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甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题
1．向量，则向量（　　）
A． B． C． D．
2．椭圆的离心率为，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
3．集合（为虚数单位），则（　　）
A． B．2 C． D．
4．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
5．函数的最小值为（　　）
A．-1 B． C．-3 D．-5
6．凸显地方特色 挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（　　）
A．14 B．20 C．24 D．120
7．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．函数，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．16
9．数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（　　）
A．
B．数列是公比为2的等比数列
C．
D．
10．函数，且，则以下结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上为增函数
C．当时，
D．函数为奇函数
11．正方形的顶点坐标分别为，曲线分别与交于点，则以下结论正确的是（　　）
A．
B．坐标原点到曲线上任意一点距离的最小值为2
C．曲线与直线有两个交点
D．曲线上存在点，使
12．某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数　 　.
13．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是　 　.
14．圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是　 　.
15．中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，为中点，，求.
16．2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据：
2 3 4 5 6
3.2 4.2 5.1 5.8 6.7
（1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本；
（2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称.
参考公式：
17．如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若共面，求平面和平面所成角的余弦值.
18．已知抛物线过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.
19．已知，其中，是自然对数的底.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求的取值集合；
（3）求证：
（i）对于；
（ii）对于，都有.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，则向量.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆方程，焦点在轴上，令，
其中，，离心率，则，
代入得，，，解得，又，故.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的焦点在x轴上，根据椭圆的离心率和之间的关系列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】交集及其运算；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，，
即集合，则 .
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得集合的元素，再根据集合的交集运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
则，解得，，
故．
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，利用等差数列的性质列式求得，进而得到，再利用等差数列求和公式求即可．
5．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解
，其中，则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】先利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质求最值即可.
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：吉祥物产品共分为3大类，其中“绿马”类包含2款，其余两类也各有2款，产品总共有款，从这6款产品中任选4款的总选法数为，
要求选出的4款中至少有1款属于“绿马”类，它的对立事件是选出的4款都不来自“绿马”类，也就是仅从另外两类共4款中选4款，这种情况的选法数为，
则至少选1款“绿马”类产品的方法数为.
故答案为：A.
【分析】本题是排列组合的计数问题，利用间接法（对立事件法）求解，先计算所有任选4款的总选法，再减去不选“绿马”类的选法，即可得到“至少选1款绿马”的选择方法数.
7．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线，
异面直线间公垂线段最短，当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长，由图可知正方体的棱长为，
则线段长度的最小值为.
故答案为：B.
【分析】将正四面体放于正方体中，根据异面直线间公垂线段最短，当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长，根据图求正方体的棱长即可得线段长度的最小值.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
又在单调递增，
，，
，即，
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式求得推出与的关系，结合函数的单调性得到与关系，最后利用基本不等式求的最小值即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的首项为，公比为，
因为，所以，
化简可得，解得或（舍去）
因为，所以，
即，所以，
A、，故A正确；
B、因为，
所以数列是公比为4的等比数列，故B错误；
C、，故C正确；
D、因为，
所以
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题意，求得等比数列得首项和公比，确定等比数列的通项公式，根据通项求解即可判断A；根据等比数列定义计算即可判断B；根据等比数列前项和公式计算即可判断C；根据对数运算，结合等差数列前项和公式计算即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：、若函数的最小正周期为，则由周期函数定义成立，
而，
化简得，故错误；
、当时，，
若在区间上为增函数，则由增函数的定义，任取时，都有成立.取，满足，
，，
因为，所以函数值随的增大而减小，故错误；
、当时，，
则，
由分组求和可得，故正确；
、因为，
函数为奇函数，所以，
则函数为奇函数，故正确.
故答案为：CD.
