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广东深圳市高级中2025-2026学年第二学期期中测试八年级数学
一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故Ａ错误.
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C．是轴对称图形又是中心对称图形，故Ｃ正确.
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项判断即可得答案.
2．若，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A错误.
∵，
∴，故B正确.
∵，
∴，故C错误.
∵，
∴，
∴，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据，结合不等式的基本性质得，，，即可得答案.
3．已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：如图所示，可知，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】首先根据天平先求出物体M的质量x的取值范围，再根据解集在数轴上的表示方法，即可将这个范围在数轴上表示出来。
4．如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据平移的性质得：.
的周长为，
∴，
Ｃ四边形AB'C'C＝.
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质得等于2cm，相等，再根据的周长为即可得的和等于的和，等于，进一步得四边形AB'C'C 等于之和等于，即可得出答案．
5．王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售，
∴.
故答案为：C.
【分析】设该卫衣打折销售，根据题目情境列出不等式即可得答案.
6．下列说法正确的是（　　）
A．若的三个内角满足：，则为直角三角形
B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
C．“对顶角相等”的逆命题是假命题
D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角”
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、设，则：，，
∴解得，
∴不是直角三角形，故A错误.
B、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，故B错误．
C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角相等但不是对顶角，故该逆命题是假命题，即C正确．
D、用反证法证明命题时，需先假设结论的否定成立，“至多有一个内角是直角”的否定是“至少有两个内角是直角”，因此应先假设“至少有两个内角是直角”，故D错误．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据三角形内角和定理，结合即可得不是直角三角形，再根据只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，在根据相等的角不一定是对顶角，根据反证法即可得答案.
7．在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A．∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴，故A正确．
B．根据垂直平分线可得：，
∴，即，
同理可知，故B正确．
C．根据作图得：，
同理可证，故C正确．
D．无法证明，故Ｄ错误.
故答案为：D．
【分析】根据等于90度，等于30度，即可得等于60度，根据角平分线定义得等于30度，进一步得相等，即可判断Ａ正确，根据
垂直平分线性质得相等，即可得等于30度，同理可知即可判断Ｂ正确，根据作图得：等于30度，同理可证，可判断Ｃ错误，根据作图无法证明，故Ｄ错误.
8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，首先得出平分，进而根据角平分线得性质可得出，然后根据两个正方形的面积的比，即可得出，再根据三角形的面积计算公式，即可得出 的值。
二、填空题（5小题，每题3分，共15分）
9．一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是　 　边形．
【答案】十二
【知识点】正多边形的概念；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，
∴该多边形为正多边形，
设该多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为，则：，解得：．
∵多边形的外角和为，
∴该多边形的边数为：．
故答案为：十二.
【分析】根据一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，可证明该多边形为正多边形，设出一个外角度数，根据题目情境列方程，解出即可得多边形边数.
10．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
将绕点A顺时针旋转得到，
，，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质可得等于20度，相等，再根据等腰三角形的性质即可解答.
11．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为．
【分析】结合函数图象，找出函数值不超过3的时候，对应自变量的取值范围，就能得到最终结果．
12．有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为边的中点，点O为三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案　 　．
【答案】方案4
【知识点】最简二次根式；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为，
方案1：
，
方案2：
∵点D为边的中点，为等边三角形，
∴，，
∴，
，
方案3：
，
方案4：
∵为等边三角形，点O为三边垂直平分线的交点，延长交于点，
∴，，，
∴，，，
∴
∴，
∴
，
∵
∴方案4中天然气管道总长最短．
故答案为：方案4.
【分析】设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为，根据题目条件分别求出方案1、2、3、4天然气管道总长，再比较大小即可得答案.
13．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
过作于，于，延长交于，
，，，
，
的面积，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
的面积．
故答案为：.
【分析】过作于，于，延长交于，根据勾股定理得，再根据等积变换得，即可得，再根据勾股定理得，根据旋转的性质得全等，即可推出相等，相等，等于90度，相等，再根据等腰三角形的性质推出相等，相等，根据等腰三角形的性质求得，由三角形的面积公式求出，即可得面积.
