中点，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
、，
，
在中，
．
故答案为：；
【分析】先过点作，由得，结合，设、，推出、；再由为中点得，进而得，分别用勾股定理表示、；然后结合，在中用勾股定理建立的表达式，再由建立方程，解得；根据正切定义，。
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】依次计算二次根式、特殊角三角函数值、绝对值、有理数乘方，，，绝对值化简取非负值，的偶次幂为1，最后合并各项结果。
15．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　 　；
（3）【分析数据】
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
由上表填空：　 　，　 　；
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
【答案】（1），
补全条形统计图为：
（2）
（3）430；450
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：辆，
（辆），
补全条形统计图为：
（2）解：
故答案为：.
（3）解：由题意得，．
故答案为：430；450.
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用乘续航里程为的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
（1）解：辆，
（辆），
补全条形统计图为：
（2）解：
（3）解：由题意得，．
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
16．2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）．
（1）试求x，y之间的等量关系；
（2）当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值．
【答案】（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等，
移项计算得：
化简得：
答：和的等量关系是.
（2）将代入
得：
即
解得
则
【知识点】二元一次方程的应用；函数自变量的取值范围；一元一次方程的实际应用-销售问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程的应用，根据总价=单价×数量，结合两种采购方案总价相等列等式，整理后得到与的等量关系；
（2）将总价换算为元，代入（1）的等量关系，解一元一次方程求出、的值。
（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等，
移项计算得：
化简得：
答：和的等量关系是.
（2）将代入
得：
即
解得
则
17．已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，．
（1）如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形；
（2）如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：作图如下：
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
又∵．
∴四边形是菱形；
【分析】（1）本题考查菱形的判定，由平行四边形性质得，添加可证四边形是平行四边形，再结合，根据邻边相等的平行四边形是菱形完成判定；
（2）利用尺规作图作等长线段，结合平行关系构造四边相等的四边形，满足菱形的定义。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
又∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
18．如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是的直径，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点D作于点G，∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）本题考查切线的判定，由直径所对圆周角为直角得，结合、推出，根据过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线证明；
（2）先由勾股定理求，再利用三角函数求出、的长度，得到，最后用三角形面积公式计算面积。
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点D作于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：．
19．综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律．
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）．
【实验任务】
（1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值；
（2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；
（3）观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式．
【答案】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过原点
∴
解得：
∴
∵抛物线，
∴，
∴与对比，可得，
∴抛物线的解析式为：，米/秒
（2）解：①图象如下：
②最多能抛出个小球，说明如下：
由函数图象可得，当时，即，
∴，，
∴，
∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个
（3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为，
当秒后两球相遇，高度相等，
∴
化简得：，
∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点坐标求抛物线解析式，再对比物理公式求初速度；
（2）①根据“每隔1秒抛出一球，利用函数图象平移规律确定关键点并描点作图；②令y=0求出第一个小球落地时间，结合抛出间隔计算小球个数；
（3）根据相遇时高度相等（y值相等），建立关于时间和序号的方程求解.
