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四川省泸州高级中学教育联合校2025年中考数学二诊试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
2．年河南省国民经济和社会发展统计公报显示，平顶山市国民生产总值约为亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列整式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
7．函数y＝ 自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3
8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．如图，射线和射线分别与半径为的相切于点B和点C，点D为上一点且，则线段的长为（　　）
A． B．6 C． D．
10．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（　　）
A．或0 B．2或0 C．2 D．0
11．如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”．
下列结论：①直线上存在“方形点”；
②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．因式分解：　 　.
14．如图，扇形中，，，C是弧的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为　 　．
16．如图，已知正方形的边长是，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最大值与最小值的差为　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．如图，，，平分，．求证：四边形是平行四边形．
19．化简：．
20．我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整；
（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
（3）德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率．
21．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
22．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
23．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）直接写出的值和点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值．
24．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：C．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的定义。根据无理数是无限不循环小数，判断各选项：A为分数、B为有限小数、D为整数，均为有理数；C为，是无理数。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：C．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法。科学记数法是将一个大于 10 的数写成 a 的形式，其中 1 a < 10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。将 2694.16 亿先化为 269416000000（整数部分有 12 位），再将其小数点向左移动 11 位得 2.69416，故 n = 11，表示为 2.69416。注意“亿”为单位时的转换，1 亿 =。
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图与俯视图都是正方形，符合题意；
B、主视图是两个拼在一起的矩形，俯视图是三角形，不符合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
D、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
4．【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，知，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。由直尺两边平行得 a b，则 1 与3 是同位角，故 3 = 1 = 55。三角板中 60 角的顶点在直尺边上，结合直角三角板可得 4 = 90。又 2 与3 和4 构成平角或通过内错角关系可得2 = 3 +4 = 55 + 90 = 145。注意正确识别图中角度关系。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】本题主要考查整式的运算法则：合并同类项（系数相加，字母及指数不变）、积的乘方（每个因式分别乘方）、同底数幂相乘（底数不变，指数相加）以及完全平方公式。A 项应为 3；B 项；C 项，正确；D 项。注意区分平方差公式与完全平方公式。
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、命题是真命题，故B符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。A 项应为“四条边相等”而非“三条边相等”；B 项正确；C 项缺少“互相垂直”的条件；D 项对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形。注意菱形与矩形、平行四边形的判定条件的区别。
7．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
x-1≥0且x-3≠0，
∴x≥1且x≠3.
故答案为：B.
【分析】
8．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-2）约去分母，
得m+x-2=-x，
解得x=1-m，
∵原方程的解是非负数，
∴1-m≥0且1-m≠2，
解得m≤2且m≠-2.
故答案为：C.
【分析】将m作为常数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而根据原方程的解是非负数列出不等式组1-m≥0且1-m≠2，再求解即可.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
∵
∴
∵射线和射线分别与半径为的相切于点B和点C，
∴，，
又∵
∴
∴
∴
∵的半径为
∴
∴
∴．
故选：A．
【分析】本题主要考查圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）、切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与切点的连线垂直于切线）、直角三角形全等的判定（HL）以及勾股定理。连接 OA， OB， OC，由 BDC = 60得 BOC = 2 60 = 120；由切线长定理得 AB = AC，OBAB，OC AC，结合 OA = OA 证，则AOC = BOC = 60，在 Rt△ AOC 中 OAC = 30，由 30 角所对直角边等于斜边一半得 AO = 2OC = 2，再由勾股定理得。注意切线长定理与圆周角定理的综合运用。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴，
∵，
∴，
∴，
检验：均为该方程的解；
∵，
∴不成立，
∴，
故选：C．
【分析】本题以一元二次方程根的倒数和为条件，考查了根与系数的关系及判别式的应用。设两根为a、b，则。由 得，解得 m=0 或 m=2。经检验，当 m=0 时判别式小于0，舍去，故 m=2。
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题以矩形中的折叠为背景，综合考查矩形的性质、全等三角形的判定（SAS）、折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰三角形的性质（三线合一）、平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义。连接 EB， EH， EC，由矩形得 AB = CD， A =D = 90，E 为 AD 中点得 AE = DE，证得 EB = EC；由折叠得 EB = EH，FHG = ABC = 90， EGH = A = 90，故 EGFH，且 EC = EH，结合 EG CH 得 G 为 CH 中点，由平行线分线段成比例得 FO = OC。设 BF = FH = 2x，则 CO = FO = 3x，在 Rt△ FHC 中，。注意折叠后对应点的重合关系及等腰三角形“三线合一”的运用。