【分析】假设函数的最小正周期为，验证是否成立，即可判断A；根据增函数的定义，结合特殊值求解即可判断B；当时，利用分组求和求解即可判断C；根据奇函数定义即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知曲线的图象由双曲线（为其焦点）在第二象限及轴负半轴上的点，圆在第三象限内的点，双曲线为其焦点）在第四象限及轴负半轴上的点共同构成，其图象分布在双曲线的渐近线的左下区域，如图所示：
A、由题意，为双曲线左支（为其焦点）上一点，由双曲线的定义可知，而，因此，如图所示，曲线关于对称，由对称性可得，则，故A正确；
B、设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围，，
曲线在第三象限上任意一点及和到原点的距离为2，
根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，故B正确；
C、如图所示，直线与平行，且在其右上区域，所以曲线与直线没有交点，故C错误；
D、要满足，点必须在以为直径的圆上，
如图所示，此圆除原点外，其余点均在直线的右上方区域，与曲线无交点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，先求曲线的分布，并作出曲线的图形，利用双曲线的定义以及双曲线的对称性求解即可判断A；设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围、对称性求解即可判断B；数形结合，根据直线与平行，且在其右上区域，判断曲线与直线没有交点，即可判断C；要满足，点必须在以为直径的圆上，结合图象即可判断D.
12．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为，
设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，
由题意可知，
则，解得.
故答案为：.
【分析】设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，利用全概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对于，都有，所以在上单调递增，
函数是定义在上的偶函数，且，
由，可得，则，即或，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数在上单调递增，再根据函数为偶函数，将不等式等价转化为或，解对数不等式即可得实数a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设为中点，连接，作平面，连接，如图所示：
又平面，则，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以，所以垂足必在上，由题意可知，
则，
，由于为等腰三角形，
所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处，，
作，垂足为，
则，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为.
故答案为：.
【分析】设为中点，连接，作平面，连接，先利用线面垂直关系确定点在底面上的投影的位置，解三角形，求出的长度，再根据三角形重心的性质得到的长度，最后通过作垂线确定点的轨迹以为圆心，半径为的圆，求圆面积即可.
15．【答案】（1）解：由，可得，
即，
由正弦定理可得，解得，
因为，所以；
（2）解：因为为中点，所以，则，
则，即，解得或（舍），
由余弦定理可得，解得，
满足，则，，
故.
【知识点】向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）逆用两角和正弦公式以及正弦定理化简求角即可；（2）由为中点，可得，两边平方结合向量的数量积、余弦定理及诱导公式求解即可.
（1）因为，
所以，即，
由正弦定理可得：，所以，
由于，故.
（2）因为为中点，所以，则，
所以，即，解得或（舍），
由余弦定理知，，所以，
所以，则，所以，
所以.
16．【答案】（1）解：由条件可知：，
列出下表
0 1 2
0.1 0.8 1.7
3.6 0.8 0 0.8 3.4
4 1 0 1 4
将以上数据代入公式，可得，所以，
当时，（万元），
故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元；
（2）解：设表示3件产品中不合格产品的件数，则，，
，
，
又因为函数的定义域为，所以函数的图象关于点对称.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）先分别求平均值，再根据最小二乘法求回归直线方程，最后根据回归直线方程预测即可；
（2）设表示3件产品中不合格产品的件数，，根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明.
（1）由条件可知：，
列出下表
0 1 2
0.1 0.8 1.7
3.6 0.8 0 0.8 3.4
4 1 0 1 4
将以上数据代入公式，可得，
所以，
当时，（万元），
故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元.
（2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则，
故，
，
，
又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称.
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是矩形，是的中点，是的中点，
平面，平面，，
因为是的中点，，
平面，平面，平面；
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，
连接，，平面，平面，平面，
又，平面，平面，平面，
又平面，平面，且，∴平面平面，
共面，平面平面，平面平面，，同理，
所以四边形为平行四边形，，且为中点，
可得，则，
设平面的一个法向量为，则，取，
则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量为，，
则平面和平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，利用中位线的性质得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用四点共面的条件求出点坐标，再分别求两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式求二面角的余弦值即可.
（1）如图，连接，
是矩形，是的中点，
是的中点，
平面，平面，
，
因为是的中点，，
平面，平面，
平面.