14．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照不等式的基本性质，对这个不等式逐步变形，就能计算出它的解集，之后再把解集在数轴上表示出来即可。
15．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题．
（1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出；
（2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度．
【答案】（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：
则即为所求．
（2），
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：
此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转，
故答案为：，．
【分析】（1）根据点平移的坐标变化规律：向上平移横坐标不变，纵坐标增加，向右平移纵坐标不变，横坐标增加，结合已知点，，，计算得到向上平移2个单位长度、再向右平移5个单位长度后，对应点的坐标为，，，最后在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可得到平移后的三角形；
（2）根据旋转变换的性质，旋转中心一定是图形两组对应点连线垂直平分线的交点，可以先求出对应点连线的垂直平分线，确定旋转中心的位置，再依次将原图形的顶点绕旋转中心旋转指定角度，得到对应顶点后顺次连接，即可画出旋转后的图形。
（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：
此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转，
故答案为：，．
16．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为．
你能用小明的方法解决下列问题吗？
已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______．
【答案】（1）解：仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：，化简整理得：
∵，
∴，
∴.
∴a的取值范围为.
（2）
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）根据，得，
∵不等式的解集为，
∴，解得．
∴结合（1）中的范围，得 ，其中整数为．
故答案为：.
【分析】（1）把方程组的两个方程相加，化简整理得，根据即可得
，解出即可得的取值范围．
（2）把整理得，根据不等式的解集为，得，解得
，结合（1）中的取值范围，即可得答案.
（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：，
得，进而，
已知，
代入得：，
不等式三边同时减1，得；
（2）整理不等式，即，
因为不等式的解集为，
不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得．
结合（1）中的范围，得 ，其中整数为．
17．某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍
①共有多少种购买方案？
②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，根据题意得：，
∴y与x的函数关系式为.
（2）解：①根据题意可得，解得，
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴共有种情况，即共有66种购买方案.
②，
随的增大而减小，
当时，取最大值，，
（台），
∴购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，根据题目情景求出y与x的函数关系式即可得答案.
（2）①根据题意列不等式，求得的取值范围为，再根据x为正整数，即可得共有66种购买方案.
②根据(1)得y与x的函数关系式为，根据一次函数的增减性，可得购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，
根据题意；
（2）①解：根据题意可得，
解得，
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴共有种情况，
即共有66种购买方案；
②解：，
随的增大而减小，
当时，取最大值，，
（台），
答：购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
18．如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点．
（1）尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）解： 根据题意作图如下：
（2）解：如图所示，
过点作于点，
等腰三角形中，， 沿射线折叠，
使点恰好落在的延长线上的点处，
，，
，
，
．
，
由勾股定理得
．
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的平分线， 交于点，延长，截取，点、 射线即为所求．
（2）根据等腰性质算出等于75度，再根据折叠性质得等于30度，进而推出等于45度，即可得为等腰直角三角形，再过作垂直于，在中，根据勾股定理求出、、等于，在中，根据角的正切求出，最后由得到结果．
（1）解： 作的平分线， 交于点，延长，截取，点、 射线即为所求．
（2）过点作于点， 如图所示．
等腰三角形中，， 沿射线折叠，
使点恰好落在的延长线上的点处，
，，
，
，
．
，
由勾股定理得
．
在中，，
．
19．阅读材料：
在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．
如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分．
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；
（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______．
【答案】（1）
（2）解：设直线解析式为，
把代入得：，解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
将代入得：，解得，
直线解析式为，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：设经过，的直线为，
，解得，
经过，的直线为，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域.
故答案为：.
（3）解：如图，
作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，则可得：，
题中需要，
满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，在中，
设，则，
根据勾股定理可得，解得（负数舍去），
．
，
，，
设，则，
，
，解得，
．
∴所有点P组成的平面区域的面积为．
故答案为：.
【分析】
（1）设经过，的直线为，即可列方程解得，观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域.
（2）设直线解析式为，把代入解析式，解出得，即可得直线解析式，再将代入解得，即可得直线解析式，观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组.