12．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：①把代入，得
解得：，
∴直线上存在“方形点”
故①正确；
②把代入抛物线，得
解得：，，
∴抛物线上的2个“方形点”为和，
∴这2个“方形点”之间的距离是，
故②正确；
③把代入抛物线，得
，
整理，得，
∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点”
∴，解得：，
∴抛物线，
∵当时，二次函数的最小值为，最大值为，
∴，解得：，
故③错误，
∴正确的有①②，共2个，
故选：B．
【分析】本题以“方形点”（横纵坐标互为相反数）的新定义为背景，考查了函数图象上点的坐标特征、两点间距离公式、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值问题。①将 (x，-x) 代入直线方程，解得存在“方形点”；②代入抛物线方程求得两个“方形点”坐标，由距离公式得 4；③由有且只有一个“方形点”得判别式为0，结合过点(2，-2)求解析式，再根据二次函数最值及给定区间确定m的范围，判断结论错误。故正确结论有2个。
13．【答案】（3m+n）（n-m）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（3m+n）（n-m）.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
14．【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，如图，
由题意得，
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题以扇形中的阴影面积计算为背景，考查了扇形面积公式、等边三角形的性质及等积转化。连接OC、BC，由C为弧AB中点得∠AOC=∠BOC=60°，则△BOC为等边三角形，得BC∥OA，从而S△BCD=S△BCO。阴影面积转化为扇形BOC的面积，代入公式得。
15．【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
16．【答案】30 - 10
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，在上截取，使，连接，，延长到，使，延长，交的延长线于，连接，
∵正方形，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴在线段上运动，
如图，连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
由勾股定理得，，
由题意知，，，
∴当重合时，最大，为，
∴的最大值与最小值的差为 30 - 10 ，
故答案为： 30 - 10 ．
【分析】本题以正方形中的动点等腰直角三角形为背景，综合考查正方形的性质、全等三角形的判定（SAS）、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、勾股定理、轴对称求最值以及动点轨迹的确定。通过构造全等得 AGE = ECF，进而推出 BGE = 45 =D'CF，结合几何关系证四边形 CDHD' 为正方形，得 F 在线段 CH 上运动；再证 得 DF = D'F，从而 AF + DF = AF + D'F，当 A， F， D' 三点共线时取最小值 AD' = 10；当 F 与 H 重合时取最大值 30，故最大值与最小值的差为 30 - 10。注意动点轨迹的确定及轴对称转化求线段和的最小值。
17．【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及立方根的定义（= -2）、负整数指数幂（ = 2）、绝对值的化简（|1 -| =- 1，因为 1.414 > 1）以及零指数幂（= 1）。先分别计算各项，再合并：-2 + 2 + - 1) + 1 =。注意绝对值内数的正负判断及运算顺序。
18．【答案】证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定（ASA）以及平行四边形的判定（一组对边平行且相等）。由 ABDF 得BAE = DFE，结合 AB 平分 CAE 得 CAB = BAE，故 CAB =DFE；已知 ACB =AED = 90，且 AC = FE，可证≌，得 AB = FD；再由 ABDF 且 AB = FD，判定四边形 ABDF 为平行四边形。注意全等三角形对应边和对应角的准确识别。
19．【答案】解：

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算，涉及括号内的通分、因式分解以及除法转化为乘法后约分。先将括号内通分为，再将除式分解为，于是原式 = = x-2。注意运算顺序及分式有意义的条件（x 0， 2）。
20．【答案】（1），
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（2）解：人，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；
【分析】本题以“光盘行动”中的剩饭调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、用样本估计总体及用列表法或树状图求概率。
（1）用“没有剩”的人数除以对应百分比得总人数1000，再补全条形图。
（2）用样本中浪费食物可供40人用餐的比例，乘以全校3500人，得可供应140人。
（3）树状图列出12种等可能结果，选中甲、丙的有2种，概率为。
（1）解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（2）解：人，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．
21．【答案】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，然后根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出关于的分式方程，解方程即可；
（2）设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，然后根据库“航空模型数量不少于航海模型数量的”列出关于的不等式，解不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
22．【答案】解：过点E作于H，如图所示，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，需要用到矩形的性质与判定、正切值等相关知识。
首先过点E作于H，则四边形是矩形，利用矩形的对边相等得出，此时可以放到和，利用正切值计算出DF和HG的长，最后即可计算出FG的长度。
23．【答案】（1）；；
（2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，
∴，
∵，
∴当与重合，即三点共线时的值最小为长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即纵坐标为，
∵在双曲线的图象上，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵直线过点，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
∵双曲线过点，
∴，
∴双曲线解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
【分析】本题以反比例函数与一次函数交点为背景，综合考查待定系数法求解析式、函数图象交点坐标、相似三角形的判定与性质（AA）以及轴对称求两条线段和的最小值。
（1）将 A(m， -3) 代入直线 得 m = -2，即 A(-2， -3)，代入反比例函数得 k = 6，联立方程，解得另一交点 B(2， 3)；
（2）作点 B 关于 y 轴的对称点，过 B， C 作 x 轴的垂线，由 BC = 2CD 得，证得=，故 CF = 1，代入反比例函数得 C(6， 1)；连接C 交 y 轴于 G，则 GB + GC = G + GCC，最小值为。注意轴对称转化及相似三角形对应边比例的应用。
（1）解：∵直线过点，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
∵双曲线过点，
∴，
∴双曲线解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，
∴，
∵，
∴当与重合，即三点共线时的值最小为长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即纵坐标为，
∵在双曲线的图象上，
∴，
∴，
∴的最小值为．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）解：如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义即可求出答案.
