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贵州凯里学院附属中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测 八年级 数学卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　）
A．太阳能热水器 B．伸缩门
C．自行车三脚架 D．三角形支架
3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．下列几组数，是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
6．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（　　）．
A． B． C． D．
12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
13．如图，在平行四边形中，O是对角线的交点，，且，，则的长是　 　．
14．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　 　．
15．若，，则代数式的值等于　 　．
16．如图，在中，，，P是内一点．若，，则　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
（1）求此时风筝离地面的高度；
（2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？
19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果）
20．如图，是的中点，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，连接，求的长．
21．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中点，，和互余，求的长度．
22．如图：在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F，求的面积．
23．如图，四边形中，，，F是中点，与的延长线交于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由
24．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：_______；
（2）若，求的值：
（3）计算：．
25．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形．
（1）如图1，求证：；
（2）特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时，
①求长；
②求平行四边形的周长；
（3）类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 是最简二次根式，故此选项正确；
故选D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性，
故答案为：B．
【分析】三角形具有稳定性，而四边形不具备稳定性，结合这一性质就可以得出对应结论。
3．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解不等式得．
故答案为：B．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意可得，解不等式可得．
4．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：、∵，
∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】想要判断一组数是不是直角三角形的三边长，只需要依据勾股数的定义，结合勾股定理的逆定理，验证两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，逐项进行判断即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：C
【分析】本题主要考查二次根式的加法、除法以及二次根式的化简，根据二次根式的加法法则可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法法则可判断选项C；根据二次根式的性质可判断选项D．
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；解含括号的一元一次方程；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
根据题意，得，
解得，
即边数为8．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查正多边形的内角和与外角和的综合运用，设该正多边形的边数为，根据正多边形内角和定理可得其内角和为，外角和是，再根据“正多边形的内角和比其外角和的度数大”列方程求解即可．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意；
B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意；
C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意；
D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即选项B符合题意．
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得∠DBC，再根据角之间的关系可得∠ABC，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴为直角三角形， 且，
∴
．
故答案为：B
【分析】连接，根据直角三角形判定定理可得为直角三角形，再根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形， 且，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在长方形中，，，，
∴，
∴，
∴点表示的实数是，即．
故答案为：B
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据数轴上两点间距离，结合点的位置即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，，，，
在中，，
∴，
同理可得，，，
∴图中所有正方形的面积之和为．
故答案为：C
【分析】根据正方形性质，结合勾股定理即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ，
又∵S△PBE=S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故答案为：C．
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ，即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】根据平行四边形性质，结合勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是矩形的对角线，
∴，
∵平分交于点．
∴
∴
∵
∴，
故答案为：
【分析】
先根据矩形的性质和角平分线求出，结合已知条件=10°，利用角的和差关系求出，最后根据平行线的性质进行解答即可．
15．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
即代数式的值等于．
故答案为：．
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，二次根式的运算，先计算，再整体代值计算即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点P作于点D，于点E，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∴．
故答案为：7.5
【分析】过点P作，垂足为点D，再作，垂足为点E。首先可以证明四边形是矩形，根据矩形的性质可以得到对边相等，即，。进一步设，由题中条件可得，整理推导后可以得到关系式。再利用三角形面积的和差关系：，代入整理后可以得到。最后结合勾股定理，，将前面得到的关系式代入该式，即可计算求出最终结果。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（1）根据零指数幂的意义和绝对值的意义和算术平方根的化简得到原式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式.
18．【答案】（1）解：由题意得，在中，，
∴，
∴此时风筝离地面的高度的长为米；
（2）解：在中，由勾股定理，
∴，
∴引线的长度应加长米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）第一步可以在中，借助勾股定理计算得到对应边长；
（2）第二步先在中，通过勾股定理算出的长度，就可以得到最终结果。
19．【答案】解：（1）AB=，BC=，AC=，△ABC的周长=，
（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
（3）2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（3）过B作BP⊥AC，如图：
∵△ABC的面积=AB BC＝AC BP，
即，
解得BP=2，
故答案为：2
【分析】（1）先借助勾股定理，分别计算出边AB、边BC和边AC的长度，将三条边的长度相加后，就能得到△ABC的周长。
（2）通过计算可得出 AC2=AB2+BC2，进而由勾股定理的逆定理，即可得出结论；
（3）过B作BP⊥AC，再根据三角形两种面积的求法，得出AB BC＝AC BP，进一步计算即可得出BP的值。
20．【答案】（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，是的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的长是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得AD，根据平行四边形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，是的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的长是．
21．【答案】（1）解：∵分别是的中点，
，
∵分别是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴；
（2）解：∵和互余，
，
，
∵为的中点，，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根三角形中位线定理可得，，则，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据余角定义可得，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得EF，再根据平行四边形性质即可求出答案.