（3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，则可得相等，根据题中需要，满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，在中，等于30度，设，则，根据勾股定理列方程解得，满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案．
（1）解：设经过，的直线为，
，
解得，
经过，的直线为，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域；
（2）解：设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
将代入得：，
解得，
直线解析式为，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为；
（3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，
则可得，
题中需要，
满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，
在中，，
设，则，
根据勾股定理可得，
解得（负数舍去），
．
，
，，
设，则，
，
，
解得，
．
即所有点P组成的平面区域的面积为．
三、教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题
20．已知为等边三角形，其边长为4．点是边上一动点，连接．
（1）如图1，点在边上且，连接交于点．
①求证：；
②求的度数；
变式提升：
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
拓展应用：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，．在点P运动过程中，当的周长为时，求的长．
【答案】解：（1）①证明：如图1，
是等边三角形，
，，
，
，
.
②解：如图1，
由①知，，
，
，
.
（2）解：如图，
在上截取，连接，，
同（1）①的方法知，，由旋转知，，，
，
由（1）②知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
等边的边长为4，
，
，
，即.
（3）解：如图，
延长至，使，连接．
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为，
，
，
过点作，则：
，，
，根据勾股定理得，，
，解得或3，
当时，，，
过点作于点，则，，
，
．
当时，，，
，，，
．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据是等边三角形，得相等，等于60度，再根据
相等，根据证明全等，根据全等性质得相等.
②根据全等三角形的性质，结合全等得相等，即可得等于60度，进一步得.
（2）在上截取，连接，，同（1）①的方法知，相等，根据旋转知，，相等，即可得相等根据由（1）②得相等，即可得，进一步可证明四边形是平行四边形，即可得相等，根据等边的边长为4，得，，进一步得即可.
（3）延长至，使等于4，连接，根据条件可证明全等，推出等于，相等，等于60度，根据的周长为，推出的和等于的和等于的和，等于，推出等于，过点作，则相等，，推出，根据勾股定理得，，构建方程求出，即可解决问题．
1 / 1广东深圳市高级中2025-2026学年第二学期期中测试八年级数学
一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．若的三个内角满足：，则为直角三角形
B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
C．“对顶角相等”的逆命题是假命题
D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角”
7．在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（5小题，每题3分，共15分）
9．一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是　 　边形．
10．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，则的度数为　 　．
11．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为　 　．
12．有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为边的中点，点O为三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案　 　．
13．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是　 　．
14．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
15．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题．
（1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出；
（2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度．
16．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为．
你能用小明的方法解决下列问题吗？
已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______．
17．某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍
①共有多少种购买方案？
②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
18．如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点．
（1）尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长．
19．阅读材料：
在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．
如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分．
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；
（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______．
三、教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题
20．已知为等边三角形，其边长为4．点是边上一动点，连接．
（1）如图1，点在边上且，连接交于点．
①求证：；
②求的度数；
变式提升：
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
拓展应用：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，．在点P运动过程中，当的周长为时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故Ａ错误.
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C．是轴对称图形又是中心对称图形，故Ｃ正确.
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项判断即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A错误.
∵，
∴，故B正确.
∵，
∴，故C错误.
∵，
∴，
∴，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据，结合不等式的基本性质得，，，即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：如图所示，可知，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】首先根据天平先求出物体M的质量x的取值范围，再根据解集在数轴上的表示方法，即可将这个范围在数轴上表示出来。
4．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据平移的性质得：.
的周长为，
∴，
Ｃ四边形AB'C'C＝.
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质得等于2cm，相等，再根据的周长为即可得的和等于的和，等于，进一步得四边形AB'C'C 等于之和等于，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售，
∴.
故答案为：C.
【分析】设该卫衣打折销售，根据题目情境列出不等式即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、设，则：，，
∴解得，
∴不是直角三角形，故A错误.