（2）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则由已知，，，，
连接，，平面，平面，
平面，
又，平面，平面，
平面，
又平面，平面，且，
∴平面平面，
共面，
平面平面，平面平面，
，同理，
所以四边形为平行四边形，
，且为中点，
可得，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，
则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量为，
，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由于过点，则，即抛物线的方程为；
（2）解：由，得，
则过的切线的方程为，即，
设，可知，
，
则，
在切线上，，
在直线上，，
又，
，
由得
，
由可得：
同理，
故是定值.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，将点代入抛物线方程，求得参数p，即可得抛物线方程；
（2）化为，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，再由平行关系设直线方程，与抛物线联立得到根与系数的关系；结合长度条件进行代数代换与化简，最终证明比值为常数，完成定值判断.
（1）由于过点，则，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
所以过的切线的方程为，即，
设，可知，
，
则，
在切线上，，
在直线上，，
又，
，
由得
，
由可得：
同理，
所以是定值.
19．【答案】（1）解：当时，函数，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值，因此，；
（2）解：函数，，
令，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
，
令，则，
当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，
，
所以当时，恒成立，在上为增函数，
当时，存在使，函数不满足在上为增函数，
所以当时，在定义域内为增函数，所以的取值集合是；
（3）解：（i）由（2）可知，当时，为增函数，
当时，，即当时，，
故当时，，则有，化简可得；
（ii）令，
则由（i）可得，
即，
则，
，
，
，
将以上个式子左右分别相加，
可得：
，
即，
整理得，
即..
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性，求最小值即可；
（2）求导，令，再求导，利用导数判断函数的单调性，再构造函数，利用导数分析单调性求出最值即可；
（3）（i）由（2）的结论证明即可；（ii）令，代入（i）化简再累加求和即可.
（1）当时，，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值，因此，.
（2）可知，
令，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
，
令，则，
当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，
，
所以当时，恒成立，在上为增函数，
当时，存在使，函数不满足在上为增函数，
所以当时，在定义域内为增函数，所以的取值集合是
（3）（i）由（2）可知，当时，为增函数，
所以当时，，
即当时，，
故当时，，则有，
化简可得；
（ii）令，则由（i）可得
，
即，
则，
，
，
，
将以上个式子左右分别相加，
可得：
，
即，
整理得，
即..
1 / 1甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题
1．向量，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量，则向量.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算求解即可.
2．椭圆的离心率为，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆方程，焦点在轴上，令，
其中，，离心率，则，
代入得，，，解得，又，故.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的焦点在x轴上，根据椭圆的离心率和之间的关系列式求解即可.
3．集合（为虚数单位），则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，，
即集合，则 .
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得集合的元素，再根据集合的交集运算求解即可.
4．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
则，解得，，
故．
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，利用等差数列的性质列式求得，进而得到，再利用等差数列求和公式求即可．
5．函数的最小值为（　　）
A．-1 B． C．-3 D．-5
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解
，其中，则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】先利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质求最值即可.
6．凸显地方特色 挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（　　）
A．14 B．20 C．24 D．120
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：吉祥物产品共分为3大类，其中“绿马”类包含2款，其余两类也各有2款，产品总共有款，从这6款产品中任选4款的总选法数为，
要求选出的4款中至少有1款属于“绿马”类，它的对立事件是选出的4款都不来自“绿马”类，也就是仅从另外两类共4款中选4款，这种情况的选法数为，
则至少选1款“绿马”类产品的方法数为.
故答案为：A.
【分析】本题是排列组合的计数问题，利用间接法（对立事件法）求解，先计算所有任选4款的总选法，再减去不选“绿马”类的选法，即可得到“至少选1款绿马”的选择方法数.
7．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线，
异面直线间公垂线段最短，当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长，由图可知正方体的棱长为，
则线段长度的最小值为.
故答案为：B.
【分析】将正四面体放于正方体中，根据异面直线间公垂线段最短，当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长，根据图求正方体的棱长即可得线段长度的最小值.
8．函数，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
又在单调递增，
，，
，即，
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式求得推出与的关系，结合函数的单调性得到与关系，最后利用基本不等式求的最小值即可.