（1）解：∵分别是的中点，
，
∵分别是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴；
（2）解：∵和互余，
，
，
∵为的中点，，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
．
22．【答案】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠得，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查翻折与变换，矩形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，由矩形的性质得，，，由折叠得，，再根据证明，得到，设，则，在中，由勾股定理列方程，求出，进而求解即可．
23．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
是中点，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确运用平行四边形的性质是解答本题的关键．（1）先根据，证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得，求得，，根据证明得，结合可得结论；
（2）先证明，然后根据等腰三角形的三线合一性质，证明，即可根据矩形的判定证明结论．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
是中点，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形．
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
24．【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，分母有理化以及二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题的关键．
（1）利用分母有理化，平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据题意得，即，再把变形为，最后整体代入计算即可求值；
（3）原式先进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：
．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴；
（2）解：①如图2中，连接，作于H，
∵矩形中，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴在矩形中，
∴，
在中，∵，
∴，
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴
∴四边形的周长；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：如图3中，连接，作于H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
【分析】本题考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的性质，勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键
（1）由矩形的性质和折叠的性质证明，则；
（2）①如图2中，连接，作于H，则四边形是矩形，利用等面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
②求平行四边形的周长，关键是求的值，问题的实质是证明“等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高”，方法是作辅助线构造“面积桥"模型，，用表示面积的代数式列出等式，即可求出的值；
（3）先求得，再对表示三个三角形面积之间关系的等式进行相应的调整，即，求得，转化为即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴；
（2）解：①如图2中，连接，作于H，
∵矩形中，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴在矩形中，
∴，
在中，∵，
∴，
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴
∴四边形的周长；
（3）解：如图3中，连接，作于H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
1 / 1贵州凯里学院附属中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测 八年级 数学卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 是最简二次根式，故此选项正确；
故选D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　）
A．太阳能热水器 B．伸缩门
C．自行车三脚架 D．三角形支架
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性，
故答案为：B．
【分析】三角形具有稳定性，而四边形不具备稳定性，结合这一性质就可以得出对应结论。
3．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解不等式得．
故答案为：B．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意可得，解不等式可得．
4．下列几组数，是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：、∵，
∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】想要判断一组数是不是直角三角形的三边长，只需要依据勾股数的定义，结合勾股定理的逆定理，验证两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，逐项进行判断即可得出答案。
5．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：C
【分析】本题主要考查二次根式的加法、除法以及二次根式的化简，根据二次根式的加法法则可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法法则可判断选项C；根据二次根式的性质可判断选项D．
6．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；解含括号的一元一次方程；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
根据题意，得，
解得，
即边数为8．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查正多边形的内角和与外角和的综合运用，设该正多边形的边数为，根据正多边形内角和定理可得其内角和为，外角和是，再根据“正多边形的内角和比其外角和的度数大”列方程求解即可．
7．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意；
B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意；
C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意；
D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即选项B符合题意．
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得∠DBC，再根据角之间的关系可得∠ABC，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴为直角三角形， 且，
∴
．
故答案为：B
【分析】连接，根据直角三角形判定定理可得为直角三角形，再根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形， 且，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
10．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在长方形中，，，，
∴，
∴，
∴点表示的实数是，即．
故答案为：B
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据数轴上两点间距离，结合点的位置即可求出答案.
11．如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，，，，
在中，，
∴，
同理可得，，，
∴图中所有正方形的面积之和为．
故答案为：C
【分析】根据正方形性质，结合勾股定理即可求出答案.
12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ，
又∵S△PBE=S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故答案为：C．
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ，即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
13．如图，在平行四边形中，O是对角线的交点，，且，，则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】根据平行四边形性质，结合勾股定理即可求出答案.