B、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，故B错误．
C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角相等但不是对顶角，故该逆命题是假命题，即C正确．
D、用反证法证明命题时，需先假设结论的否定成立，“至多有一个内角是直角”的否定是“至少有两个内角是直角”，因此应先假设“至少有两个内角是直角”，故D错误．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据三角形内角和定理，结合即可得不是直角三角形，再根据只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，在根据相等的角不一定是对顶角，根据反证法即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A．∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴，故A正确．
B．根据垂直平分线可得：，
∴，即，
同理可知，故B正确．
C．根据作图得：，
同理可证，故C正确．
D．无法证明，故Ｄ错误.
故答案为：D．
【分析】根据等于90度，等于30度，即可得等于60度，根据角平分线定义得等于30度，进一步得相等，即可判断Ａ正确，根据
垂直平分线性质得相等，即可得等于30度，同理可知即可判断Ｂ正确，根据作图得：等于30度，同理可证，可判断Ｃ错误，根据作图无法证明，故Ｄ错误.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，首先得出平分，进而根据角平分线得性质可得出，然后根据两个正方形的面积的比，即可得出，再根据三角形的面积计算公式，即可得出 的值。
9．【答案】十二
【知识点】正多边形的概念；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，
∴该多边形为正多边形，
设该多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为，则：，解得：．
∵多边形的外角和为，
∴该多边形的边数为：．
故答案为：十二.
【分析】根据一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，可证明该多边形为正多边形，设出一个外角度数，根据题目情境列方程，解出即可得多边形边数.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
将绕点A顺时针旋转得到，
，，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质可得等于20度，相等，再根据等腰三角形的性质即可解答.
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为．
【分析】结合函数图象，找出函数值不超过3的时候，对应自变量的取值范围，就能得到最终结果．
12．【答案】方案4
【知识点】最简二次根式；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为，
方案1：
，
方案2：
∵点D为边的中点，为等边三角形，
∴，，
∴，
，
方案3：
，
方案4：
∵为等边三角形，点O为三边垂直平分线的交点，延长交于点，
∴，，，
∴，，，
∴
∴，
∴
，
∵
∴方案4中天然气管道总长最短．
故答案为：方案4.
【分析】设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为，根据题目条件分别求出方案1、2、3、4天然气管道总长，再比较大小即可得答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
过作于，于，延长交于，
，，，
，
的面积，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
的面积．
故答案为：.
【分析】过作于，于，延长交于，根据勾股定理得，再根据等积变换得，即可得，再根据勾股定理得，根据旋转的性质得全等，即可推出相等，相等，等于90度，相等，再根据等腰三角形的性质推出相等，相等，根据等腰三角形的性质求得，由三角形的面积公式求出，即可得面积.
14．【答案】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照不等式的基本性质，对这个不等式逐步变形，就能计算出它的解集，之后再把解集在数轴上表示出来即可。
15．【答案】（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：
则即为所求．
（2），
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：
此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转，
故答案为：，．
【分析】（1）根据点平移的坐标变化规律：向上平移横坐标不变，纵坐标增加，向右平移纵坐标不变，横坐标增加，结合已知点，，，计算得到向上平移2个单位长度、再向右平移5个单位长度后，对应点的坐标为，，，最后在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可得到平移后的三角形；
（2）根据旋转变换的性质，旋转中心一定是图形两组对应点连线垂直平分线的交点，可以先求出对应点连线的垂直平分线，确定旋转中心的位置，再依次将原图形的顶点绕旋转中心旋转指定角度，得到对应顶点后顺次连接，即可画出旋转后的图形。
（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：
此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转，
故答案为：，．
16．【答案】（1）解：仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：，化简整理得：
∵，
∴，
∴.
∴a的取值范围为.
（2）
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）根据，得，
∵不等式的解集为，
∴，解得．
∴结合（1）中的范围，得 ，其中整数为．
故答案为：.
【分析】（1）把方程组的两个方程相加，化简整理得，根据即可得
，解出即可得的取值范围．
（2）把整理得，根据不等式的解集为，得，解得
，结合（1）中的取值范围，即可得答案.
（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：，
得，进而，
已知，
代入得：，
不等式三边同时减1，得；
（2）整理不等式，即，
因为不等式的解集为，
不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得．
结合（1）中的范围，得 ，其中整数为．
17．【答案】（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，根据题意得：，
∴y与x的函数关系式为.
