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广东省中山市华侨中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。因此，
∵，∴属于最简二次根式。故选B。
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．2 C．1 D．10
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．=，所以B选项不符合题意；
C．=，所以C选项不符合题意；
D．=2×5=10，所以D项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的乘法分别计算，再判断即可.
3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算α=(　　)
A．56° B．68° C．28° D．34°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】由尺规作图痕迹可知：平分，直线，即；
，；
由平行线内错角相等，得；
平分，；
中，；
与为对顶角，
。
故答案为：A
【分析】本题融合尺规作图识别、平行线性质、直角三角形内角关系三类知识点，先从作图痕迹提炼角平分线、垂线两个关键条件，借助双直角推出平行线，利用内错角换算角度，结合角平分线均分角算出，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等完成求解。
4．已知△ABC的周长为16，点D， E， F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A．8 B． C．16 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由三角形中位线定理，三边中点连线为对应边的中位线：
；
；
已知，代入得
故答案为：A
【分析】本题考查三角形中位线定理在周长计算中的应用，明确三边中点连线全部是原三角形中位线后，利用中位线长度等于底边一半的结论，提取公因式，整体代入原三角形周长数值简化运算。
5．平面直角坐标系中，点P (-3，4)到原点O的距离是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：平面两点间距离公式：，原点坐标；
将代入公式：
。
故答案为：C
【分析】本题依托勾股定理衍生的平面两点距离公式解题，把原点与动点坐标代入公式，分别计算横、纵坐标差值的平方和，对和开算术平方根得到两点线段长度。
6．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故选B；
【分析】由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理求得，再根据H为BC中点，可得即可求解．
7．如图所示，正方形 ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是(　　)
A．4π B．8π C．12π D．16π
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵正方形面积等于边长的平方，
；
为直角三角形，由勾股定理：，；
半圆半径，半圆面积：
∴半圆面积为
故答案为：B
【分析】本题结合正方形面积公式、勾股定理、半圆面积公式综合计算，利用面积等价边长平方得到直角边平方值，通过勾股得到直径平方，直接整体代入半圆面积表达式化简，减少开方步骤。
8．若△ABC的三边a、b、c满足 则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：平方数、绝对值均属于非负数，两个非负数相加等于时两项各自为：
，化简得；
说明三角形两边相等，满足勾股逆定理，三角形为直角三角形。
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：C
【分析】本题依托非负数的取值特性、勾股逆定理判定三角形形状，由非负数和为零拆分二元方程组，一式判定等腰，一式判定直角，两个条件同时成立确定三角形类型。
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∵四边形ABCD是正方形
∴
∴∠EFD=∠BEF=60°
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-60°×2=180°-120°=60°
∵∠A=90°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=90°-60°=30°
∴在△AEB'中，B'E=2AE
设BE=a，B'E=a，则AE=3-a
∴a=2（3-a）
解得a=2
∴BE=2
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，∠BEF=∠FEB'=60°，然后通过以上条件计算出∠AB'E=30°，B'E=2AE，最后根据B'E和AE的长度关系求出BE的长.
10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．12 D．25
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，如图所示：
则∠BEC=∠CFA=90°，BE=3，AF=3+1=4，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ECB+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴CE=AF=4，
∴BC==5，
∴AC=BC=5，
∴S△ABC=AC BC=×5×5=．
故选B．
【分析】作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，根据等腰直角三角形性质可得∠ACB=90°，AC=BC，再根据角之间的关系可得∠EBC=∠FCA，根据全等三角形判定定理可得△BEC≌△CFA（AAS），则CE=AF=4，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
11．化简的结果是　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】根据二次根式性质化简即可求出答案.
12．使得代数式 有意义的 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】代数式 有意义的条件是：
解得：
故答案为：
【分析】分母中含有根号，因此要使此代数式有意义，则x-3＞0，解不等式即可。
13．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是　 　cm．
【答案】24
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，，
∴．
由菱形知，，，
∴．
∴
故答案为：24．
【分析】先根据菱形数量与 B、D 间的总距离，求出单个菱形水平对角线的一半长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形竖直对角线的一半；最后计算出 A、C 间的总距离。
14．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　 　．
【答案】17
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图：
∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC＝．
故答案为：17.
【分析】根据正方形面积，结合算术平方根可得AB＝BD＝8，DC＝7，再根据勾股定理即可求出答案.