14．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是矩形的对角线，
∴，
∵平分交于点．
∴
∴
∵
∴，
故答案为：
【分析】
先根据矩形的性质和角平分线求出，结合已知条件=10°，利用角的和差关系求出，最后根据平行线的性质进行解答即可．
15．若，，则代数式的值等于　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
即代数式的值等于．
故答案为：．
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，二次根式的运算，先计算，再整体代值计算即可．
16．如图，在中，，，P是内一点．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点P作于点D，于点E，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∴．
故答案为：7.5
【分析】过点P作，垂足为点D，再作，垂足为点E。首先可以证明四边形是矩形，根据矩形的性质可以得到对边相等，即，。进一步设，由题中条件可得，整理推导后可以得到关系式。再利用三角形面积的和差关系：，代入整理后可以得到。最后结合勾股定理，，将前面得到的关系式代入该式，即可计算求出最终结果。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（1）根据零指数幂的意义和绝对值的意义和算术平方根的化简得到原式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式.
18．如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
（1）求此时风筝离地面的高度；
（2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？
【答案】（1）解：由题意得，在中，，
∴，
∴此时风筝离地面的高度的长为米；
（2）解：在中，由勾股定理，
∴，
∴引线的长度应加长米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）第一步可以在中，借助勾股定理计算得到对应边长；
（2）第二步先在中，通过勾股定理算出的长度，就可以得到最终结果。
19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果）
【答案】解：（1）AB=，BC=，AC=，△ABC的周长=，
（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
（3）2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（3）过B作BP⊥AC，如图：
∵△ABC的面积=AB BC＝AC BP，
即，
解得BP=2，
故答案为：2
【分析】（1）先借助勾股定理，分别计算出边AB、边BC和边AC的长度，将三条边的长度相加后，就能得到△ABC的周长。
（2）通过计算可得出 AC2=AB2+BC2，进而由勾股定理的逆定理，即可得出结论；
（3）过B作BP⊥AC，再根据三角形两种面积的求法，得出AB BC＝AC BP，进一步计算即可得出BP的值。
20．如图，是的中点，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，连接，求的长．
【答案】（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，是的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的长是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得AD，根据平行四边形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
∵是的中点，是的中点，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的长是．
21．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中点，，和互余，求的长度．
【答案】（1）解：∵分别是的中点，
，
∵分别是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴；
（2）解：∵和互余，
，
，
∵为的中点，，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根三角形中位线定理可得，，则，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据余角定义可得，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得EF，再根据平行四边形性质即可求出答案.
（1）解：∵分别是的中点，
，
∵分别是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴；
（2）解：∵和互余，
，
，
∵为的中点，，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
．
22．如图：在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F，求的面积．
【答案】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠得，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查翻折与变换，矩形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，由矩形的性质得，，，由折叠得，，再根据证明，得到，设，则，在中，由勾股定理列方程，求出，进而求解即可．
23．如图，四边形中，，，F是中点，与的延长线交于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
是中点，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确运用平行四边形的性质是解答本题的关键．（1）先根据，证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得，求得，，根据证明得，结合可得结论；
（2）先证明，然后根据等腰三角形的三线合一性质，证明，即可根据矩形的判定证明结论．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
是中点，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形．
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
24．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：_______；
（2）若，求的值：
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，分母有理化以及二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题的关键．
（1）利用分母有理化，平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据题意得，即，再把变形为，最后整体代入计算即可求值；
（3）原式先进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：
．
25．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形．
（1）如图1，求证：；
（2）特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时，
①求长；
②求平行四边形的周长；
（3）类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴；
（2）解：①如图2中，连接，作于H，
∵矩形中，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴在矩形中，
∴，
在中，∵，
∴，
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴
∴四边形的周长；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：如图3中，连接，作于H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
【分析】本题考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的性质，勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键
（1）由矩形的性质和折叠的性质证明，则；
（2）①如图2中，连接，作于H，则四边形是矩形，利用等面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
②求平行四边形的周长，关键是求的值，问题的实质是证明“等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高”，方法是作辅助线构造“面积桥"模型，，用表示面积的代数式列出等式，即可求出的值；
（3）先求得，再对表示三个三角形面积之间关系的等式进行相应的调整，即，求得，转化为即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴；
（2）解：①如图2中，连接，作于H，
∵矩形中，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴在矩形中，
∴，
在中，∵，
∴，
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴
∴四边形的周长；
（3）解：如图3中，连接，作于H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
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