（3）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据正弦定义可得，代入等式即可求出答案.
25．【答案】（1）解：将点、代入，
得：，
解得，
；
（2）解：如图1，交直线于，过点作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中线，
，
，
，
故当取最大值时，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
设直线解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
，
，
即，
当时，有最大值；
（3）或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】 【解答】（3）解：，
对称轴为，
将向左平移个单位后新抛物线，
、，的对称轴为直线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
则，
，
，
，
与重合，
当在下方时，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
，
点的坐标为或．
【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、解直角三角形、二次函数最值及平移后抛物线的分类讨论。
（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组得表达式。
（2）利用几何关系将PE+PF转化为PE的倍数，通过设点坐标、表达线段长，利用二次函数求最大值及对应点P坐标。
（3）先写出平移后抛物线解析式，分点G在ND上方和下方两种情况，结合角度条件列方程求解G点坐标。
（1）解：将点、代入，
得：，
解得，
；
（2）如图1，交直线于，过点作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中线，
，
，
，
故当取最大值时，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
设直线解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
，
，
即，
当时，有最大值；
（3），
对称轴为，
将向左平移个单位后新抛物线，
、，的对称轴为直线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
则，
，
，
，
与重合，
当在下方时，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
，
点的坐标为或．
1 / 1四川省泸州高级中学教育联合校2025年中考数学二诊试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：C．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的定义。根据无理数是无限不循环小数，判断各选项：A为分数、B为有限小数、D为整数，均为有理数；C为，是无理数。
2．年河南省国民经济和社会发展统计公报显示，平顶山市国民生产总值约为亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：C．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法。科学记数法是将一个大于 10 的数写成 a 的形式，其中 1 a < 10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。将 2694.16 亿先化为 269416000000（整数部分有 12 位），再将其小数点向左移动 11 位得 2.69416，故 n = 11，表示为 2.69416。注意“亿”为单位时的转换，1 亿 =。
3．在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图与俯视图都是正方形，符合题意；
B、主视图是两个拼在一起的矩形，俯视图是三角形，不符合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
D、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
4．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，知，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。由直尺两边平行得 a b，则 1 与3 是同位角，故 3 = 1 = 55。三角板中 60 角的顶点在直尺边上，结合直角三角板可得 4 = 90。又 2 与3 和4 构成平角或通过内错角关系可得2 = 3 +4 = 55 + 90 = 145。注意正确识别图中角度关系。
5．下列整式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】本题主要考查整式的运算法则：合并同类项（系数相加，字母及指数不变）、积的乘方（每个因式分别乘方）、同底数幂相乘（底数不变，指数相加）以及完全平方公式。A 项应为 3；B 项；C 项，正确；D 项。注意区分平方差公式与完全平方公式。
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、命题是真命题，故B符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。A 项应为“四条边相等”而非“三条边相等”；B 项正确；C 项缺少“互相垂直”的条件；D 项对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形。注意菱形与矩形、平行四边形的判定条件的区别。
7．函数y＝ 自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
x-1≥0且x-3≠0，
∴x≥1且x≠3.
故答案为：B.
【分析】
8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-2）约去分母，
得m+x-2=-x，
解得x=1-m，
∵原方程的解是非负数，
∴1-m≥0且1-m≠2，
解得m≤2且m≠-2.
故答案为：C.
【分析】将m作为常数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而根据原方程的解是非负数列出不等式组1-m≥0且1-m≠2，再求解即可.