15．如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，连接，，
顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，
四边形是矩形，
，，
同理，，，
，
，
顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，
，，
，
依此可得，
故答案为：．
【分析】本题探究中点四边形的面积变化规律，从第一次操作入手确定面积减半规律，每轮操作面积除以，结合指数变化归纳出次后的面积通项公式。
16．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上
∴A、E、C三点共线，，，
在中，
由勾股定理得：
∵AC＞0
∴
在中，
由勾股定理得：
∵EC＞0
∴
∴
又∵P是AE的中点，M是EC的中点
∴
又∵
在中，由勾股定理得：
即：=
∵
∴
故答案为：
【分析】连接AC，连接FG与AC交于点M，根据正方形性质可得A、E、C三点共线，，，，根据勾股定理可得AC，EC，再根据边之间的关系可得AE，根据边之间的关系可得PM，再根据勾股定理即可求出答案.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）本小问考查二次根式化简与同类根式合并，先把、化为最简根式，分母有理化后变成，合并同类二次根式相关项，保留无法化简的；
（2）本小问考查根式乘除混合运算，先全部化简为最简根式，再利用根式乘除法则合并被开方数，约分消去公共根式后完成有理数除法。
18．如图，在四边形ABCD中， ∠B=90°， AB=BC=2， AD=1， CD=3.
（1）求∠DAB的度数.
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：连结AC，
∵AD=1， CD=3，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°；
（2）解：在 Rt△ABC中，
在Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问结合等腰直角三角形性质与勾股逆定理求角，连接辅助线，在中由两腰相等判定等腰直角三角形，算出长度与，代入三边数值验证满足勾股逆定理，得到，两角相加得到；
（2）本小问采用分割法求不规则图形面积，连线把四边形拆成两个直角三角形，分别套用直角三角形面积公式计算两部分面积，求和得到四边形总面积。
19．在4×6的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点N是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).
（1）在图1中作出所有长为5的线段AB，且点B是格点；
（2）在图2中先作一条线段AC，使 再作一条线段CD，使得
（3）在图3中作一条线段AE，使
【答案】（1）解：由网格特点或勾股定理取格点，如图1，格点和线段或点和线段即为所求作；
（2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作；
（3）解：如图3，线段即为所求作．
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）本小问依托勾股数网格作图，对应横向格纵向格的斜边，按横纵格数筛选格点连线；
（2）本小问拆分根式对应直角边格数，、，根据横、竖格数定点连线；
（3）本小问结合中点平分线段，先画出的完整格点线段，利用网格交点平分线段截取一半长度。
20．如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD， BC分别相交于点M， N，连接BM，DN.
（1）求证：四边形 BNDM是菱形；
（2）若∠C=90°， BC=16， CD=8，求四边形 BNDM的周长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线 BD的垂直平分线，
∴OB=OD， MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB (AAS)，
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形 BNDM是菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，
四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本小问结合平行线内错角、全等三角形、菱形判定定理，由得一组内错角相等，结合中垂线，AAS证，对角线互相平分先证平行四边形，再加对角线垂直证菱形；
（2）本小问利用菱形边长相等设未知数，设边长，，中勾股列方程求边长，四倍边长得到周长。
21．先阅读材料，再解答问题.
已知a，b都是有理数，且满足 求b2的值.
解：由题意得
∵a，b都是有理数， ∴a-3， b+2也是有理数.
又∵是无理数， ∴a-3=0， b+2=0.
∴a=3， b=-2.∴b = (-2) 3=-8.
问题：已知x，y都是有理数，且满足 求x+y的值.
【答案】解：，
．
，都是有理数，
，也是有理数．
又是无理数，
，
，
解得，．
当， 时，
；
当， 时，
．
综上，的值是8或0
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题采用有理数无理数拆分对应相等的解题思路，参照例题移项整理等式，拆成纯有理数项与含无理数项两部分，根据有理数无法和无理数抵消，令两部分分别等于，联立方程组解出后代入求，分的两个取值分别计算。
22．如图，已知正方形ABCD， E， F分别在BC， CD上， AE⊥BF， CH⊥BF，垂足为G， H.