9．数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（　　）
A．
B．数列是公比为2的等比数列
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的首项为，公比为，
因为，所以，
化简可得，解得或（舍去）
因为，所以，
即，所以，
A、，故A正确；
B、因为，
所以数列是公比为4的等比数列，故B错误；
C、，故C正确；
D、因为，
所以
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题意，求得等比数列得首项和公比，确定等比数列的通项公式，根据通项求解即可判断A；根据等比数列定义计算即可判断B；根据等比数列前项和公式计算即可判断C；根据对数运算，结合等差数列前项和公式计算即可判断D.
10．函数，且，则以下结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上为增函数
C．当时，
D．函数为奇函数
【答案】C,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：、若函数的最小正周期为，则由周期函数定义成立，
而，
化简得，故错误；
、当时，，
若在区间上为增函数，则由增函数的定义，任取时，都有成立.取，满足，
，，
因为，所以函数值随的增大而减小，故错误；
、当时，，
则，
由分组求和可得，故正确；
、因为，
函数为奇函数，所以，
则函数为奇函数，故正确.
故答案为：CD.
【分析】假设函数的最小正周期为，验证是否成立，即可判断A；根据增函数的定义，结合特殊值求解即可判断B；当时，利用分组求和求解即可判断C；根据奇函数定义即可判断D.
11．正方形的顶点坐标分别为，曲线分别与交于点，则以下结论正确的是（　　）
A．
B．坐标原点到曲线上任意一点距离的最小值为2
C．曲线与直线有两个交点
D．曲线上存在点，使
【答案】A,B
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知曲线的图象由双曲线（为其焦点）在第二象限及轴负半轴上的点，圆在第三象限内的点，双曲线为其焦点）在第四象限及轴负半轴上的点共同构成，其图象分布在双曲线的渐近线的左下区域，如图所示：
A、由题意，为双曲线左支（为其焦点）上一点，由双曲线的定义可知，而，因此，如图所示，曲线关于对称，由对称性可得，则，故A正确；
B、设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围，，
曲线在第三象限上任意一点及和到原点的距离为2，
根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，故B正确；
C、如图所示，直线与平行，且在其右上区域，所以曲线与直线没有交点，故C错误；
D、要满足，点必须在以为直径的圆上，
如图所示，此圆除原点外，其余点均在直线的右上方区域，与曲线无交点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，先求曲线的分布，并作出曲线的图形，利用双曲线的定义以及双曲线的对称性求解即可判断A；设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围、对称性求解即可判断B；数形结合，根据直线与平行，且在其右上区域，判断曲线与直线没有交点，即可判断C；要满足，点必须在以为直径的圆上，结合图象即可判断D.
12．某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数　 　.
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为，
设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，
由题意可知，
则，解得.
故答案为：.
【分析】设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，利用全概率公式求解即可.
13．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对于，都有，所以在上单调递增，
函数是定义在上的偶函数，且，
由，可得，则，即或，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数在上单调递增，再根据函数为偶函数，将不等式等价转化为或，解对数不等式即可得实数a的取值范围.
14．圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设为中点，连接，作平面，连接，如图所示：
又平面，则，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以，所以垂足必在上，由题意可知，
则，
，由于为等腰三角形，
所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处，，
作，垂足为，
则，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为.
故答案为：.
【分析】设为中点，连接，作平面，连接，先利用线面垂直关系确定点在底面上的投影的位置，解三角形，求出的长度，再根据三角形重心的性质得到的长度，最后通过作垂线确定点的轨迹以为圆心，半径为的圆，求圆面积即可.
15．中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，为中点，，求.
【答案】（1）解：由，可得，
即，
由正弦定理可得，解得，
因为，所以；
（2）解：因为为中点，所以，则，
则，即，解得或（舍），
由余弦定理可得，解得，
满足，则，，
故.
【知识点】向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）逆用两角和正弦公式以及正弦定理化简求角即可；（2）由为中点，可得，两边平方结合向量的数量积、余弦定理及诱导公式求解即可.
（1）因为，
所以，即，
由正弦定理可得：，所以，
由于，故.
（2）因为为中点，所以，则，
所以，即，解得或（舍），
由余弦定理知，，所以，
所以，则，所以，
所以.