（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过原点
∴
解得：
∴
∵抛物线，
∴，
∴与对比，可得，
∴抛物线的解析式为：，米/秒．
（2）解：①图象如下：
②最多能抛出个小球，说明如下：
由函数图象可得，当时，即，
∴，，
∴，
∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个．
（3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为，
当秒后两球相遇，高度相等，
∴
化简得：，
∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：．
20．综合与探究
【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点．
（1）【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长；
（2）【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：；
（3）【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵在等腰中，，，∴，
∵点是的分割点，
∴；
（2）证明：∵点是的分割点，∴，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）或
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图，
设，
∵当点运动至的分割点时，
∴，
∴，
∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴．
当时，如图5，
同理，可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【分析】（1）本题考查等腰直角三角形与新定义应用，先由勾股定理求出的长度，再根据分割点的定义计算；（2）本题考查相似三角形的判定，由相似三角形性质得到角相等，推导得出，结合公共角，根据两角分别相等的三角形相似完成证明；（3）分和两种情况，利用相似、全等三角形性质与勾股定理，分别计算的值。
（1）解：∵在等腰中，，，
∴，
∵点是的分割点，
∴；
（2）证明：∵点是的分割点，
∴，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）解：如图，
设，
∵当点运动至的分割点时，
∴，
∴，
∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴．
当时，如图5，
同理，可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
1 / 1广东省深圳市育才教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题
1．春节期间，深圳市的气温变化频繁．某天，最高气温下降了，最低气温上升了．如果气温下降记为，则上升记为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形
C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形
3．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①②
③④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
9．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
10．若关于的分式方程的解为2，则的值为　 　．
11．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是　 　．
12．如图，是内接正边形的一条边，若，则　 　．
13．如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为　 　．
14．计算：．
15．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　 　；
（3）【分析数据】
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
由上表填空：　 　，　 　；
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
16．2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）．
（1）试求x，y之间的等量关系；
（2）当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值．
17．已知四边形是平行四边形，且，点F是上一点，．
（1）如图1，点E在上，连接，，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：_________，使得四边形是菱形；
（2）如图2，请在上求作与点B，C不重合的两点G，H，连接，，使得四边形是菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的面积．
19．综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律．
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）．
【实验任务】
（1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值；
（2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；
（3）观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式．
20．综合与探究
【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点．
（1）【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长；
（2）【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：；
（3）【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果气温下降记为，则上升记为．
故答案为：B
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，下降的温度记为负数，与之相反的上升温度应记为正数，直接根据相反意义确定的记法即可。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体是底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥
∴从正面看，其主视图是一个直角三角形，故A选项正确，D选项错误；
从左面看，其左视图是一个直角三角形，故B选项错误；
从上面看，其俯视图是一个矩形（含一条对角线），故C选项错误．
故选A．
【分析】本题考查几何体三视图的判断，分别从正面、左面、上面观察“阳马”，因侧棱垂直底面，主视图和左视图均为直角三角形，俯视图是带对角线的矩形，据此逐一验证选项。
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4张卡片，随机抽取时每个结果是等可能的，∴所有等可能的结果总数为4．
∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，
∴符合条件的结果数为1．
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为．
故答案为：D
【分析】本题考查简单概率计算，依据概率公式，总共有4种等可能结果，其中生成物含沉淀的只有1种，代入公式计算概率。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意；
B.，故正确，符合题意；
C.，故错误，不合题意；
D.，故错误，不合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，只有同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，完全平方公式为，根据这些规则逐一判断选项。
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示．
故选A．
【分析】先分别算出两个不等式组的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来，逐项判断即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元．
上升元后，日销量下降件，此时日销量为件．
可列方程为．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的销售利润应用，总利润=单件利润×销售量，售价上升元后单件利润为，销量随售价上升每2元降4件，上升元销量降件，此时销量为，据此列方程。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题考查正方形、旋转、全等与相似三角形的综合应用，作辅助线构造全等三角形得出线段长度，证明正方形与全等三角形求出，再利用相似三角形的比例关系求出，最终将两段长度相加得。
9．【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母得：
整理得：
因为分式方程的解为
故答案为：3．
【分析】本题主要考查分式方程解的意义以及代入法求参数的值.解题的关键是将已知的方程解代入原方程（或整理后的整式方程），从而构造出关于参数m的方程并求解.最后务必检验参数是否使原方程中的分母为零，确保解有意义.
11．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数 和反比例函数（）的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∵其中一个交点的坐标为，
∴另一个交点为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数图象的中心对称性.两个函数与（）的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点也必然关于原点对称.即若一个交点为(a，b)则另一个交点必为( a， b).已知一个交点坐标为(1，2026)，由对称性可得另一个交点为( 1， 2026)，无需具体计算k值.