（1）求证： △ABG≌△BCH；
（2）请连接GC，若BG=5， BC=13，求GC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC， ∠ABC=∠BCF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠CBF=∠BAG+∠ABG，
∴∠BAG=∠CBH，
∵CH⊥BF，
∴∠BHC=90°，
在△ABG与△BCH中，
（2）解：
△△，
，
，，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本小问依托正方形边角特征与同角余角相等找全等条件，正方形邻边相等、内角，由两条垂线得到直角，推导，AAS列出三组等条件证全等；
（2）本小问借助全等边长等量替换，得，勾股求，做差算出，再在中再次勾股求。
23．如图所示，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点. PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为点E，F，试探究以下问题：
（1）当四边形 PEMF是矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件 说明理由；
（2）在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形 PEMF为正方形 为什么
【答案】（1）解：矩形ABCD的长与宽满足AD=2AB时，四边形 PEMF为矩形.理由如下：
∵AD=2AB， M点为AD的中点，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°， ∠DMC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥MC， PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°，
∴四边形 PEMF为矩形
（2）解：当 P 点运动到 BC的中点时，矩形 PEMF变为正方形.理由如下：
∵P点为BC的中点，
∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，
∴PE=PF，
∴矩形 PEMF变为正方形
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问结合等腰直角三角形、矩形判定，推出时，为中点使，为等腰直角三角形，，搭配三条直角满足矩形四角为直角的判定；
（2）本小问利用角平分线性质与正方形判定，为中点时，等腰的中线平分顶角，角平分线上垂线段，矩形邻边相等即变为正方形。
24．
（1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将 沿AE折叠后得到 点 F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 G.猜想线段GF与GC的数量关系是　 　.
（2）【类比探究】：如图二，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
（3）【应用】：如图三，将(1)中的矩形ABCD改为正方形，边长.AB=4，其它条件不变，求线段GC的长.
【答案】（1）FG=CG
（2）解：(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如图二，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF， ∠B=∠AFE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECD=180°-∠D， ∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，
∴∠ECD=∠EFG，
∴∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG，
即(1)中的结论仍然成立；
（3）解：因为正方形是特殊的平行四边形，
所以(2)中的GF=GC仍然成立，
设GF=GC=x，则AG=4+x， DG=4-x，
在Rt△ADG中，
解得： x=1，
即CG=1.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）点在的中点时，能使，
证明：如图一，连接，
是的中点，
，
将△沿折叠后得到△，
，
，
，，
△△，
，
故答案为：；
【分析】（1）本小问连接，由中点、折叠得，证，对应边相等完成猜想证明；
（2） 本小问换成平行四边形后，由得到等腰，结合平行四边形内角、折叠等角，推导出，等角对等边证线段相等；
（3） 本小问设，用表示AG、DG，中代入勾股定理列方程，求解得到。
1 / 1广东省中山市华侨中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．2 C．1 D．10
3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算α=(　　)
A．56° B．68° C．28° D．34°
4．已知△ABC的周长为16，点D， E， F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A．8 B． C．16 D．4
5．平面直角坐标系中，点P (-3，4)到原点O的距离是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，正方形 ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是(　　)
A．4π B．8π C．12π D．16π
8．若△ABC的三边a、b、c满足 则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）
A．1 B． C． D．2
10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．12 D．25
11．化简的结果是　 　．
12．使得代数式 有意义的 的取值范围是　 　．
13．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是　 　cm．
14．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　 　．
15．如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是　 　.
16．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　 .
17．计算：
（1）
（2）
18．如图，在四边形ABCD中， ∠B=90°， AB=BC=2， AD=1， CD=3.
（1）求∠DAB的度数.
（2）求四边形ABCD的面积.
19．在4×6的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点N是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).
（1）在图1中作出所有长为5的线段AB，且点B是格点；
（2）在图2中先作一条线段AC，使 再作一条线段CD，使得
（3）在图3中作一条线段AE，使
20．如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD， BC分别相交于点M， N，连接BM，DN.
（1）求证：四边形 BNDM是菱形；
（2）若∠C=90°， BC=16， CD=8，求四边形 BNDM的周长.
21．先阅读材料，再解答问题.
已知a，b都是有理数，且满足 求b2的值.
解：由题意得
∵a，b都是有理数， ∴a-3， b+2也是有理数.
又∵是无理数， ∴a-3=0， b+2=0.
∴a=3， b=-2.∴b = (-2) 3=-8.
问题：已知x，y都是有理数，且满足 求x+y的值.
22．如图，已知正方形ABCD， E， F分别在BC， CD上， AE⊥BF， CH⊥BF，垂足为G， H.
（1）求证： △ABG≌△BCH；
（2）请连接GC，若BG=5， BC=13，求GC的长.
23．如图所示，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点. PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为点E，F，试探究以下问题：
（1）当四边形 PEMF是矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件 说明理由；
（2）在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形 PEMF为正方形 为什么
24．
（1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将 沿AE折叠后得到 点 F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 G.猜想线段GF与GC的数量关系是　 　.