16．2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据：
2 3 4 5 6
3.2 4.2 5.1 5.8 6.7
（1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本；
（2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称.
参考公式：
【答案】（1）解：由条件可知：，
列出下表
0 1 2
0.1 0.8 1.7
3.6 0.8 0 0.8 3.4
4 1 0 1 4
将以上数据代入公式，可得，所以，
当时，（万元），
故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元；
（2）解：设表示3件产品中不合格产品的件数，则，，
，
，
又因为函数的定义域为，所以函数的图象关于点对称.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）先分别求平均值，再根据最小二乘法求回归直线方程，最后根据回归直线方程预测即可；
（2）设表示3件产品中不合格产品的件数，，根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明.
（1）由条件可知：，
列出下表
0 1 2
0.1 0.8 1.7
3.6 0.8 0 0.8 3.4
4 1 0 1 4
将以上数据代入公式，可得，
所以，
当时，（万元），
故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元.
（2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则，
故，
，
，
又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称.
17．如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若共面，求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是矩形，是的中点，是的中点，
平面，平面，，
因为是的中点，，
平面，平面，平面；
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，
连接，，平面，平面，平面，
又，平面，平面，平面，
又平面，平面，且，∴平面平面，
共面，平面平面，平面平面，，同理，
所以四边形为平行四边形，，且为中点，
可得，则，
设平面的一个法向量为，则，取，
则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量为，，
则平面和平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，利用中位线的性质得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用四点共面的条件求出点坐标，再分别求两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式求二面角的余弦值即可.
（1）如图，连接，
是矩形，是的中点，
是的中点，
平面，平面，
，
因为是的中点，，
平面，平面，
平面.
（2）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则由已知，，，，
连接，，平面，平面，
平面，
又，平面，平面，
平面，
又平面，平面，且，
∴平面平面，
共面，
平面平面，平面平面，
，同理，
所以四边形为平行四边形，
，且为中点，
可得，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，
则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量为，
，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
18．已知抛物线过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）解：由于过点，则，即抛物线的方程为；
（2）解：由，得，
则过的切线的方程为，即，
设，可知，
，
则，
在切线上，，
在直线上，，
又，
，
由得
，
由可得：
同理，
故是定值.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，将点代入抛物线方程，求得参数p，即可得抛物线方程；
（2）化为，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，再由平行关系设直线方程，与抛物线联立得到根与系数的关系；结合长度条件进行代数代换与化简，最终证明比值为常数，完成定值判断.
（1）由于过点，则，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
所以过的切线的方程为，即，
设，可知，
，
则，
在切线上，，
在直线上，，
又，
，
由得
，
由可得：
同理，
所以是定值.
19．已知，其中，是自然对数的底.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求的取值集合；
（3）求证：
（i）对于；
（ii）对于，都有.
【答案】（1）解：当时，函数，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值，因此，；
（2）解：函数，，
令，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
，
令，则，
当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，
，
所以当时，恒成立，在上为增函数，
当时，存在使，函数不满足在上为增函数，
所以当时，在定义域内为增函数，所以的取值集合是；
（3）解：（i）由（2）可知，当时，为增函数，
当时，，即当时，，
故当时，，则有，化简可得；
（ii）令，
则由（i）可得，
即，
则，
，
，
，
将以上个式子左右分别相加，
可得：
，
即，
整理得，
即..
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性，求最小值即可；
（2）求导，令，再求导，利用导数判断函数的单调性，再构造函数，利用导数分析单调性求出最值即可；
（3）（i）由（2）的结论证明即可；（ii）令，代入（i）化简再累加求和即可.
（1）当时，，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值，因此，.
（2）可知，
令，则，
当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，
，
令，则，
当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，
，
所以当时，恒成立，在上为增函数，
当时，存在使，函数不满足在上为增函数，
所以当时，在定义域内为增函数，所以的取值集合是
（3）（i）由（2）可知，当时，为增函数，
所以当时，，
即当时，，
故当时，，则有，
化简可得；
（ii）令，则由（i）可得
，
即，
则，
，
，
，
将以上个式子左右分别相加，
可得：
，
即，
整理得，
即..
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