9．如图，射线和射线分别与半径为的相切于点B和点C，点D为上一点且，则线段的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
∵
∴
∵射线和射线分别与半径为的相切于点B和点C，
∴，，
又∵
∴
∴
∴
∵的半径为
∴
∴
∴．
故选：A．
【分析】本题主要考查圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）、切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与切点的连线垂直于切线）、直角三角形全等的判定（HL）以及勾股定理。连接 OA， OB， OC，由 BDC = 60得 BOC = 2 60 = 120；由切线长定理得 AB = AC，OBAB，OC AC，结合 OA = OA 证，则AOC = BOC = 60，在 Rt△ AOC 中 OAC = 30，由 30 角所对直角边等于斜边一半得 AO = 2OC = 2，再由勾股定理得。注意切线长定理与圆周角定理的综合运用。
10．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（　　）
A．或0 B．2或0 C．2 D．0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴，
∵，
∴，
∴，
检验：均为该方程的解；
∵，
∴不成立，
∴，
故选：C．
【分析】本题以一元二次方程根的倒数和为条件，考查了根与系数的关系及判别式的应用。设两根为a、b，则。由 得，解得 m=0 或 m=2。经检验，当 m=0 时判别式小于0，舍去，故 m=2。
11．如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题以矩形中的折叠为背景，综合考查矩形的性质、全等三角形的判定（SAS）、折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰三角形的性质（三线合一）、平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义。连接 EB， EH， EC，由矩形得 AB = CD， A =D = 90，E 为 AD 中点得 AE = DE，证得 EB = EC；由折叠得 EB = EH，FHG = ABC = 90， EGH = A = 90，故 EGFH，且 EC = EH，结合 EG CH 得 G 为 CH 中点，由平行线分线段成比例得 FO = OC。设 BF = FH = 2x，则 CO = FO = 3x，在 Rt△ FHC 中，。注意折叠后对应点的重合关系及等腰三角形“三线合一”的运用。
12．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”．
下列结论：①直线上存在“方形点”；
②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：①把代入，得
解得：，
∴直线上存在“方形点”
故①正确；
②把代入抛物线，得
解得：，，
∴抛物线上的2个“方形点”为和，
∴这2个“方形点”之间的距离是，
故②正确；
③把代入抛物线，得
，
整理，得，
∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点”
∴，解得：，
∴抛物线，
∵当时，二次函数的最小值为，最大值为，
∴，解得：，
故③错误，
∴正确的有①②，共2个，
故选：B．
【分析】本题以“方形点”（横纵坐标互为相反数）的新定义为背景，考查了函数图象上点的坐标特征、两点间距离公式、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值问题。①将 (x，-x) 代入直线方程，解得存在“方形点”；②代入抛物线方程求得两个“方形点”坐标，由距离公式得 4；③由有且只有一个“方形点”得判别式为0，结合过点(2，-2)求解析式，再根据二次函数最值及给定区间确定m的范围，判断结论错误。故正确结论有2个。
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．因式分解：　 　.
【答案】（3m+n）（n-m）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（3m+n）（n-m）.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
14．如图，扇形中，，，C是弧的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，如图，
由题意得，
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题以扇形中的阴影面积计算为背景，考查了扇形面积公式、等边三角形的性质及等积转化。连接OC、BC，由C为弧AB中点得∠AOC=∠BOC=60°，则△BOC为等边三角形，得BC∥OA，从而S△BCD=S△BCO。阴影面积转化为扇形BOC的面积，代入公式得。
15．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为　 　．
【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
16．如图，已知正方形的边长是，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最大值与最小值的差为　 　．
【答案】30 - 10
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，在上截取，使，连接，，延长到，使，延长，交的延长线于，连接，
∵正方形，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴在线段上运动，
如图，连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
由勾股定理得，，
由题意知，，，
∴当重合时，最大，为，
∴的最大值与最小值的差为 30 - 10 ，
故答案为： 30 - 10 ．
【分析】本题以正方形中的动点等腰直角三角形为背景，综合考查正方形的性质、全等三角形的判定（SAS）、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、勾股定理、轴对称求最值以及动点轨迹的确定。通过构造全等得 AGE = ECF，进而推出 BGE = 45 =D'CF，结合几何关系证四边形 CDHD' 为正方形，得 F 在线段 CH 上运动；再证 得 DF = D'F，从而 AF + DF = AF + D'F，当 A， F， D' 三点共线时取最小值 AD' = 10；当 F 与 H 重合时取最大值 30，故最大值与最小值的差为 30 - 10。注意动点轨迹的确定及轴对称转化求线段和的最小值。
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及立方根的定义（= -2）、负整数指数幂（ = 2）、绝对值的化简（|1 -| =- 1，因为 1.414 > 1）以及零指数幂（= 1）。先分别计算各项，再合并：-2 + 2 + - 1) + 1 =。注意绝对值内数的正负判断及运算顺序。
18．如图，，，平分，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定（ASA）以及平行四边形的判定（一组对边平行且相等）。由 ABDF 得BAE = DFE，结合 AB 平分 CAE 得 CAB = BAE，故 CAB =DFE；已知 ACB =AED = 90，且 AC = FE，可证≌，得 AB = FD；再由 ABDF 且 AB = FD，判定四边形 ABDF 为平行四边形。注意全等三角形对应边和对应角的准确识别。
19．化简：．
【答案】解：

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算，涉及括号内的通分、因式分解以及除法转化为乘法后约分。先将括号内通分为，再将除式分解为，于是原式 = = x-2。注意运算顺序及分式有意义的条件（x 0， 2）。