（2）【类比探究】：如图二，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
（3）【应用】：如图三，将(1)中的矩形ABCD改为正方形，边长.AB=4，其它条件不变，求线段GC的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。因此，
∵，∴属于最简二次根式。故选B。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．=，所以B选项不符合题意；
C．=，所以C选项不符合题意；
D．=2×5=10，所以D项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的乘法分别计算，再判断即可.
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】由尺规作图痕迹可知：平分，直线，即；
，；
由平行线内错角相等，得；
平分，；
中，；
与为对顶角，
。
故答案为：A
【分析】本题融合尺规作图识别、平行线性质、直角三角形内角关系三类知识点，先从作图痕迹提炼角平分线、垂线两个关键条件，借助双直角推出平行线，利用内错角换算角度，结合角平分线均分角算出，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等完成求解。
4．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由三角形中位线定理，三边中点连线为对应边的中位线：
；
；
已知，代入得
故答案为：A
【分析】本题考查三角形中位线定理在周长计算中的应用，明确三边中点连线全部是原三角形中位线后，利用中位线长度等于底边一半的结论，提取公因式，整体代入原三角形周长数值简化运算。
5．【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：平面两点间距离公式：，原点坐标；
将代入公式：
。
故答案为：C
【分析】本题依托勾股定理衍生的平面两点距离公式解题，把原点与动点坐标代入公式，分别计算横、纵坐标差值的平方和，对和开算术平方根得到两点线段长度。
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故选B；
【分析】由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理求得，再根据H为BC中点，可得即可求解．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵正方形面积等于边长的平方，
；
为直角三角形，由勾股定理：，；
半圆半径，半圆面积：
∴半圆面积为
故答案为：B
【分析】本题结合正方形面积公式、勾股定理、半圆面积公式综合计算，利用面积等价边长平方得到直角边平方值，通过勾股得到直径平方，直接整体代入半圆面积表达式化简，减少开方步骤。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：平方数、绝对值均属于非负数，两个非负数相加等于时两项各自为：
，化简得；
说明三角形两边相等，满足勾股逆定理，三角形为直角三角形。
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：C
【分析】本题依托非负数的取值特性、勾股逆定理判定三角形形状，由非负数和为零拆分二元方程组，一式判定等腰，一式判定直角，两个条件同时成立确定三角形类型。
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∵四边形ABCD是正方形
∴
∴∠EFD=∠BEF=60°
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-60°×2=180°-120°=60°
∵∠A=90°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=90°-60°=30°
∴在△AEB'中，B'E=2AE
设BE=a，B'E=a，则AE=3-a
∴a=2（3-a）
解得a=2
∴BE=2
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，∠BEF=∠FEB'=60°，然后通过以上条件计算出∠AB'E=30°，B'E=2AE，最后根据B'E和AE的长度关系求出BE的长.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，如图所示：
则∠BEC=∠CFA=90°，BE=3，AF=3+1=4，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ECB+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴CE=AF=4，
∴BC==5，
∴AC=BC=5，
∴S△ABC=AC BC=×5×5=．
故选B．
【分析】作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，根据等腰直角三角形性质可得∠ACB=90°，AC=BC，再根据角之间的关系可得∠EBC=∠FCA，根据全等三角形判定定理可得△BEC≌△CFA（AAS），则CE=AF=4，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】根据二次根式性质化简即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】代数式 有意义的条件是：
解得：
故答案为：
【分析】分母中含有根号，因此要使此代数式有意义，则x-3＞0，解不等式即可。
13．【答案】24
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，，
∴．
由菱形知，，，
∴．
∴
故答案为：24．
【分析】先根据菱形数量与 B、D 间的总距离，求出单个菱形水平对角线的一半长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形竖直对角线的一半；最后计算出 A、C 间的总距离。
14．【答案】17
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图：
∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC＝．
故答案为：17.