（2）解：①根据题意可得，解得，
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴共有种情况，即共有66种购买方案.
②，
随的增大而减小，
当时，取最大值，，
（台），
∴购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，根据题目情景求出y与x的函数关系式即可得答案.
（2）①根据题意列不等式，求得的取值范围为，再根据x为正整数，即可得共有66种购买方案.
②根据(1)得y与x的函数关系式为，根据一次函数的增减性，可得购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，
根据题意；
（2）①解：根据题意可得，
解得，
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴共有种情况，
即共有66种购买方案；
②解：，
随的增大而减小，
当时，取最大值，，
（台），
答：购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元．
18．【答案】（1）解： 根据题意作图如下：
（2）解：如图所示，
过点作于点，
等腰三角形中，， 沿射线折叠，
使点恰好落在的延长线上的点处，
，，
，
，
．
，
由勾股定理得
．
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的平分线， 交于点，延长，截取，点、 射线即为所求．
（2）根据等腰性质算出等于75度，再根据折叠性质得等于30度，进而推出等于45度，即可得为等腰直角三角形，再过作垂直于，在中，根据勾股定理求出、、等于，在中，根据角的正切求出，最后由得到结果．
（1）解： 作的平分线， 交于点，延长，截取，点、 射线即为所求．
（2）过点作于点， 如图所示．
等腰三角形中，， 沿射线折叠，
使点恰好落在的延长线上的点处，
，，
，
，
．
，
由勾股定理得
．
在中，，
．
19．【答案】（1）
（2）解：设直线解析式为，
把代入得：，解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
将代入得：，解得，
直线解析式为，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：设经过，的直线为，
，解得，
经过，的直线为，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域.
故答案为：.
（3）解：如图，
作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，则可得：，
题中需要，
满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，在中，
设，则，
根据勾股定理可得，解得（负数舍去），
．
，
，，
设，则，
，
，解得，
．
∴所有点P组成的平面区域的面积为．
故答案为：.
【分析】
（1）设经过，的直线为，即可列方程解得，观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域.
（2）设直线解析式为，把代入解析式，解出得，即可得直线解析式，再将代入解得，即可得直线解析式，观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组.
（3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，则可得相等，根据题中需要，满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，在中，等于30度，设，则，根据勾股定理列方程解得，满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案．
（1）解：设经过，的直线为，
，
解得，
经过，的直线为，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域；
（2）解：设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
将代入得：，
解得，
直线解析式为，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为；
（3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点，
则可得，
题中需要，
满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分，
在中，，
设，则，
根据勾股定理可得，
解得（负数舍去），
．
，
，，
设，则，
，
，
解得，
．
即所有点P组成的平面区域的面积为．
20．【答案】解：（1）①证明：如图1，
是等边三角形，
，，
，
，
.
②解：如图1，
由①知，，
，
，
.
（2）解：如图，
在上截取，连接，，
同（1）①的方法知，，由旋转知，，，
，
由（1）②知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
等边的边长为4，
，
，
，即.
（3）解：如图，
延长至，使，连接．
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为，
，
，
过点作，则：
，，
，根据勾股定理得，，
，解得或3，
当时，，，
过点作于点，则，，
，
．
当时，，，
，，，
．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据是等边三角形，得相等，等于60度，再根据
相等，根据证明全等，根据全等性质得相等.
②根据全等三角形的性质，结合全等得相等，即可得等于60度，进一步得.
（2）在上截取，连接，，同（1）①的方法知，相等，根据旋转知，，相等，即可得相等根据由（1）②得相等，即可得，进一步可证明四边形是平行四边形，即可得相等，根据等边的边长为4，得，，进一步得即可.
（3）延长至，使等于4，连接，根据条件可证明全等，推出等于，相等，等于60度，根据的周长为，推出的和等于的和等于的和，等于，推出等于，过点作，则相等，，推出，根据勾股定理得，，构建方程求出，即可解决问题．
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