20．我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整；
（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
（3）德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率．
【答案】（1），
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（2）解：人，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；
【分析】本题以“光盘行动”中的剩饭调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、用样本估计总体及用列表法或树状图求概率。
（1）用“没有剩”的人数除以对应百分比得总人数1000，再补全条形图。
（2）用样本中浪费食物可供40人用餐的比例，乘以全校3500人，得可供应140人。
（3）树状图列出12种等可能结果，选中甲、丙的有2种，概率为。
（1）解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（2）解：人，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．
21．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，然后根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出关于的分式方程，解方程即可；
（2）设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，然后根据库“航空模型数量不少于航海模型数量的”列出关于的不等式，解不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
22．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
【答案】解：过点E作于H，如图所示，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，需要用到矩形的性质与判定、正切值等相关知识。
首先过点E作于H，则四边形是矩形，利用矩形的对边相等得出，此时可以放到和，利用正切值计算出DF和HG的长，最后即可计算出FG的长度。
23．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）直接写出的值和点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值．
【答案】（1）；；
（2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，
∴，
∵，
∴当与重合，即三点共线时的值最小为长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即纵坐标为，
∵在双曲线的图象上，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵直线过点，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
∵双曲线过点，
∴，
∴双曲线解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
【分析】本题以反比例函数与一次函数交点为背景，综合考查待定系数法求解析式、函数图象交点坐标、相似三角形的判定与性质（AA）以及轴对称求两条线段和的最小值。
（1）将 A(m， -3) 代入直线 得 m = -2，即 A(-2， -3)，代入反比例函数得 k = 6，联立方程，解得另一交点 B(2， 3)；
（2）作点 B 关于 y 轴的对称点，过 B， C 作 x 轴的垂线，由 BC = 2CD 得，证得=，故 CF = 1，代入反比例函数得 C(6， 1)；连接C 交 y 轴于 G，则 GB + GC = G + GCC，最小值为。注意轴对称转化及相似三角形对应边比例的应用。
（1）解：∵直线过点，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
∵双曲线过点，
∴，
∴双曲线解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，
∴，
∵，
∴当与重合，即三点共线时的值最小为长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即纵坐标为，
∵在双曲线的图象上，
∴，
∴，
∴的最小值为．
24．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）解：如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义即可求出答案.
（3）连接，根据圆周角定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据正弦定义可得，代入等式即可求出答案.
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：将点、代入，
得：，
解得，
；
（2）解：如图1，交直线于，过点作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中线，
，
，
，
故当取最大值时，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
设直线解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
，
，
即，
当时，有最大值；
（3）或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】 【解答】（3）解：，
对称轴为，
将向左平移个单位后新抛物线，
、，的对称轴为直线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
则，
，
，
，
与重合，
当在下方时，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
，
点的坐标为或．
【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、解直角三角形、二次函数最值及平移后抛物线的分类讨论。
（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组得表达式。
（2）利用几何关系将PE+PF转化为PE的倍数，通过设点坐标、表达线段长，利用二次函数求最大值及对应点P坐标。
（3）先写出平移后抛物线解析式，分点G在ND上方和下方两种情况，结合角度条件列方程求解G点坐标。
（1）解：将点、代入，
得：，
解得，
；
（2）如图1，交直线于，过点作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中线，
，
，
，
故当取最大值时，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
设直线解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
，
，
即，
当时，有最大值；
（3），
对称轴为，
将向左平移个单位后新抛物线，
、，的对称轴为直线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
则，
，
，
，
与重合，
当在下方时，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
，
点的坐标为或．
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