【分析】根据正方形面积，结合算术平方根可得AB＝BD＝8，DC＝7，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，连接，，
顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，
四边形是矩形，
，，
同理，，，
，
，
顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，
，，
，
依此可得，
故答案为：．
【分析】本题探究中点四边形的面积变化规律，从第一次操作入手确定面积减半规律，每轮操作面积除以，结合指数变化归纳出次后的面积通项公式。
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上
∴A、E、C三点共线，，，
在中，
由勾股定理得：
∵AC＞0
∴
在中，
由勾股定理得：
∵EC＞0
∴
∴
又∵P是AE的中点，M是EC的中点
∴
又∵
在中，由勾股定理得：
即：=
∵
∴
故答案为：
【分析】连接AC，连接FG与AC交于点M，根据正方形性质可得A、E、C三点共线，，，，根据勾股定理可得AC，EC，再根据边之间的关系可得AE，根据边之间的关系可得PM，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）本小问考查二次根式化简与同类根式合并，先把、化为最简根式，分母有理化后变成，合并同类二次根式相关项，保留无法化简的；
（2）本小问考查根式乘除混合运算，先全部化简为最简根式，再利用根式乘除法则合并被开方数，约分消去公共根式后完成有理数除法。
18．【答案】（1）解：连结AC，
∵AD=1， CD=3，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°；
（2）解：在 Rt△ABC中，
在Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问结合等腰直角三角形性质与勾股逆定理求角，连接辅助线，在中由两腰相等判定等腰直角三角形，算出长度与，代入三边数值验证满足勾股逆定理，得到，两角相加得到；
（2）本小问采用分割法求不规则图形面积，连线把四边形拆成两个直角三角形，分别套用直角三角形面积公式计算两部分面积，求和得到四边形总面积。
19．【答案】（1）解：由网格特点或勾股定理取格点，如图1，格点和线段或点和线段即为所求作；
（2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作；
（3）解：如图3，线段即为所求作．
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）本小问依托勾股数网格作图，对应横向格纵向格的斜边，按横纵格数筛选格点连线；
（2）本小问拆分根式对应直角边格数，、，根据横、竖格数定点连线；
（3）本小问结合中点平分线段，先画出的完整格点线段，利用网格交点平分线段截取一半长度。
20．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线 BD的垂直平分线，
∴OB=OD， MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB (AAS)，
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形 BNDM是菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，
四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本小问结合平行线内错角、全等三角形、菱形判定定理，由得一组内错角相等，结合中垂线，AAS证，对角线互相平分先证平行四边形，再加对角线垂直证菱形；
（2）本小问利用菱形边长相等设未知数，设边长，，中勾股列方程求边长，四倍边长得到周长。
21．【答案】解：，
．
，都是有理数，
，也是有理数．
又是无理数，
，
，
解得，．
当， 时，
；
当， 时，
．
综上，的值是8或0
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题采用有理数无理数拆分对应相等的解题思路，参照例题移项整理等式，拆成纯有理数项与含无理数项两部分，根据有理数无法和无理数抵消，令两部分分别等于，联立方程组解出后代入求，分的两个取值分别计算。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC， ∠ABC=∠BCF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠CBF=∠BAG+∠ABG，
∴∠BAG=∠CBH，
∵CH⊥BF，
∴∠BHC=90°，
在△ABG与△BCH中，
（2）解：
△△，
，
，，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本小问依托正方形边角特征与同角余角相等找全等条件，正方形邻边相等、内角，由两条垂线得到直角，推导，AAS列出三组等条件证全等；
（2）本小问借助全等边长等量替换，得，勾股求，做差算出，再在中再次勾股求。
23．【答案】（1）解：矩形ABCD的长与宽满足AD=2AB时，四边形 PEMF为矩形.理由如下：
∵AD=2AB， M点为AD的中点，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°， ∠DMC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥MC， PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°，
∴四边形 PEMF为矩形
（2）解：当 P 点运动到 BC的中点时，矩形 PEMF变为正方形.理由如下：
∵P点为BC的中点，
∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，
∴PE=PF，
∴矩形 PEMF变为正方形
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小问结合等腰直角三角形、矩形判定，推出时，为中点使，为等腰直角三角形，，搭配三条直角满足矩形四角为直角的判定；
（2）本小问利用角平分线性质与正方形判定，为中点时，等腰的中线平分顶角，角平分线上垂线段，矩形邻边相等即变为正方形。
24．【答案】（1）FG=CG
（2）解：(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如图二，连接FC，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF， ∠B=∠AFE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECD=180°-∠D， ∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，
∴∠ECD=∠EFG，
∴∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG，
即(1)中的结论仍然成立；
（3）解：因为正方形是特殊的平行四边形，
所以(2)中的GF=GC仍然成立，
设GF=GC=x，则AG=4+x， DG=4-x，
在Rt△ADG中，
解得： x=1，
即CG=1.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）点在的中点时，能使，
证明：如图一，连接，
是的中点，
，
将△沿折叠后得到△，
，
，
，，
△△，
，
故答案为：；
【分析】（1）本小问连接，由中点、折叠得，证，对应边相等完成猜想证明；
（2） 本小问换成平行四边形后，由得到等腰，结合平行四边形内角、折叠等角，推导出，等角对等边证线段相等；
（3） 本小问设，用表示AG、DG，中代入勾股定理列方程，求解得到。
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