12．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点，连接、、、．四边形是的内接四边形，
∴．
∵，．
∴．
∵是内接正边形的一条边，
∴．
∴．
解得．
故答案为：5
【分析】本题考查圆内接正多边形与圆周角定理，在优弧上取点构造圆内接四边形，求出圆周角，再由圆周角定理得中心角，最后根据正边形中心角公式计算。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设、，则、，
点D为中点，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
、，
，
在中，
．
故答案为：；
【分析】先过点作，由得，结合，设、，推出、；再由为中点得，进而得，分别用勾股定理表示、；然后结合，在中用勾股定理建立的表达式，再由建立方程，解得；根据正切定义，。
14．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】依次计算二次根式、特殊角三角函数值、绝对值、有理数乘方，，，绝对值化简取非负值，的偶次幂为1，最后合并各项结果。
15．【答案】（1），
补全条形统计图为：
（2）
（3）430；450
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：辆，
（辆），
补全条形统计图为：
（2）解：
故答案为：.
（3）解：由题意得，．
故答案为：430；450.
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用乘续航里程为的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
（1）解：辆，
（辆），
补全条形统计图为：
（2）解：
（3）解：由题意得，．
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
16．【答案】（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等，
移项计算得：
化简得：
答：和的等量关系是.
（2）将代入
得：
即
解得
则
【知识点】二元一次方程的应用；函数自变量的取值范围；一元一次方程的实际应用-销售问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程的应用，根据总价=单价×数量，结合两种采购方案总价相等列等式，整理后得到与的等量关系；
（2）将总价换算为元，代入（1）的等量关系，解一元一次方程求出、的值。
（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等，
移项计算得：
化简得：
答：和的等量关系是.
（2）将代入
得：
即
解得
则
17．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：作图如下：
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
又∵．
∴四边形是菱形；
【分析】（1）本题考查菱形的判定，由平行四边形性质得，添加可证四边形是平行四边形，再结合，根据邻边相等的平行四边形是菱形完成判定；
（2）利用尺规作图作等长线段，结合平行关系构造四边相等的四边形，满足菱形的定义。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
又∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
18．【答案】（1）证明：∵是的直径，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点D作于点G，∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）本题考查切线的判定，由直径所对圆周角为直角得，结合、推出，根据过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线证明；
（2）先由勾股定理求，再利用三角函数求出、的长度，得到，最后用三角形面积公式计算面积。
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点D作于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：．
19．【答案】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过原点
∴
解得：
∴
∵抛物线，
∴，
∴与对比，可得，
∴抛物线的解析式为：，米/秒
（2）解：①图象如下：
②最多能抛出个小球，说明如下：
由函数图象可得，当时，即，
∴，，
∴，
∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个
（3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为，
当秒后两球相遇，高度相等，
∴
化简得：，
∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点坐标求抛物线解析式，再对比物理公式求初速度；
（2）①根据“每隔1秒抛出一球，利用函数图象平移规律确定关键点并描点作图；②令y=0求出第一个小球落地时间，结合抛出间隔计算小球个数；
（3）根据相遇时高度相等（y值相等），建立关于时间和序号的方程求解.
（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过原点
∴
解得：
∴
∵抛物线，
∴，
∴与对比，可得，
∴抛物线的解析式为：，米/秒．
（2）解：①图象如下：
②最多能抛出个小球，说明如下：
由函数图象可得，当时，即，
∴，，
∴，
∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个．
（3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为，
当秒后两球相遇，高度相等，
∴
化简得：，
∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：．
20．【答案】（1）解：∵在等腰中，，，∴，
∵点是的分割点，
∴；
（2）证明：∵点是的分割点，∴，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）或
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图，
设，
∵当点运动至的分割点时，
∴，
∴，
∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴．
当时，如图5，
同理，可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【分析】（1）本题考查等腰直角三角形与新定义应用，先由勾股定理求出的长度，再根据分割点的定义计算；（2）本题考查相似三角形的判定，由相似三角形性质得到角相等，推导得出，结合公共角，根据两角分别相等的三角形相似完成证明；（3）分和两种情况，利用相似、全等三角形性质与勾股定理，分别计算的值。
（1）解：∵在等腰中，，，
∴，
∵点是的分割点，
∴；
（2）证明：∵点是的分割点，
∴，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）解：如图，
设，
∵当点运动至的分割点时，
∴，
∴，
∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴．
当时，如图5，
同理，可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